Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 2: Πίνακας
• Μέθοδος 2 από 2: Binet Formula και Golden Ratio

Η ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών. Οι ακολουθίες αριθμών βρίσκονται συχνά στη φύση και την τέχνη με τη μορφή σπιράλ και τη "χρυσή αναλογία". Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού της ακολουθίας Fibonacci είναι η δημιουργία ενός πίνακα, αλλά αυτή η μέθοδος δεν ισχύει για μεγάλες ακολουθίες. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να καθορίσετε τον 100ο όρο σε μια ακολουθία, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Binet.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Πίνακας

1. 1 Σχεδιάστε έναν πίνακα με δύο στήλες. Ο αριθμός των σειρών στον πίνακα εξαρτάται από τον αριθμό των αριθμών ακολουθίας Fibonacci που πρέπει να βρεθούν.
   • Για παράδειγμα, εάν θέλετε να βρείτε τον πέμπτο αριθμό σε μια ακολουθία, σχεδιάστε έναν πίνακα με πέντε σειρές.
   • Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, δεν μπορείτε να βρείτε κάποιο τυχαίο αριθμό χωρίς να υπολογίσετε όλους τους προηγούμενους αριθμούς. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον 100ο αριθμό μιας ακολουθίας, πρέπει να υπολογίσετε όλους τους αριθμούς: από τον πρώτο έως τον 99ο. Επομένως, ο πίνακας ισχύει μόνο για την εύρεση των πρώτων αριθμών της ακολουθίας.
2. 2 Στην αριστερή στήλη, γράψτε τους κανονικούς αριθμούς των μελών της ακολουθίας. Δηλαδή, γράψτε τους αριθμούς με τη σειρά, ξεκινώντας από έναν.
   • Τέτοιοι αριθμοί καθορίζουν τους κανονικούς αριθμούς των μελών (αριθμοί) της ακολουθίας Fibonacci.
   • Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον πέμπτο αριθμό μιας ακολουθίας, γράψτε τους ακόλουθους αριθμούς στην αριστερή στήλη: 1, 2, 3, 4, 5. Δηλαδή, πρέπει να βρείτε τον πρώτο έως τον πέμπτο αριθμό της ακολουθίας Ε
3. 3 Στην πρώτη γραμμή της δεξιάς στήλης, γράψτε 1. Αυτός είναι ο πρώτος αριθμός (μέλος) της ακολουθίας Fibonacci.
   • Λάβετε υπόψη ότι η ακολουθία Fibonacci ξεκινά πάντα με 1. Εάν η ακολουθία ξεκινά με διαφορετικό αριθμό, έχετε υπολογίσει εσφαλμένα όλους τους αριθμούς μέχρι τον πρώτο.
4. 4 Προσθέστε 0 στον πρώτο όρο (1). Αυτός είναι ο δεύτερος αριθμός στην ακολουθία.
   • Θυμηθείτε: για να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό στην ακολουθία Fibonacci, απλά προσθέστε τους δύο προηγούμενους αριθμούς.
   • Για να δημιουργήσετε μια ακολουθία, μην ξεχνάτε το 0 που έρχεται πριν από το 1 (ο πρώτος όρος), οπότε 1 + 0 = 1.
5. 5 Προσθέστε τον πρώτο (1) και τον δεύτερο (1) όρο. Αυτός είναι ο τρίτος αριθμός στην ακολουθία.
   • 1 + 1 = 2. Ο τρίτος όρος είναι 2.
6. 6 Προσθέστε τον δεύτερο (1) και τον τρίτο (2) όρο για να λάβετε τον τέταρτο αριθμό στην ακολουθία.
   • 1 + 2 = 3. Ο τέταρτος όρος είναι 3.
7. 7 Προσθέστε τον τρίτο (2) και τον τέταρτο (3) όρο. Αυτός είναι ο πέμπτος αριθμός στην ακολουθία.
   • 2 + 3 = 5. Ο πέμπτος όρος είναι 5.
8. 8 Προσθέστε τους δύο προηγούμενους αριθμούς για να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό στην ακολουθία Fibonacci. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον τύπο: ${ displaystyle F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}}$... Αυτός ο τύπος δεν είναι κλειστός, επομένως, χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο δεν μπορείτε να βρείτε κανένα μέλος της ακολουθίας χωρίς να υπολογίσετε όλους τους προηγούμενους αριθμούς.

Μέθοδος 2 από 2: Binet Formula και Golden Ratio

1. 1 Γράψτε τον τύπο:${ displaystyle x_ {n}}$=${ displaystyle { frac { phi ^ {n} - (1- phi) ^ {n}} { sqrt {5}}}}$... Σε αυτόν τον τύπο ${ displaystyle x_ {n}}$ - το απαιτούμενο μέλος της ακολουθίας, ${ displaystyle n}$ - τον αύξοντα αριθμό του μέλους, ${ displaystyle phi}$ - η χρυσή αναλογία.
   • Αυτός είναι ένας κλειστός τύπος, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας χωρίς να υπολογίσετε όλους τους προηγούμενους αριθμούς.
   • Αυτός είναι ένας απλοποιημένος τύπος που προέρχεται από τον τύπο του Binet για τους αριθμούς Fibonacci.
   • Ο τύπος περιέχει τη χρυσή αναλογία (${ displaystyle phi}$), επειδή η αναλογία των δύο διαδοχικών αριθμών στην ακολουθία Fibonacci είναι πολύ παρόμοια με τη χρυσή αναλογία.
2. 2 Αντικαταστήστε τον κανονικό αριθμό του αριθμού στον τύπο (αντί για ν{ displaystyle n}).${ displaystyle n}$ Είναι ο κανονικός αριθμός οποιουδήποτε επιθυμητού μέλους της ακολουθίας.
   • Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον πέμπτο αριθμό σε μια ακολουθία, αντικαταστήστε το 5 στον τύπο.Ο τύπος θα γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle x_ {5}}$=${ displaystyle { frac { phi ^ {5} - (1- phi) ^ {5}} { sqrt {5}}}}$.
3. 3 Αντικαταστήστε τη χρυσή αναλογία στον τύπο. Η χρυσή τομή είναι περίπου ίση με 1,618034. συνδέστε αυτόν τον αριθμό στον τύπο.
   • Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον πέμπτο αριθμό μιας ακολουθίας, ο τύπος θα γραφτεί ως εξής:${ displaystyle x_ {5}}$=${ displaystyle { frac {(1.618034) ^ {5} - (1-1.618034) ^ {5}} { sqrt {5}}}}$.
4. 4 Αξιολογήστε την έκφραση σε παρένθεση. Μην ξεχνάτε τη σωστή σειρά μαθηματικών πράξεων, στην οποία πρώτα αξιολογείται η έκφραση σε παρένθεση:${ displaystyle 1-1.618034 = -0.618034}$.
   • Στο παράδειγμά μας, ο τύπος θα γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle x_ {5}}$=${ displaystyle { frac {(1.618034) ^ {5} - ( - 0.618034) ^ {5}} { sqrt {5}}}}$.
5. 5 Αυξήστε τους αριθμούς σε δυνάμεις. Ανυψώστε τους δύο αριθμούς στον αριθμητή στις κατάλληλες δυνάμεις.
   • Στο παράδειγμά μας: ${ displaystyle 1.618034 ^ {5} = 11.090170}$; ${ displaystyle -0.618034 ^ {5} = - 0.090169}$... Ο τύπος θα γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle x_ {5} = { frac {11.090170 - ( - 0.090169)} { sqrt {5}}}}$.
6. 6 Αφαιρέστε δύο αριθμούς. Αφαιρέστε τους αριθμούς στον αριθμητή πριν διαιρέσετε.
   • Στο παράδειγμά μας: ${ displaystyle 11.090170 - ( - 0.090169) = 11.180339}$... Ο τύπος θα γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle x_ {5}}$=${ displaystyle { frac {11,180339} { sqrt {5}}}}$.
7. 7 Διαιρέστε το αποτέλεσμα με την τετραγωνική ρίζα του 5. Η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι περίπου 2.236067.
   • Στο παράδειγμά μας: ${ displaystyle { frac {11.180339} {2.236067}} = 5.000002}$.
8. 8 Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό. Το τελευταίο αποτέλεσμα θα είναι ένα δεκαδικό κλάσμα που είναι κοντά σε έναν ακέραιο. Ένας τέτοιος ακέραιος είναι ο αριθμός της ακολουθίας Fibonacci.
   • Εάν χρησιμοποιείτε μη στρογγυλεμένους αριθμούς στους υπολογισμούς σας, λαμβάνετε έναν ακέραιο αριθμό. Είναι πολύ πιο εύκολο να εργαστείτε με στρογγυλεμένους αριθμούς, αλλά σε αυτή την περίπτωση θα πάρετε ένα δεκαδικό κλάσμα.
   • Στο παράδειγμά μας, πήρατε το δεκαδικό 5.000002. Στρογγυλοποιήστε τον στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό για να πάρετε τον πέμπτο αριθμό Fibonacci, που είναι 5.