Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 3: Υπολογισμός της κλίσης της εξίσωσης μιας ευθείας
• Μέθοδος 2 από 3: Υπολογίστε την κλίση χρησιμοποιώντας δύο σημεία
• Μέθοδος 3 από 3: Χρήση διαφορικού λογισμού για τον υπολογισμό της κλίσης

Η κλίση χαρακτηρίζει τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα της τετμημένης (η κλίση είναι αριθμητικά ίση με την εφαπτομένη αυτής της γωνίας). Η κλίση είναι παρούσα στην εξίσωση μιας ευθείας και χρησιμοποιείται στη μαθηματική ανάλυση καμπυλών, όπου είναι πάντα ίση με το παράγωγο μιας συνάρτησης. Για να καταστεί ευκολότερη η κατανόηση της κλίσης, φανταστείτε ότι επηρεάζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της κλίσης, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης (για την ίδια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής).

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Υπολογισμός της κλίσης της εξίσωσης μιας ευθείας

1. 1 Χρησιμοποιήστε την κλίση για να βρείτε τη γωνία της γραμμής προς την τετμημένη και την κατεύθυνση αυτής της γραμμής. Ο υπολογισμός της κλίσης είναι αρκετά εύκολος αν σας δοθεί η εξίσωση μιας ευθείας. Θυμηθείτε ότι σε οποιαδήποτε ευθύγραμμη εξίσωση:
   • Χωρίς εκθέτες
   • Υπάρχουν μόνο δύο μεταβλητές, καμία από τις οποίες δεν είναι κλάσμα (για παράδειγμα, τέτοια ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • Η ευθεία εξίσωση έχει τη μορφή ${ displaystyle y = kx + b}$, όπου k και b είναι αριθμητικοί συντελεστές (για παράδειγμα, 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 Για να βρείτε την κλίση, πρέπει να βρείτε την τιμή του k (συντελεστής στο "x"). Εάν η εξίσωση που σας δόθηκε έχει τη μορφή ${ displaystyle y = kx + b}$, στη συνέχεια για να βρείτε την κλίση απλά πρέπει να κοιτάξετε τον αριθμό μπροστά από το "x". Σημειώστε ότι το k (κλίση) βρίσκεται πάντα στην ανεξάρτητη μεταβλητή (στην περίπτωση αυτή, "x"). Εάν έχετε μπερδευτεί, ελέγξτε τα ακόλουθα παραδείγματα:
   • ${ displaystyle y = 2x + 6}$
     • Κλίση = 2
   • ${ displaystyle y = 2-x}$
     • Κλίση = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • Κλίση = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 Εάν η εξίσωση που σας δόθηκε έχει άλλη μορφή από y=κΧ+σι{ displaystyle y = kx + b}, απομονώστε την εξαρτημένη μεταβλητή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η εξαρτημένη μεταβλητή συμβολίζεται ως "y" και για να την απομονώσετε, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και άλλες. Να θυμάστε ότι οποιαδήποτε μαθηματική πράξη πρέπει να εκτελείται και στις δύο πλευρές της εξίσωσης (για να μην αλλάξει η αρχική της τιμή). Πρέπει να φέρετε οποιαδήποτε εξίσωση που σας δίνεται στη φόρμα ${ displaystyle y = kx + b}$... Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα:
   • Βρείτε την κλίση της εξίσωσης ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$
   • Είναι απαραίτητο να φέρουμε αυτήν την εξίσωση στη μορφή ${ displaystyle y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x+7 (+3)}$
     • ${ displaystyle 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ displaystyle y = 4x + 5}$
   • Εύρεση της κλίσης:
     • Κλίση = k = 4

Μέθοδος 2 από 3: Υπολογίστε την κλίση χρησιμοποιώντας δύο σημεία

1. 1 Χρησιμοποιήστε το γράφημα και δύο τελείες για να υπολογίσετε την κλίση. Εάν σας δίνεται απλώς ένα γράφημα μιας συνάρτησης (χωρίς εξίσωση), μπορείτε ακόμα να βρείτε την κλίση. Για να γίνει αυτό, χρειάζεστε τις συντεταγμένες των δύο σημείων σε αυτό το γράφημα. οι συντεταγμένες αντικαθίστανται στον τύπο: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Για να αποφύγετε λάθη κατά τον υπολογισμό της κλίσης, θυμηθείτε τα εξής:
   • Εάν το γράφημα αυξάνεται, τότε η κλίση είναι θετική.
   • Εάν το γράφημα μειώνεται, τότε η κλίση είναι αρνητική.
   • Όσο υψηλότερη είναι η τιμή κλίσης, τόσο πιο απότομη είναι η γραφική παράσταση (και αντίστροφα).
   • Η κλίση μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα της απότμησης είναι 0.
   • Η κλίση μιας ευθείας παράλληλης προς την τεταγμένη δεν υπάρχει (είναι άπειρη).
2. 2 Βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων. Στο γράφημα, σημειώστε οποιαδήποτε δύο σημεία και βρείτε τις συντεταγμένες τους (x, y). Για παράδειγμα, τα σημεία Α (2.4) και Β (6.6) βρίσκονται στο γράφημα.
   • Σε ένα ζεύγος συντεταγμένων, ο πρώτος αριθμός αντιστοιχεί στο "x" και ο δεύτερος στο "y".
   • Κάθε τιμή "x" αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή "y".
3. 3 Εξίσωση x₁, y₁, Χ₂, y₂ στις αντίστοιχες τιμές. Στο παράδειγμά μας με τα σημεία Α (2,4) και Β (6,6):
   • Χ₁: 2
   • y₁: 4
   • Χ₂: 6
   • y₂: 6
4. 4 Συνδέστε τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο κλίσης. Για να βρείτε την κλίση, χρησιμοποιούνται οι συντεταγμένες δύο σημείων και χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Συνδέστε τις συντεταγμένες δύο σημείων.
   • Δύο σημεία: Α (2,4) και Β (6,6).
   • Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες των σημείων στον τύπο:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • Απλοποιήστε για μια οριστική απάντηση:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = Κλίση
5. 5 Επεξήγηση της ουσίας του τύπου. Η κλίση είναι ίση με την αναλογία της αλλαγής στη συντεταγμένη "y" (δύο σημεία) προς την αλλαγή της συντεταγμένης "x" (δύο σημεία). Η αλλαγή συντεταγμένων είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της αντίστοιχης συντεταγμένης του πρώτου και του δεύτερου σημείου.
6. 6 Ένας άλλος τύπος τύπου για τον υπολογισμό της κλίσης. Ο τυπικός τύπος για τον υπολογισμό της κλίσης είναι: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Μπορεί όμως να έχει την ακόλουθη μορφή: k = Δy / Δx, όπου Δ είναι το ελληνικό γράμμα "δέλτα" που δηλώνει τη διαφορά στα μαθηματικά. Δηλαδή, Δx = x_2 - x_1 και Δy = y_2 - y_1.

Μέθοδος 3 από 3: Χρήση διαφορικού λογισμού για τον υπολογισμό της κλίσης

1. 1 Μάθετε να λαμβάνετε παράγωγα από συναρτήσεις. Το παράγωγο χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται στο γράφημα αυτής της συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, το γράφημα μπορεί να είναι είτε ευθεία είτε καμπύλη γραμμή. Δηλαδή, το παράγωγο χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Θυμηθείτε τους γενικούς κανόνες βάσει των οποίων λαμβάνονται τα παράγωγα και μόνο στη συνέχεια προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
   • Διαβάστε το άρθρο Πώς να πάρετε ένα παράγωγο.
   • Ο τρόπος λήψης των απλούστερων παραγώγων, για παράδειγμα, του παραγώγου της εκθετικής εξίσωσης, περιγράφεται σε αυτό το άρθρο. Οι υπολογισμοί που παρουσιάζονται στα παρακάτω βήματα θα βασίζονται στις μεθόδους που περιγράφονται σε αυτό.
2. 2 Μάθετε να διακρίνετε μεταξύ προβλημάτων στα οποία η κλίση πρέπει να υπολογιστεί ως προς το παράγωγο μιας συνάρτησης. Σε προβλήματα δεν προτείνεται πάντα η εύρεση της κλίσης ή του παραγώγου μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε το ρυθμό αλλαγής μιας συνάρτησης στο σημείο Α (x, y). Μπορεί επίσης να σας ζητηθεί να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Α (x, y). Και στις δύο περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να ληφθεί το παράγωγο της συνάρτησης.
   • Για παράδειγμα, βρείτε την κλίση μιας συνάρτησης ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ στο σημείο Α (4.2).
   • Το παράγωγο συμβολίζεται συχνά ως ${ displaystyle f ’(x), y’,}$ ή ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 Πάρτε το παράγωγο της συνάρτησης που σας δίνεται. Δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε ένα γράφημα εδώ - χρειάζεστε μόνο την εξίσωση της συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, πάρτε το παράγωγο της συνάρτησης ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... Πάρτε το παράγωγο σύμφωνα με τις μεθόδους που περιγράφονται στο παραπάνω άρθρο:
   • Παράγωγο: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του συγκεκριμένου σημείου στο παράγωγο για να υπολογίσετε την κλίση. Το παράγωγο της συνάρτησης είναι ίσο με την κλίση σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Με άλλα λόγια, f '(x) είναι η κλίση της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο (x, f (x)). Στο παράδειγμά μας:
   • Βρείτε την κλίση της συνάρτησης ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ στο σημείο Α (4.2).
   • Παράγωγο της συνάρτησης:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • Αντικαταστήστε την τιμή για τη συντεταγμένη x αυτού του σημείου:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • Βρείτε την κλίση:
   • Κλίση της λειτουργίας ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ στο σημείο Α (4.2) είναι 22.
5. 5 Εάν είναι δυνατόν, ελέγξτε την απάντησή σας στο γράφημα. Θυμηθείτε ότι η κλίση μπορεί να μην υπολογίζεται σε κάθε σημείο. Ο διαφορικός υπολογισμός εξετάζει σύνθετες συναρτήσεις και σύνθετα γραφήματα, όπου η κλίση δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο και σε ορισμένες περιπτώσεις τα σημεία δεν βρίσκονται καθόλου στα γραφήματα. Εάν είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή γραφικών για να ελέγξετε ότι η κλίση υπολογίζεται σωστά για τη συνάρτηση που σας έχει δοθεί.Διαφορετικά, σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο γράφημα στο δεδομένο σημείο και εξετάστε εάν η τιμή κλίσης που βρήκατε ταιριάζει με αυτήν που βλέπετε στο γράφημα.
   • Η εφαπτομένη θα έχει την ίδια κλίση με το γράφημα συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Για να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο, μετακινηθείτε προς τα δεξιά / αριστερά κατά μήκος του άξονα Χ (στο παράδειγμά μας, 22 τιμές προς τα δεξιά) και, στη συνέχεια, προς τα πάνω κατά μία μονάδα κατά μήκος του άξονα Υ. Σημειώστε το σημείο και, στη συνέχεια, συνδέστε το στο σημείο που σας δόθηκε. Στο παράδειγμά μας, συνδέστε τα σημεία στις συντεταγμένες (4,2) και (26,3).