Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 2: Το μήκος των πλευρών ενός δεξιού τριγώνου
• Μέθοδος 2 από 2: Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο
• Συμβουλές

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα περιγράφει το μήκος των πλευρών ενός δεξιού τριγώνου με τρόπο που είναι τόσο κομψός και πρακτικός που εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ευρέως. Αυτό δηλώνει ότι για οποιοδήποτε δεξί τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των ευθειών πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτενούς χρήσης. Με άλλα λόγια, για ένα δεξί τρίγωνο (ένα τρίγωνο με πλευρές κάθετες μεταξύ τους), με πλευρές μήκους a και b και υπότενση μήκους c: a + b = γ. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένας από τους πυλώνες της γεωμετρίας και έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές - χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, για παράδειγμα, είναι πολύ εύκολο να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο επίπεδο.

Για να πας

Μέθοδος 1 από 2: Το μήκος των πλευρών ενός δεξιού τριγώνου

1. Ελέγξτε αν αντιμετωπίζετε ένα σωστό τρίγωνο. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο με σωστά τρίγωνα, οπότε πριν προχωρήσετε, είναι σημαντικό να επαληθεύσετε ότι το τρίγωνό σας πληροί τον ορισμό του σωστού τριγώνου. Ευτυχώς, υπάρχει μόνο ένας παράγοντας που είναι καθοριστικός από αυτή την άποψη - μία από τις γωνίες του τριγώνου πρέπει να είναι γωνία 90 μοιρών.
   • Ως ένδειξη, οι ορθές γωνίες επισημαίνονται συχνά με ένα μικρό τετράγωνο βραχίονα για να δείξει ότι αυτή είναι μια γωνία 90 μοιρών. Ελέγξτε αν υπάρχει τέτοια παρένθεση σε μία από τις γωνίες του τριγώνου σας.
2. Αντιστοιχίστε τις μεταβλητές a, b και c στις πλευρές του τριγώνου σας. Στο Πυθαγόρειο θεώρημα, οι μεταβλητές a και b αναφέρονται στις σωστές πλευρές του τριγώνου σας, και η μεταβλητή c έως την υποτείνουσα - τη μεγάλη πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία. Αρχικά, αντιστοιχίζετε τις μεταβλητές a και b (η σειρά δεν έχει σημασία) στις ευθείες πλευρές και c αντιστοιχίζετε στην υπόθεση.
3. Προσδιορίστε ποια πλευρά του τριγώνου θέλετε να μάθετε. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα σας επιτρέπει να βρείτε το μήκος κάθε πλευράς ενός τριγώνου, με την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές δύο από τις πλευρές. Προσδιορίστε ποια από τις πλευρές έχει άγνωστο μήκος - ένα, σι, και / ή ντο. Εάν μόνο ένα είναι άγνωστο, μπορείτε να συνεχίσετε.
   • Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος 5 και μια από τις άλλες πλευρές έχει μήκος 3. Το μήκος της υπόλοιπης πλευράς είναι άγνωστο. Εφόσον είναι γνωστές δύο από τις πλευρές, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της άγνωστης πλευράς! Θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το παράδειγμα ξανά αργότερα.
   • Εάν το μήκος δύο από τις πλευρές είναι άγνωστες, πρέπει να καθορίσετε το μήκος τουλάχιστον μίας ακόμη πλευράς για να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να σας βοηθήσουν με αυτό, αρκεί να γνωρίζετε μια από τις άλλες, μη ορθές γωνίες του τριγώνου.
4. Υπολογίστε χρησιμοποιώντας την εξίσωση και τα άτομα που γνωρίζετε. Εισαγάγετε τις τιμές για το μήκος των πλευρών του τριγώνου σας στην εξίσωση a + b = c. Θυμηθείτε ότι το a και b είναι οι ευθείες πλευρές και το c είναι η υπόταση.
   • Στο παράδειγμά μας, γνωρίζουμε το μήκος μιας πλευράς και το μήκος της υποτενούς χρήσης (3 & 5), οπότε γράφουμε την εξίσωση μας ως εξής: 3² + b² = 5²
5. Υπολογίστε τα τετράγωνα. Για να λύσετε την εξίσωση σας, ξεκινήστε τετραγωνίζοντας κάθε μία από τις γνωστές πλευρές. Εάν το βρείτε ευκολότερο, μπορείτε να αφήσετε τη δύναμη και να το τετραγωνίσετε αργότερα.
   • Στο παράδειγμά μας, τετράγωνο 3 και 5 για να λάβουμε απάντηση. 9 και 25 να πάρω. Τώρα μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση ως 9 + b² = 25.
6. Απομονώστε την άγνωστη μεταβλητή στη μία πλευρά του ίσου σημείου. Εάν είναι απαραίτητο, χρησιμοποιήστε τυπικές αλγεβρικές λειτουργίες για να μεταφέρετε το άγνωστο στη μία πλευρά του σημείου ίσο και τα τετράγωνα στην άλλη. Εάν προσπαθείτε να βρείτε την υπόταση, τότε το c στο θεώρημα είναι ήδη στη μία πλευρά, οπότε μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα.
   • Στο παράδειγμά μας, η εξίσωση είναι τώρα 9 + b² = 25. Για να απομονώσουμε b & sup2, αφαιρούμε το 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό μας αφήνει b² = 16.
7. Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Θα πρέπει τώρα να έχετε ένα τετράγωνο (μεταβλητή) στη μία πλευρά της εξίσωσης και έναν αριθμό στην άλλη. Τώρα τραβήξτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να βρείτε το μήκος του άγνωστου.
   • Στο παράδειγμά μας, b² = 16, η εξίσωση μετά την τετραγωνική ριζοβολία είναι b = 4. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι το μήκος της άγνωστης πλευράς του τριγώνου μας είναι ίσο με 4.
8. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στην πράξη. Ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιείται το θεώρημα του Πυθαγόρειου είναι επειδή ισχύει για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Μάθετε να αναγνωρίζετε τα σωστά τρίγωνα στον κόσμο γύρω σας - όπου μπορείτε να αναγνωρίσετε ένα σωστό τρίγωνο σε ένα ή περισσότερα αντικείμενα, το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει για να βρείτε το μήκος μιας από τις πλευρές, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν δύο πλευρές ή γωνίες.
   • Ας πάρουμε ένα παράδειγμα από τον πραγματικό κόσμο. Μια σκάλα κλίνει ενάντια σε έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας απέχει 5 μέτρα από τον τοίχο. Η σκάλα φτάνει τα 20 μέτρα από το κάτω μέρος του τοίχου. Πόσο καιρό είναι η σκάλα;
     • "5 μέτρα είναι η απόσταση από τον τοίχο" και "η σκάλα είναι 20 μέτρα ύψος". Αυτό δίνει μια ένδειξη του μήκους των πλευρών του τριγώνου. Δεδομένου ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο τοίχος και το έδαφος σχηματίζουν ορθή γωνία και η σκάλα είναι διαγώνια ενάντια στον τοίχο υπό γωνία, μπορούμε να θεωρήσουμε αυτήν τη διάταξη ως ένα σωστό τρίγωνο, των οποίων οι πλευρές έχουν μήκος a = 5 και b = 20. Το μήκος της σκάλας είναι η υποτείνουσα, η άγνωστη μεταβλητή c. Ας εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = γ
       • c = 20.6. Το μήκος της σκάλας είναι (κατά προσέγγιση) 20,6 μέτρα.

Μέθοδος 2 από 2: Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο

1. Ορίστε δύο σημεία στο επίπεδο. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολύ εύκολα για να βρει την ευθεία απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο. Το μόνο που χρειάζεστε είναι οι συντεταγμένες x και y οποιουδήποτε δύο σημείων. Συνήθως αυτές οι συντεταγμένες γράφονται ως (x, y).
   • Για να βρούμε την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων, θεωρούμε καθένα από τα σημεία ως μία από τις κορυφές ενός δεξιού τριγώνου, το οποίο δεν ανήκει στη σωστή γωνία. Αυτό καθιστά πολύ εύκολο να βρεθεί το μήκος των α και β, μετά το οποίο μπορούν να υπολογιστούν το c (η υπόταση και η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων).
2. Σχεδιάστε τα δύο σημεία σε ένα γράφημα. Σε επίπεδο X-Y, για κάθε σημείο (x, y), το x είναι ένα σημείο στον οριζόντιο άξονα x και το y είναι ένα σημείο στον κατακόρυφο άξονα y. Μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο χωρίς να τα καταγράψετε, αλλά αυτό θα σας δώσει μια οπτική αναφορά που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να ελέγξετε αν η απάντησή σας έχει νόημα.
3. Προσδιορίστε το μήκος των ευθειών πλευρών του τριγώνου σας. Λαμβάνοντας υπόψη τα δύο σημεία σας ως γωνίες του τριγώνου που γειτνιάζουν με την υπόταση, μπορείτε να βρείτε το μήκος των πλευρών a και b. Μπορείτε να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας το γράφημα ή χρησιμοποιώντας τους τύπους | x₁ - Χ₂| για την οριζόντια πλευρά και | y₁ - ε₂| για την κάθετη πλευρά, όπου (x₁, γ₁) είναι το πρώτο σημείο και (x₂, γ₂) το δεύτερο σημείο.
   • Ας υποθέσουμε ότι έχουμε σημεία (6,1) και (3,5). Το μήκος της οριζόντιας πλευράς του τριγώνου μας είναι:
     • | x₁ - Χ₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Το μήκος της κάθετης πλευράς είναι:
     • | ε₁ - ε₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι το μήκος των πλευρών του δεξιού τριγώνου μας είναι ίσο με a = 3 και b = 4.
4. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την υπόθεση. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων είναι το μήκος της υποτελούς χρήσης του τριγώνου. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρείτε την υπόταση του τριγώνου, με τις πλευρές a, b και c.
   • Στο παράδειγμά μας, γνωρίζουμε τα σημεία (3,5) και (6,1), και τα μήκη των πλευρών είναι a = 3 και b = 4, οπότε προσδιορίζουμε την υπόταση ως εξής:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. Η απόσταση μεταξύ (3,5) και (6,1) είναι 5.

Συμβουλές

• Εάν το τρίγωνο δεν είναι σωστό τρίγωνο, τότε δεν μπορείτε απλώς να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
• Η υποτείνουσα είναι πάντα:
  • η γραμμή απέναντι από τη σωστή γωνία
  • τη μεγαλύτερη πλευρά του δεξιού τριγώνου
  • η μεταβλητή ντο στο Πυθαγόρειο θεώρημα
• sqrt (x) σημαίνει "η τετραγωνική ρίζα του x".
• Μην ξεχάσετε να ελέγχετε πάντα τις απαντήσεις σας. Εάν μια απάντηση φαίνεται να είναι λανθασμένη, ελέγξτε τους υπολογισμούς σας ή ξεκινήστε ξανά.
• Εάν γνωρίζετε μόνο τη μία πλευρά του τριγώνου, αλλά και μία από τις άλλες γωνίες (τότε τη σωστή γωνία), υπολογίστε πρώτα μια άλλη πλευρά με όσα γνωρίζετε για την τριγωνομετρία (αμαρτία, cos, μαύρισμα) ή τις αναλογίες 30-60-90 / 45-45-90.
• Ένας άλλος έλεγχος - η μεγαλύτερη πλευρά είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία και η μικρότερη πλευρά είναι αντίθετη από τη μικρότερη γωνία.