Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή
• Προειδοποίηση

Δύο κλάσματα ονομάζονται ισοδύναμα εάν έχουν την ίδια τιμή. Η γνώση του τρόπου μετατροπής ενός κλάσματος στις ισοδύναμες μορφές του είναι μια απαραίτητη μαθηματική ικανότητα για τα πάντα, από τη βασική άλγεβρα έως τα προχωρημένα μαθηματικά. Αυτό το άρθρο θα εισαγάγει διάφορους τρόπους για τον υπολογισμό ισοδύναμων κλασμάτων από βασικό πολλαπλασιασμό και διαίρεση σε πιο πολύπλοκες μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων με ισοδύναμα κλάσματα.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 5: Δημιουργία ισοδύναμων κλασμάτων

1. 

   Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Εξ ορισμού, δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα έχουν τον αριθμητή και ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσια μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό αποδίδει ένα ισοδύναμο κλάσμα. Αν και οι αριθμοί στα νέα κλάσματα θα είναι διαφορετικοί, θα έχουν τις ίδιες τιμές.
   • Για παράδειγμα, εάν πάρουμε το κλάσμα 4/8 και πολλαπλασιάσουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με 2, παίρνουμε (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.
   • (4 × 2) / (8 × 2) είναι ακριβώς το ίδιο με 4/8 × 2/2. Να θυμάστε ότι όταν πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε οριζόντια, δηλαδή τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.
   • Σημειώστε ότι 2/2 ισούται με 1 όταν κάνετε τη διαίρεση. Ως εκ τούτου, είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί τα 4/8 και 8/16 είναι ίσα επειδή το 4/8 × (2/2) είναι ακόμα = 4/8. Ομοίως 4/8 = 8/16.
   • Κάθε κλάσμα έχει άπειρο αριθμό ισοδύναμων κλασμάτων. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με οποιοδήποτε ακέραιο, μεγάλο ή μικρό, για να αποδώσετε ένα ισοδύναμο κλάσμα.

2. 

   
   
   Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Όπως ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση χρησιμοποιείται επίσης για την εύρεση ενός νέου κλάσματος που είναι ισοδύναμο με το αρχικό κλάσμα. Απλώς διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να λάβετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Ωστόσο, το ληφθέν κλάσμα πρέπει να έχει και τον αριθμητή και το δείγμα να είναι ακέραιοι.
   • Για παράδειγμα, κοιτάξτε ξανά το κλάσμα 4/8. Αντί να πολλαπλασιάσουμε, διαιρούμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με το 2, έχουμε (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. Τα 2 και 4 είναι και οι δύο ακέραιοι, επομένως αυτό το ισοδύναμο κλάσμα ισχύει.
   διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 5: Χρήση βασικού πολλαπλασιασμού για τον προσδιορισμό της ισοδυναμίας

1. 

   
   
   Βρείτε τον αριθμό στον οποίο πολλαπλασιάζεται ο μεγαλύτερος παρονομαστής με τον μικρότερο παρονομαστή. Πολλά προβλήματα κλασμάτων περιλαμβάνουν τον προσδιορισμό του κατά πόσον δύο κλάσματα είναι ίσα ή όχι. Με τον υπολογισμό αυτού του αριθμού, μπορείτε να επιστρέψετε τα κλάσματα στον ίδιο όρο για να προσδιορίσετε την ισοδυναμία.
   • Για παράδειγμα, ανακτήστε τα κλάσματα 4/8 και 8/16. Ο μικρότερος παρονομαστής είναι 8, και θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με 2 για να πάρουμε τον μεγαλύτερο παρονομαστή των 16. Άρα, ο αριθμός που πρέπει να αναζητηθεί σε αυτήν την περίπτωση είναι 2.
   • Για πιο περίπλοκους αριθμούς, απλά πρέπει να διαιρέσετε τον μεγάλο παρονομαστή με τον μικρό παρονομαστή. Στο παραπάνω παράδειγμα 16 διαιρούμενο με 8, το αποτέλεσμα είναι 2.
   • Αυτός ο αριθμός δεν είναι πάντα ακέραιος. Για παράδειγμα, εάν οι παρονομαστές είναι 2 και 7, τότε 7 διαιρούμενοι με 2 ισούται με 3,5.

2. 

   
   
   Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος εκφράζονται με μικρότερο όρο με τον αριθμό που προσδιορίζεται στο παραπάνω βήμα. Εξ ορισμού, υπάρχουν δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα Ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσια μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό αποδίδει ένα ισοδύναμο κλάσμα. Αν και οι αριθμοί σε αυτό το νέο κλάσμα θα είναι διαφορετικοί, οι τιμές τους είναι οι ίδιες.
   • Για παράδειγμα, αν πάρουμε το κλάσμα 4/8 από το πρώτο βήμα και πολλαπλασιάσουμε τόσο τον αριθμητή όσο και το δείγμα με τον αριθμό 2 που καθορίστηκε νωρίτερα, έχουμε (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Αυτό αποδεικνύει ότι αυτά τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.
   διαφήμιση

Μέθοδος 3 από 5: Χρήση της βασικής διαίρεσης για τον προσδιορισμό της ισοδυναμίας

1. 

   Χωρίστε κάθε κλάσμα σε δεκαδικό. Για απλά κλάσματα χωρίς μεταβλητές, πρέπει μόνο να αντιπροσωπεύσετε κάθε κλάσμα ως δεκαδικό για να προσδιορίσετε την ισοδυναμία. Δεδομένου ότι κάθε κλάσμα είναι ουσιαστικά μια διαίρεση, αυτός είναι ο απλούστερος τρόπος προσδιορισμού της ισοδυναμίας.
   • Για παράδειγμα, πάρτε το κλάσμα 4/8 παραπάνω. Το κλάσμα 4/8 ισούται με 4 διαιρούμενο με 8, 4/8 = 0,5. Μπορείτε να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα έτσι, 8/16 = 0,5. Ανεξάρτητα από τη μορφή των κλασμάτων, είναι ισοδύναμα εάν οι δύο αριθμοί είναι ίσοι όταν εκφράζονται με δεκαδικό.
   • Να θυμάστε ότι η δεκαδική αναπαράσταση μπορεί να παράγει πολλά ψηφία προτού καταλήξετε στο συμπέρασμα ότι δεν είναι ισοδύναμα. Ένα βασικό παράδειγμα είναι 1/3 = 0,333… ενώ 3/10 = 0,3. Μόνο περισσότερα από ένα ψηφία, διαπιστώνουμε ότι αυτά τα δύο κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.

2. 

   Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να λάβετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Για πιο πολύπλοκα κλάσματα, αυτή η μέθοδος διαίρεσης απαιτεί επιπλέον βήματα. Όπως ο πολλαπλασιασμός, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό για να λάβετε ένα ισοδύναμο κλάσμα. Ωστόσο, το ληφθέν κλάσμα πρέπει να έχει και τον αριθμητή και το δείγμα να είναι ακέραιοι.
   • Παράδειγμα κλάσματος 4/8. Αντί να πολλαπλασιάζουμε, είμαστε μερίδιο Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής δίνουν 2, παίρνουμε (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. Τα 2 και 4 είναι και οι δύο ακέραιοι, οπότε αυτό το ισοδύναμο κλάσμα είναι έγκυρο.

3. 

   
   
   Μειώστε το κλάσμα στην ελάχιστη μορφή του. Τα περισσότερα κλάσματα εκφράζονται συνήθως σε ελάχιστη μορφή και μπορείτε να τα επιστρέψετε στην ελάχιστη μορφή τους διαιρώντας με τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή του αριθμητή και του δείγματος. Αυτό το βήμα λειτουργεί με την ίδια λογική της αναπαράστασης ισοδύναμων κλασμάτων μετατρέποντάς τα στον ίδιο παρονομαστή, αλλά αυτή η μέθοδος απαιτεί τη μείωση κάθε κλάσματος στην ελάχιστη μορφή του.
   • Όταν ένα κλάσμα είναι στην ελάχιστη μορφή του, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του είναι όσο το δυνατόν μικρότεροι. Δεν μπορείτε να τα διαιρέσετε με ακέραιο για να λάβετε μικρότερο αριθμό. Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα στην ελάχιστη μορφή του, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με μέγιστος κοινός παράγοντας.
   • Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ο μέγιστος αριθμός με τον οποίο διαιρούνται. Έτσι, στο παράδειγμα 4/8, γιατί 4 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός από τον οποίο διαιρούνται και τα 4 και 8, θα διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με 4 για να λάβουμε την απλοποιημένη μορφή. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Σε ένα άλλο παράδειγμα 8/16, το GCF είναι 8, το αποτέλεσμα είναι επίσης 1/2.
   διαφήμιση

Μέθοδος 4 από 5: Χρήση πολλαπλού πολλαπλασιασμού για επίλυση προβλήματος μεταβλητών

1. 

   
   
   Βάλτε δύο κλάσματα ίσα. Χρησιμοποιούμε πολλαπλούς πολλαπλασιασμούς για προβλήματα όπου γνωρίζουμε ότι τα κλάσματα είναι ισοδύναμα, αλλά ένας από τους αριθμούς έχει αντικατασταθεί από τη μεταβλητή (συνήθως x) που πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα για να βρούμε. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο σταυρός πολλαπλασιασμός είναι μια γρήγορη μέθοδος.

2. 

   
   
   Πάρτε δύο ισοδύναμα κλάσματα και διασταυρώστε τα χρησιμοποιώντας ένα "X". Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου και αντίστροφα, και στη συνέχεια τοποθετείτε αυτά τα δύο αποτελέσματα ίσα και λύστε το πρόβλημα.
   • Πάρτε δύο παραδείγματα, 4/8 και 8/16. Αυτά τα δύο κλάσματα δεν περιέχουν μεταβλητές, αλλά μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι ισοδύναμα. Με πολλαπλό πολλαπλασιασμό, έχουμε 4 x 16 = 8 x 8 ή 64 = 64, το οποίο είναι προφανώς σωστό. Εάν οι δύο αριθμοί δεν είναι οι ίδιοι, τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.

3. 

   Τοποθετήστε τις μεταβλητές. Δεδομένου ότι ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός είναι ο ευκολότερος τρόπος προσδιορισμού ισοδύναμων κλασμάτων όταν πρέπει να λύσετε το πρόβλημα εύρεσης μεταβλητών, προσθέστε μεταβλητές.
   • Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη εξίσωση 2 / x = 10/13. Για να διασταυρώσετε πολλαπλασιάζουμε, πολλαπλασιάζουμε 2 με 13 και 10 με x, και μετά βάζουμε αυτά τα δύο αποτελέσματα ίσα:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10χ
     • 10x = 26. Με απλές αλγεβρικές μεθόδους μπορούμε να βρούμε τη μεταβλητή x = 26/10 = 2.6, τότε τα δύο πρώτα ισοδύναμα κλάσματα είναι 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Χρησιμοποιήστε πολλαπλό πολλαπλασιασμό για εξισώσεις με πολλαπλές μεταβλητές ή μεταβλητές εκφράσεις. Ένα από τα πιο όμορφα πράγματα για τον πολλαπλό πολλαπλασιασμό είναι ότι είτε έχετε δύο απλά κλάσματα (όπως παραπάνω) ή πιο πολύπλοκα κλάσματα, η λύση είναι ακριβώς η ίδια. Για παράδειγμα, εάν και τα δύο κλάσματα περιέχουν μεταβλητές, απλώς αφαιρέστε τις στο τελευταίο βήμα της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων. Ομοίως, εάν οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων περιέχουν μεταβλητές εκφράσεις (όπως x + 1), απλώς πολλαπλάσια και λύστε όπως θα κάνατε κανονικά.
   • Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη εξίσωση ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Όπως παραπάνω, επιλύουμε διασταυρώνοντας δύο κλάσματα:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12, αφαιρέστε τις πλευρές για 2x
     • 2 = 2x + 12, για να διαχωρίσουμε τη μεταβλητή αφαιρούμε τις πλευρές σε 12
     • -10 = 2x και διαιρέστε τις πλευρές με 2 για να βρείτε το x
     • -5 = x
   διαφήμιση

Μέθοδος 5 από 5: Χρήση τετραγωνικής λύσης για επίλυση μεταβλητών εξισώσεων

1. 

   Πολλαπλασιάστε δύο κλάσματα. Για προβλήματα ισοδυναμίας που απαιτούν τη χρήση τετραγωνικών λύσεων, ξεκινάμε ακόμα χρησιμοποιώντας πολλαπλούς πολλαπλασιασμούς. Ωστόσο, κάθε διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό του όρου που περιέχει μια μεταβλητή με τον όρο που περιέχει μια άλλη μεταβλητή έχει τη δυνατότητα να αποδώσει μια έκφραση που δεν μπορεί να λυθεί εύκολα με την αλγεβρική μέθοδο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τεχνικές όπως παραγοντοποίηση ή / και τετραγωνικούς τύπους.
   • Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη εξίσωση ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Βήμα 1, διασχίζουμε πολλαπλά:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12.

2. 

   Εκφράστε την εξίσωση ως τετραγωνική εξίσωση. Πρέπει τώρα να αντιπροσωπεύσουμε την εξίσωση σε τετραγωνική μορφή (ax + bx + c = 0), όπου θέτουμε την εξίσωση στο μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, αφαιρούμε και τις δύο πλευρές με 12 για να πάρουμε 2x. - 14 = 0.
   • Ορισμένες τιμές μπορεί να είναι μηδέν. Παρόλο που το 2x - 14 = 0 είναι η απλούστερη μορφή εξίσωσης, το τετραγωνικό του είναι στην πραγματικότητα 2x + 0x + (-14) = 0. Βοηθά στην ανάκλαση Διορθώστε τη μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης ακόμη και αν ορισμένες τιμές είναι 0.

3. 

   Λύστε μια εξίσωση συνδέοντας τους γνωστούς συντελεστές στον τύπο λύσης. Ο τετραγωνικός τύπος (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) θα μας βοηθήσει να λύσουμε το πρόβλημα της εύρεσης x σε αυτό το σημείο. Μην φοβάστε γιατί ο τύπος φαίνεται μακρύς. Απλώς πάρτε τις τιμές από την τετραγωνική εξίσωση στο δεύτερο βήμα και αντικαταστήστε τις στις αντίστοιχες θέσεις τους πριν την επίλυση.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2α. Στην εξίσωση, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 και c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10,58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   Ελέγξτε τις απαντήσεις σας συνδέοντας το x στην τετραγωνική εξίσωση. Συνδέοντας το found x πίσω στην τετραγωνική εξίσωση από το δεύτερο βήμα, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε εάν η απάντησή σας είναι αληθής ή ψευδής. Σε αυτό το παράδειγμα, θα αντικαταστήσετε και τα 2,64 και -2,64 στην αρχική τετραγωνική εξίσωση. διαφήμιση

Συμβουλή

• Η μετατροπή κλασμάτων σε κλάσματα ίσης αξίας είναι στην πραγματικότητα η μορφή πολλαπλασιασμού τους με 1. Κατά τη μετατροπή 1/2 σε 2/4, πολλαπλασιάζουμε πραγματικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 2 ή πολλαπλασιάζουμε. 1/2 με 2/2, που ισούται με 1.
• Εάν θέλετε, μετατρέψτε τον μικτό αριθμό σε ακανόνιστο κλάσμα για να διευκολύνετε τη μετατροπή. Προφανώς δεν είναι τόσο εύκολο να μετατρέψετε κάθε κλάσμα που συναντάτε όσο το παραπάνω παράδειγμα 4/8. Για παράδειγμα, οι μικτοί αριθμοί (για παράδειγμα 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 κ.λπ.) μπορούν να κάνουν τη μετάβαση λίγο πιο περίπλοκη. Εάν πρέπει να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ένα ισοδύναμο κλάσμα, μπορείτε να το κάνετε με δύο τρόπους: μετατρέψτε τον μικτό αριθμό σε ακανόνιστο κλάσμα και, στη συνέχεια, μετατρέψτε ως συνήθως, ή κρατήστε τον μικτό αριθμό και λάβετε υπόψη τον μικτό αριθμό την απάντηση.
  • Για να μετατρέψετε ένα ακανόνιστο κλάσμα, πολλαπλασιάστε το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού με τον παρονομαστή του κλάσματος και στη συνέχεια προσθέστε το στον αριθμητή. Για παράδειγμα, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Στη συνέχεια, αν θέλετε, μπορείτε να μετατρέψετε σε ισοδύναμα κλάσματα όπως απαιτείται. Για παράδειγμα, 5/3 × 2/2 = 10/6, το οποίο εξακολουθεί να ισούται με 1 2/3.
  • Ωστόσο, δεν χρειάζεται να μετατρέψουμε στο ακανόνιστο κλάσμα όπως παραπάνω. Αγνοήστε το ακέραιο μέρος, μετατρέψτε μόνο το τμήμα κλάσματος και, στη συνέχεια, προσθέστε ολόκληρο το τμήμα του αριθμού στο μέρος κλάσματος που έχει μετατραπεί. Για παράδειγμα, για 3 4/16, θα κοιτάξουμε μόνο στις 4/16. 4/16 & διαίρεση; 4/4 = 1/4. Προσθέτοντας το ακέραιο μέρος πίσω, έχουμε τον νέο μικτό αριθμό 3 1/4.

Προειδοποίηση

• Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία ισοδύναμων κλασμάτων επειδή ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με την κλασματική μορφή του αριθμού 1 (2/2, 3/3, κ.λπ.) εξ ορισμού δεν επηρεάζει τις κλασματικές τιμές. πρωτότυπο. Η προσθήκη και η αφαίρεση δεν το κάνουν.
• Αν και πολλαπλασιάζετε τον παρονομαστή και τον παρονομαστή κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, δεν μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τον παρονομαστή κατά την προσθήκη ή αφαίρεση των κλασμάτων.
  • Όπως το παραπάνω παράδειγμα, βλέπουμε ότι 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Αν αντίθετα εγώ συν για 4/4, η απάντηση θα είναι εντελώς διαφορετική. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 Καλός 3/2, καμία απάντηση δεν είναι ίση με 4/8.