Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 3: Μέρος 1: Προσδιορισμός του σημείου καμπής
• Μέθοδος 2 από 3: Υπολογισμός των παραγώγων μιας συνάρτησης
• Μέθοδος 3 από 3: Μέρος 3: Βρείτε το σημείο καμπής
• Συμβουλές

Στο διαφορικό λογισμό, ένα σημείο καμπής είναι ένα σημείο σε μια καμπύλη στο οποίο η καμπυλότητά του αλλάζει πρόσημο (από συν σε μείον ή από μείον σε συν). Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται στη μηχανολογία, στα οικονομικά και στατιστικά για τον εντοπισμό σημαντικών αλλαγών στα δεδομένα.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Μέρος 1: Προσδιορισμός του σημείου καμπής

1. 1 Ορισμός κοίλης συνάρτησης. Το μέσο κάθε χορδής (ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία) της γραφικής παράστασης μιας κοίλης συνάρτησης βρίσκεται είτε κάτω από το γράφημα είτε πάνω του.
2. 2 Ορισμός κυρτής συνάρτησης. Το μέσο κάθε χορδής (ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία) της γραφικής παράστασης μιας κυρτής συνάρτησης βρίσκεται είτε πάνω από το γράφημα είτε πάνω του.
3. 3 Προσδιορισμός των ριζών της συνάρτησης. Η ρίζα μιας συνάρτησης είναι η τιμή της μεταβλητής "x" στην οποία y = 0.
   • Όταν σχεδιάζουμε μια συνάρτηση, οι ρίζες είναι τα σημεία στα οποία το γράφημα διασχίζει τον άξονα x.

Μέθοδος 2 από 3: Υπολογισμός των παραγώγων μιας συνάρτησης

1. 1 Βρείτε το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης. Κοιτάξτε τους κανόνες διαφοροποίησης στο σχολικό βιβλίο. πρέπει να μάθετε πώς να παίρνετε τα πρώτα παράγωγα και μόνο τότε να προχωρήσετε σε πιο περίπλοκους υπολογισμούς. Τα πρώτα παράγωγα ονομάζονται f '(x). Για εκφράσεις της μορφής ax ^ p + bx ^ (p - 1) + cx + d, η πρώτη παράγωγος είναι: apx ^ (p - 1) + b (p - 1) x ^ (p - 2) + c
   • Για παράδειγμα, βρείτε τα σημεία κλίσης της συνάρτησης f (x) = x ^ 3 + 2x -1. Το πρώτο παράγωγο αυτής της συνάρτησης είναι:
     
     f ′ (x) = (x ^ 3 + 2x - 1) ′ = (x ^ 3) ′ + (2x) ′ - (1) ′ = 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. 2 Βρείτε το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης. Το δεύτερο παράγωγο είναι το παράγωγο του πρώτου παραγώγου της αρχικής συνάρτησης. Το δεύτερο παράγωγο συμβολίζεται ως f ′ ′ (x).
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, το δεύτερο παράγωγο είναι:
     
     f ′ x (x) = (3x2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6x
3. 3 Ορίστε το δεύτερο παράγωγο στο μηδέν και λύστε την εξίσωση που προκύπτει. Το αποτέλεσμα θα είναι το αναμενόμενο σημείο καμπής.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, ο υπολογισμός σας μοιάζει με αυτόν:
     
     f ′ ′ (x) = 0
     6x = 0
     x = 0
4. 4 Βρείτε την τρίτη παράγωγο της συνάρτησης. Για να επαληθεύσετε ότι το αποτέλεσμά σας είναι στην πραγματικότητα ένα σημείο καμπής, βρείτε την τρίτη παράγωγο, η οποία είναι η παράγωγος της δεύτερης παραγώγου της αρχικής συνάρτησης. Η τρίτη παράγωγος συμβολίζεται ως f ′ ′ ′ (x).
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, η τρίτη παράγωγος είναι:
     
     f ′ ′ ′ (x) = (6x) ′ = 6

Μέθοδος 3 από 3: Μέρος 3: Βρείτε το σημείο καμπής

1. 1 Δείτε την τρίτη παράγωγο. Ο τυπικός κανόνας για την εκτίμηση ενός σημείου καμπής είναι ότι εάν η τρίτη παράγωγος δεν είναι μηδέν (δηλαδή, f ′ ′ ′ (x) 0), τότε το σημείο κλίσης είναι το πραγματικό σημείο καμπής. Δείτε την τρίτη παράγωγο. αν δεν είναι μηδέν, τότε έχετε βρει το πραγματικό σημείο καμπής.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, η τρίτη παράγωγος είναι 6 και όχι 0.Βρήκατε λοιπόν το πραγματικό σημείο καμπής.
2. 2 Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου καμπής. Οι συντεταγμένες του σημείου καμπής συμβολίζονται ως (x, f (x)), όπου x είναι η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής "x" στο σημείο καμπής, f (x) είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής "y" στην καμπή σημείο.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, όταν εξισώνετε τη δεύτερη παράγωγο με μηδέν, διαπιστώσατε ότι x = 0. Έτσι, για να καθορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου καμπής, βρείτε f (0). Ο υπολογισμός σας μοιάζει με αυτόν:
     
     f (0) = 0 ^ 3 + 2 × 0−1 = −1.
3. 3 Γράψτε τις συντεταγμένες του σημείου καμπής. Οι συντεταγμένες του σημείου καμπής είναι οι τιμές που βρέθηκαν x και f (x).
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, το σημείο καμπής βρίσκεται σε συντεταγμένες (0, -1).

Συμβουλές

• Το πρώτο παράγωγο ενός ελεύθερου όρου (πρώτος αριθμός) είναι πάντα μηδέν.