Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 2: Δημιουργήστε ισοδύναμα κλάσματα
• Μέθοδος 2 από 2: Επίλυση ισοδύναμων κλασμάτων με μεταβλητές
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Δύο κλάσματα είναι "ισοδύναμα" εάν έχουν την ίδια τιμή. Για παράδειγμα, τα κλάσματα 1/2 και 2/4 είναι ισοδύναμα επειδή το 1 διαιρούμενο με το 2 έχει την ίδια τιμή με το 2 διαιρούμενο με το 4 (0,5 σε δεκαδική μορφή). Η γνώση του τρόπου μετατροπής ενός κλάσματος σε άλλο, αλλά ισοδύναμο κλάσμα, είναι μια βασική μαθηματική αξιοπρέπεια που θα χρειαστείτε, από τη βασική άλγεβρα έως την επιστήμη πυραύλων. Δείτε το Βήμα 1 για να ξεκινήσετε!

Για να πας

Μέθοδος 1 από 2: Δημιουργήστε ισοδύναμα κλάσματα

1. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να λάβετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Δύο κλάσματα που είναι διαφορετικά, αλλά έχουν ισοδύναμο εξ ορισμού, αριθμητές και παρονομαστές που είναι πολλαπλάσια μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό θα παράγει ένα ισοδύναμο κλάσμα. Παρόλο που οι αριθμοί σε αυτό το νέο κλάσμα είναι διαφορετικοί, εξακολουθεί να έχει την ίδια τιμή.
   • Για παράδειγμα, αν πάρουμε το κλάσμα 4/8 και πολλαπλασιάσουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με 2, παίρνουμε (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.
     • (4 × 2) / (8 × 2) είναι ουσιαστικά το ίδιο με 4/8 × 2/2. Θυμηθείτε, ο πολλαπλασιασμός δύο κλασμάτων είναι έτσι - αριθμητής φορές αριθμητής και παρονομαστής χρόνοι παρονομαστής. Σημειώστε ότι το 2/2 ισούται με 1. Έτσι, είναι εύκολο να καταλάβετε γιατί το 4/8 ισούται με 8/16 - το δεύτερο κλάσμα είναι το πρώτο κλάσμα πολλαπλασιασμένο επί 2!
2. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ή ένα κλάσμα με τον ίδιο αριθμό για να λάβετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Όπως ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ενός νέου κλάσματος που είναι ισοδύναμο με το δεδομένο κλάσμα. Απλώς διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να λάβετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Υπάρχει ένα catch εδώ - το προκύπτον κλάσμα πρέπει να αποτελείται από ακέραιους αριθμούς και στον αριθμητή και στον παρονομαστή για να είναι έγκυροι.
   • Για παράδειγμα, ας πάμε ξανά 4/8. Αν, αντί για πολλαπλασιασμό, διαιρούμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με το 2, παίρνουμε (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. Τα 2 και 4 είναι και τα δύο ακέραιοι αριθμοί, επομένως αυτό το ισοδύναμο κλάσμα ισχύει.
3. Απλοποιήστε το κλάσμα σας χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD). Κάθε δεδομένο κλάσμα έχει άπειρο αριθμό ισοδύναμων κλασμάτων - μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με οποιοδήποτε ακέραιο, μεγάλο ή μικρό για να πάρουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Αλλά η απλούστερη μορφή ενός δεδομένου κλάσματος είναι συνήθως αυτή με τους μικρότερους όρους. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι και οι δύο όσο το δυνατόν μικρότεροι - δεν μπορούν πλέον να διαιρεθούν με οποιονδήποτε ακέραιο για να κάνουν τον όρο ακόμη μικρότερο. Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα, διαιρούμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με το ο μεγαλύτερος κοινός παρονομαστής.
   • Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GGD) του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος, ώστε τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής να διαιρούνται. Έτσι στο 4/8 παράδειγμα μας, γιατί 4 είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης και των 4 και 8, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσμα μας με 4 για να πάρουμε τους απλούστερους όρους. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2.
4. Εάν θέλετε, μετατρέψτε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα για να διευκολύνετε τη μετατροπή. Φυσικά, δεν θα έχει νόημα κάθε κλάσμα που συναντάτε τόσο εύκολα όσο το 4/8. Για παράδειγμα, οι μικτοί αριθμοί (π.χ. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 κ.λπ.) μπορούν να κάνουν αυτήν τη μετατροπή λίγο πιο δύσκολη.Εάν θέλετε να κάνετε ένα κλάσμα μικτού αριθμού, μπορείτε να το κάνετε με δύο τρόπους: να κάνετε τον μικτό αριθμό ακατάλληλο κλάσμα και, στη συνέχεια, να συνεχίσετε, ή κρατήστε τον μικτό αριθμό και δώστε έναν μικτό αριθμό ως απάντηση.
   • Για να μετατρέψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, πολλαπλασιάστε τον ακέραιο αριθμό του μικτού αριθμού με τον παρονομαστή του κλάσματος και, στη συνέχεια, προσθέστε το προϊόν στον αριθμητή. Για παράδειγμα, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Στη συνέχεια, μπορείτε να το μετατρέψετε ξανά εάν είναι απαραίτητο. Για παράδειγμα, 5/3 × 2/2 = 10/6, εξακολουθεί να είναι το ίδιο με το 1 2/3.
   • Ωστόσο, η μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος δεν είναι απαραίτητη. Μπορούμε να αγνοήσουμε ολόκληρο τον αριθμό και να μετατρέψουμε το κλάσμα και μετά να προσθέσουμε ολόκληρο τον αριθμό σε αυτόν. Για παράδειγμα, στις 3 4/16, κοιτάζουμε μόνο στις 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Τώρα προσθέτουμε πάλι ολόκληρο τον αριθμό και παίρνουμε έναν νέο μικτό αριθμό, 3 1/4.
5. Ποτέ μην προσθέτετε ή αφαιρείτε για να λάβετε ισοδύναμα κλάσματα. Κατά τη μετατροπή των κλασμάτων στην αντίστοιχη μορφή τους, είναι σημαντικό να θυμάστε ότι οι μόνες λειτουργίες που εφαρμόζετε είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση. Ποτέ μην χρησιμοποιείτε προσθήκη ή αφαίρεση. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση λειτουργούν για την απόκτηση ισοδύναμων κλασμάτων, επειδή αυτές οι πράξεις είναι στην πραγματικότητα μορφές του αριθμού 1 (2/2, 3/3 κ.λπ.) και δίνουν απαντήσεις ίσες με το κλάσμα με το οποίο ξεκινήσατε. Η προσθήκη και η αφαίρεση δεν έχουν αυτήν την επιλογή.
   • Για παράδειγμα, παραπάνω βρήκαμε ότι 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Αν προσθέσαμε 4/4 σε αυτό, θα είχαμε πάρει μια εντελώς διαφορετική απάντηση. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ή 3/2και κανένα από αυτά δεν είναι ίσο με 4/8.

Μέθοδος 2 από 2: Επίλυση ισοδύναμων κλασμάτων με μεταβλητές

1. Χρησιμοποιήστε τον πολλαπλό πολλαπλασιασμό για την επίλυση προβλημάτων ισοδυναμίας με κλάσματα. Ένας δύσκολος τύπος προβλήματος άλγεβρας που αντιμετωπίζει ισοδύναμα κλάσματα περιλαμβάνει εξισώσεις με δύο κλάσματα, όπου το ένα ή και τα δύο περιέχουν μια μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, γνωρίζουμε ότι αυτά τα κλάσματα είναι ισοδύναμα επειδή είναι οι μόνοι όροι σε κάθε πλευρά του σημείου εξίσωσης μιας εξίσωσης, αλλά δεν είναι πάντα προφανές πώς να λύσουμε τη μεταβλητή. Ευτυχώς, με πολλαπλό πολλαπλασιασμό, μπορούμε να λύσουμε αυτόν τον τύπο προβλήματος χωρίς προβλήματα.
   • Ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός είναι ακριβώς όπως ακούγεται - πολλαπλασιάζετε σταυρωτά πάνω από το ίσο σύμβολο. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου κλάσματος και αντίστροφα. Τότε επιλύετε περαιτέρω την εξίσωση.
   • Για παράδειγμα, έχουμε την εξίσωση 2 / x = 10/13. Τώρα πολλαπλάσια: πολλαπλασιάστε 2 με 13 και 10 με x και επεξεργαστείτε την εξίσωση περαιτέρω:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10χ
     • 10x = 26. Τώρα επεξεργαζόμαστε την εξίσωση περαιτέρω. x = 26/10 = 2.6
2. Χρησιμοποιήστε πολλαπλό πολλαπλασιασμό με τον ίδιο τρόπο όπως συγκρίσεις πολλαπλών μεταβλητών ή μεταβλητές εκφράσεις. Ένα από τα καλύτερα χαρακτηριστικά του πολλαπλού πολλαπλασιασμού είναι ότι λειτουργεί σχεδόν το ίδιο, είτε πρόκειται για δύο απλά ή σύνθετα κλάσματα. Για παράδειγμα, εάν και τα δύο κλάσματα περιέχουν μεταβλητές, τίποτα δεν αλλάζει - απλώς πρέπει να ακυρώσετε αυτές τις μεταβλητές. Ομοίως, εάν οι αριθμητές ή οι παρονομαστές των κλασμάτων σας περιέχουν μεταβλητές εκφράσεις, απλώς "συνεχίστε τον πολλαπλασιασμό" χρησιμοποιώντας την ιδιότητα διανομής και επιλύοντας όπως συνήθως.
   • Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Σε αυτήν την περίπτωση, το επιλύουμε με πολλαπλό πολλαπλασιασμό:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12
     • 2 = 2x + 12
     • -10 = 2χ
     • -5 = x
3. Χρησιμοποιήστε τεχνικές πολυωνυμικής επίλυσης. Ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός δεν έχει σημασία πάντα ένα αποτέλεσμα που μπορείτε να λύσετε με απλή άλγεβρα. Εάν αντιμετωπίζετε μεταβλητούς όρους, θα λάβετε γρήγορα μια εξίσωση δεύτερου βαθμού ή άλλο πολυώνυμο ως αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείτε, για παράδειγμα, τετράγωνο ή / και τετράγωνο τύπο.
   • Για παράδειγμα, παίρνουμε την εξίσωση ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Πρώτος πολλαπλασιασμός σταυρού:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12. Σε αυτό το σημείο, θέλουμε να το μετατρέψουμε σε εξίσωση δεύτερου βαθμού (ax + bx + c = 0) αφαιρώντας το 12 και από τις δύο πλευρές, δίνοντάς μας 2x - 14 = 0. Τώρα χρησιμοποιούμε τον τύπο (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) για να βρούμε την τιμή του x:
       • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2α. Στην εξίσωση μας, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 και c = -14.
       • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
       • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
       • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
       • x = (+/- 10,58 / 4)
       • x = +/- 2.64 Σε αυτό το σημείο, ελέγχουμε την απάντησή μας αντικαθιστώντας τα 2.64 και -2.64 στην αρχική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Συμβουλές

• Η μετατροπή των κλασμάτων σε ισοδύναμη μορφή είναι βασικά η ίδια με τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα όπως το 2/2 ή το 5/5. Δεδομένου ότι αυτό τελικά ισούται με 1, η τιμή του κλάσματος παραμένει η ίδια.

Προειδοποιήσεις

• Η προσθήκη και η αφαίρεση των κλασμάτων διαφέρει από τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των κλασμάτων.