Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 3: Χρήση της μεθόδου αντικατάστασης
• Μέθοδος 2 από 3: Χρήση της μεθόδου απομάκρυνσης
• Μέθοδος 3 από 3: Σχεδιάστε τις εξισώσεις
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Σε ένα "σύστημα εξισώσεων" σας ζητείται να επιλύσετε ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες εξισώσεις. Όταν αυτά τα δύο περιέχουν διαφορετικές μεταβλητές, όπως x και y, ή a και b, μπορεί να είναι δύσκολο με την πρώτη ματιά να δούμε πώς να τα λύσουμε. Ευτυχώς, μόλις ξέρετε τι να κάνετε, χρειάζεστε μόνο βασικές μαθηματικές δεξιότητες (και μερικές φορές κάποια κλάση γνώσεων) για να λύσετε το πρόβλημα. Εάν απαιτείται, ή εάν είστε οπτικός μαθητής, μάθετε πώς να γράφετε επίσης τις εξισώσεις. Η γραφική παράσταση (σχεδίαση) ενός γραφήματος μπορεί να είναι χρήσιμη για "να δείτε τι συμβαίνει" ή για να ελέγξετε την εργασία σας, αλλά μπορεί επίσης να είναι πιο αργή από τις άλλες μεθόδους και δεν λειτουργεί με όλα τα συστήματα εξισώσεων.

Για να πας

Μέθοδος 1 από 3: Χρήση της μεθόδου αντικατάστασης

1. Μετακινήστε τις μεταβλητές σε διαφορετικές πλευρές της εξίσωσης. Αυτή η μέθοδος "υποκατάστασης" ξεκινά με την "επίλυση για x" (ή οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή) σε μία από τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, έχουμε τις ακόλουθες εξισώσεις: 4x + 2y = 8 και 5x + 3x = 9. Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε την πρώτη σύγκριση. Αναδιάταξη αφαιρώντας 2y από κάθε πλευρά και λαμβάνετε: 4x = 8-2y.
   • Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί συχνά κλάσματα σε μεταγενέστερο στάδιο. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο εξάλειψης παρακάτω εάν προτιμάτε να μην εργάζεστε με κλάσματα.
2. Χωρίστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να λύσετε το "x". Μόλις έχετε τον όρο x (ή οποιαδήποτε μεταβλητή χρησιμοποιείτε) στη μία πλευρά της εξίσωσης, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να απομονώσετε τη μεταβλητή. Για παράδειγμα:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Συνδέστε το ξανά στην άλλη εξίσωση. Φροντίστε να επιστρέψετε στο Οι υπολοιποι σύγκριση, όχι αυτή που έχετε ήδη χρησιμοποιήσει. Σε αυτήν την εξίσωση, αντικαθιστάτε τη μεταβλητή που επιλύσατε, αφήνοντας μόνο μία μεταβλητή. Για παράδειγμα:
   • Τώρα ξέρετε ότι: x = 2 - ½y.
   • Η δεύτερη εξίσωση, την οποία δεν έχετε αλλάξει ακόμη, είναι: 5x + 3x = 9.
   • Στη δεύτερη εξίσωση, αντικαταστήστε το x με "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Λύστε για την υπόλοιπη μεταβλητή. Τώρα έχετε μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή. Χρησιμοποιήστε κοινές τεχνικές άλγεβρας για να επιλύσετε αυτήν τη μεταβλητή. Εάν οι μεταβλητές ακυρώνονται μεταξύ τους, μεταβείτε στο τελευταίο βήμα. Διαφορετικά, καταλήγετε σε μια απάντηση σε μία από τις μεταβλητές σας:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Εάν δεν καταλαβαίνετε αυτό το βήμα, μάθετε πώς να προσθέτετε κλάσματα. Αυτό είναι συχνά, αλλά όχι πάντα, απαραίτητο με αυτήν τη μέθοδο).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Χρησιμοποιήστε την απάντηση για να επιλύσετε την άλλη μεταβλητή. Μην κάνετε το λάθος να ολοκληρώσετε το πρόβλημα στη μέση. Θα πρέπει να εισαγάγετε ξανά την απάντηση που λάβατε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις, ώστε να μπορείτε να επιλύσετε την άλλη μεταβλητή:
   • Τώρα ξέρετε ότι: y = -2
   • Μία από τις αρχικές εξισώσεις είναι: 4x + 2y = 8. (Και οι δύο εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αυτό το βήμα).
   • Συνδέστε το -2 αντί του y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Μάθετε τι να κάνετε εάν και οι δύο μεταβλητές ακυρώσουν η μία την άλλη. Οταν εσύ x = 3y + 2 ή λάβετε μια παρόμοια απάντηση στην άλλη εξίσωση, προσπαθείτε να λάβετε μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή. Μερικές φορές καταλήγετε με μια εξίσωση χωρίς μεταβλητές. Ελέγξτε ξανά την εργασία σας και βεβαιωθείτε ότι έχετε αντικαταστήσει την (αναδιάταξη) πρώτη εξίσωση στη δεύτερη εξίσωση και όχι την πρώτη εξίσωση. Εάν είστε βέβαιοι ότι δεν έχετε κάνει λάθη, θα λάβετε ένα από τα ακόλουθα αποτελέσματα:
   • Εάν καταλήξετε σε μια εξίσωση χωρίς μεταβλητές και η οποία δεν είναι αληθής (π.χ. 3 = 5), τότε έχετε το πρόβλημα καμία λύση. (Εάν έχετε γράψει τις εξισώσεις, θα δείτε ότι είναι παράλληλες και δεν τέμνονται ποτέ).
   • Εάν καταλήξετε σε μια εξίσωση χωρίς μεταβλητές, αλλά αυτές Καλά είναι αλήθεια (για παράδειγμα, 3 = 3), τότε έχει το πρόβλημα έναν άπειρο αριθμό λύσεων. Οι δύο εξισώσεις είναι ακριβώς ίδιες. (Εάν σχεδιάσετε τις δύο εξισώσεις, θα δείτε ότι επικαλύπτονται ακριβώς).

Μέθοδος 2 από 3: Χρήση της μεθόδου απομάκρυνσης

1. Καθορίζει τη μεταβλητή που πρέπει να εξαλειφθεί. Μερικές φορές οι εξισώσεις "εξαλείφονται" μεταξύ τους σε μια μεταβλητή μόλις τις προσθέσετε μαζί. Για παράδειγμα, όταν κάνετε τις εξισώσεις 3x + 2y = 11 και 5x - 2y = 13 συνδυάζει, το "+ 2y" και το "-2y" θα ακυρώσουν το ένα το άλλο, με όλα τα "ys εξαλείφονται από την εξίσωση. Κοιτάξτε τις εξισώσεις στο πρόβλημά σας για να μάθετε εάν κάποια από τις μεταβλητές θα εξαλειφθεί με αυτόν τον τρόπο. Εάν καμία από τις μεταβλητές δεν έχει εξαλειφθεί, διαβάστε το επόμενο βήμα για συμβουλές.
2. Πολλαπλασιάστε μια εξίσωση για να ακυρώσετε μια μεταβλητή. (Παραλείψτε αυτό το βήμα εάν οι μεταβλητές έχουν ήδη εξαλείψει η μία την άλλη). Εάν καμία από τις μεταβλητές στις εξισώσεις ακυρώνεται από μόνη της, τότε πρέπει να αλλάξετε μία από τις εξισώσεις έτσι ώστε να ισχύει. Αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει κατανοητό με ένα παράδειγμα:
   • Ας υποθέσουμε ότι έχετε το σύστημα εξισώσεων 3x - y = 3 και -x + 2y = 4.
   • Ας αλλάξουμε την πρώτη εξίσωση έτσι ώστε η μεταβλητή να είναι γ εξαλείφεται. (Μπορείτε επίσης να το κάνετε αυτό για Χ κάντε και λάβετε την ίδια απάντηση).
   • ο - ε " της πρώτης εξίσωσης θα πρέπει να εξαλειφθεί με το + 2ε Στη δεύτερη εξίσωση. Μπορούμε να το κάνουμε μέχρι - ε πολλαπλασιάστε με 2.
   • Πολλαπλασιάζουμε τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης με 2, ως εξής: 2 (3x - y) = 2 (3), και έτσι 6x - 2y = 6. Τώρα θα - 2ε πέσει μακριά από το + 2ε στη δεύτερη εξίσωση.
3. Συνδυάστε τις δύο εξισώσεις. Για να συνδυάσετε δύο εξισώσεις, προσθέστε μαζί την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Εάν έχετε γράψει σωστά την εξίσωση, μία από τις μεταβλητές θα πρέπει να ακυρωθεί έναντι της άλλης. Ακολουθεί ένα παράδειγμα που χρησιμοποιεί τις ίδιες εξισώσεις με το τελευταίο βήμα:
   • Οι εξισώσεις σας είναι: 6x - 2y = 6 και -x + 2y = 4.
   • Συνδυάστε τις αριστερές πλευρές: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Συνδυάστε τις σωστές πλευρές: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Λύστε για την τελευταία μεταβλητή. Απλοποιήστε τη συνδυασμένη εξίσωση και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τη βασική άλγεβρα για να επιλύσετε την τελευταία μεταβλητή. Εάν δεν έχουν απομείνει μεταβλητές μετά την απλοποίηση, συνεχίστε στο τελευταίο βήμα σε αυτήν την ενότητα. Διαφορετικά, θα πρέπει να τελειώσετε με μια απλή απάντηση σε μία από τις μεταβλητές σας. Για παράδειγμα:
   • Εχεις: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Ομαδοποιήστε τις μεταβλητές Χ και γ ο ένας με τον άλλο: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Απλοποιώ: 5x = 10
   • Λύστε για x: (5x) / 5 = 10/5, έτσι ώστε x = 2.
5. Λύστε για τις άλλες μεταβλητές. Βρήκατε μία μεταβλητή, αλλά δεν έχετε τελειώσει ακόμα. Αντικαταστήστε την απάντησή σας σε μία από τις αρχικές εξισώσεις, ώστε να μπορείτε να επιλύσετε την άλλη μεταβλητή. Για παράδειγμα:
   • Ξέρεις ότι x = 2, και ότι είναι μία από τις αρχικές σας εξισώσεις 3x - y = 3 είναι.
   • Συνδέστε 2, αντί για x: 3 (2) - y = 3.
   • Λύστε y στην εξίσωση: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, Έτσι 6 = 3 + ε
   • 3 = ε
6. Μάθετε τι να κάνετε όταν και οι δύο μεταβλητές ακυρώνουν η μία την άλλη. Μερικές φορές ο συνδυασμός δύο εξισώσεων οδηγεί σε μια εξίσωση που δεν έχει νόημα ή δεν σας βοηθά να λύσετε το πρόβλημα. Ελέγξτε ξανά την εργασία σας από την αρχή, αλλά εάν δεν κάνατε λάθος, γράψτε μία από τις ακόλουθες απαντήσεις:
   • Εάν η συνδυασμένη εξίσωση δεν έχει μεταβλητές και δεν είναι αληθής (όπως 2 = 7) τότε υπάρχει καμία λύση που ισχύει και για τις δύο εξισώσεις. (Εάν σχεδιάσετε και τις δύο εξισώσεις, θα δείτε ότι είναι παράλληλες και δεν τέμνονται ποτέ).
   • Εάν η συνδυασμένη εξίσωση δεν έχει μεταβλητές και είναι αληθής (όπως 0 = 0), τότε υπάρχουν έναν άπειρο αριθμό λύσεων. Οι δύο εξισώσεις είναι στην πραγματικότητα πανομοιότυπες. (Εάν τα τοποθετήσετε σε ένα γράφημα, θα δείτε ότι αλληλεπικαλύπτονται εντελώς).

Μέθοδος 3 από 3: Σχεδιάστε τις εξισώσεις

1. Χρησιμοποιήστε αυτήν τη μέθοδο μόνο όταν καθορίζεται. Εκτός αν χρησιμοποιείτε υπολογιστή ή αριθμομηχανή γραφημάτων, πολλά συστήματα εξισώσεων μπορούν να επιλυθούν μόνο κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο. Ο καθηγητής ή το μαθηματικό σας βιβλίο μπορεί να σας ζητήσει να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, οπότε πιθανώς εξοικειωθείτε με γραφικές εξισώσεις όπως γραμμές. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο για να ελέγξετε εάν οι απαντήσεις σας από οποιαδήποτε από τις άλλες μεθόδους είναι σωστές.
   • Η βασική ιδέα είναι ότι γράφετε και τις δύο εξισώσεις και καθορίζετε το σημείο όπου τέμνονται. Οι τιμές x και y σε αυτό το σημείο δίνουν την τιμή x και την τιμή y στο σύστημα εξισώσεων.
2. Λύστε και τις δύο εξισώσεις για το y. Διατηρήστε τις δύο εξισώσεις ξεχωριστές και χρησιμοποιήστε την άλγεβρα για να μετατρέψετε κάθε εξίσωση στη μορφή "y = __x + __". Για παράδειγμα:
   • Η πρώτη εξίσωση είναι: 2x + y = 5. Αλλαγή σε: y = -2x + 5.
   • Η δεύτερη εξίσωση είναι: -3x + 6y = 0. Αλλάξτε το σε 6y = 3x + 0και απλοποιήστε το y = ½x + 0.
   • Είναι και οι δύο εξισώσεις ίδιες, τότε ολόκληρη η γραμμή γίνεται "σημείο διασταύρωσης". Γράφω: άπειρες λύσεις.
3. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Σχεδιάστε έναν κατακόρυφο "άξονα y" και έναν οριζόντιο "άξονα x" σε ένα φύλλο χαρτιού γραφήματος. Ξεκινήστε από το σημείο όπου οι γραμμές τέμνονται και επισημάνετε τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 κ.λπ. επάνω στον άξονα y και δεξιά ξανά κατά μήκος του άξονα x. Σημειώστε τους αριθμούς -1, -2, κ.λπ. κατά μήκος του άξονα y προς τα κάτω και προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα x.
   • Εάν δεν έχετε χαρτί γραφήματος, χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί είναι ομοιόμορφα σε απόσταση.
   • Εάν χρησιμοποιείτε μεγάλους αριθμούς ή δεκαδικά ψηφία, ίσως χρειαστεί να κλιμακώσετε το γράφημα. (Για παράδειγμα 10, 20, 30 ή 0.1, 0.2, 0.3 αντί για 1, 2, 3).
4. Σχεδιάστε τη διασταύρωση y για κάθε γραμμή. Μόλις έχετε μια εξίσωση στη φόρμα y = __x + __ μπορείτε να αρχίσετε να το γράφετε ρυθμίζοντας ένα σημείο όπου η γραμμή αναχαιτίζει τον άξονα y Αυτό είναι πάντα σε τιμή y, ίσο με τον τελευταίο αριθμό αυτής της εξίσωσης.
   • Στα προηγούμενα παραδείγματα, μία γραμμή (y = -2x + 5) στον άξονα y 5. Η άλλη γραμμή (y = ½x + 0) διέρχεται από το μηδέν σημείο 0. (Αυτά είναι τα σημεία (0,5) και (0,0) στο γράφημα).
   • Υποδείξτε καθεμία από τις γραμμές με διαφορετικό χρώμα, εάν είναι δυνατόν
5. Χρησιμοποιήστε την κλίση για να συνεχίσετε να σχεδιάζετε τις γραμμές. Με τη μορφή y = __x + __, είναι ο αριθμός για το χ κλίση εκτός γραμμής. Κάθε φορά που το x αυξάνεται κατά ένα, η τιμή y αυξάνεται με την τιμή της κλίσης. Χρησιμοποιήστε αυτές τις πληροφορίες για να βρείτε το σημείο στο γράφημα για κάθε γραμμή όταν x = 1. (Εναλλακτικά, αντικαταστήστε το x = 1 για κάθε εξίσωση και λύστε το y).
   • Στο παράδειγμά μας, η γραμμή έχει y = -2x + 5 μια πλαγιά του -2. Στο x = 1 η γραμμή 2 κατεβαίνει κάτω από το σημείο x = 0. Σχεδιάστε το τμήμα γραμμής μεταξύ (0,5) και (1,3).
   • Ο κανόνας y = ½x + 0έχει κλίση ½. Στο x = 1, η γραμμή πηγαίνει ½ πάνω από το σημείο x = 0. Σχεδιάστε το τμήμα γραμμής μεταξύ (0,0) και (1, ½).
   • Όταν οι γραμμές έχουν την ίδια κλίση οι γραμμές δεν θα τέμνονται ποτέ, οπότε δεν υπάρχει λύση για το σύστημα εξισώσεων. Γράφω: καμία λύση.
6. Συνεχίστε να σχεδιάζετε τις γραμμές μέχρι να τέμνονται. Σταματήστε και δείτε το γράφημα σας. Εάν οι γραμμές έχουν διασταυρωθεί ήδη, προχωρήστε στο επόμενο βήμα. Διαφορετικά, λαμβάνετε μια απόφαση με βάση το τι κάνουν οι γραμμές:
   • Καθώς οι γραμμές κινούνται μεταξύ τους, συνεχίζετε να τραβάτε σημεία προς αυτήν την κατεύθυνση.
   • Εάν οι γραμμές απομακρύνονται η μία από την άλλη, επιστρέψτε και σχεδιάστε σημεία προς την άλλη κατεύθυνση, ξεκινώντας από x = -1.
   • Εάν οι γραμμές δεν είναι πουθενά το ένα κοντά στο άλλο, πηδήξτε μπροστά και σχεδιάστε πιο μακριά σημεία, όπως x = 10.
7. Βρείτε την απάντηση στη διασταύρωση των γραμμών. Μόλις οι δύο γραμμές τέμνονται, οι τιμές x και y σε αυτό το σημείο είναι η λύση στο πρόβλημα. Εάν είστε τυχεροί, η απάντηση θα είναι ακέραιος. Για παράδειγμα, στα παραδείγματα μας, οι δύο γραμμές τέμνονται (2,1) έτσι είναι η απάντησή σας x = 2 και y = 1. Σε ορισμένα συστήματα εξίσωσης, οι γραμμές θα τέμνονται σε μια τιμή μεταξύ δύο ακέραιων αριθμών, και εκτός αν το γράφημα σας είναι εξαιρετικά ακριβές, θα είναι δύσκολο να καταλάβετε πού είναι αυτό. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να δώσετε μια απάντηση όπως: "το x είναι μεταξύ 1 και 2". Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης ή τη μέθοδο εξάλειψης για να βρείτε την ακριβή απάντηση.

Συμβουλές

• Μπορείτε να ελέγξετε την εργασία σας εισάγοντας τις απαντήσεις στις αρχικές εξισώσεις. Εάν οι εξισώσεις είναι αληθείς (για παράδειγμα, 3 = 3), τότε η απάντησή σας είναι σωστή.
• Στη μέθοδο εξάλειψης, μερικές φορές πρέπει να πολλαπλασιάσετε μια εξίσωση με αρνητικό αριθμό για να εξαλείψετε μια μεταβλητή.

Προειδοποιήσεις

• Αυτές οι μέθοδοι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν εάν αντιμετωπίζετε έναν αριθμό ισχύος, όπως το x. Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με εξισώσεις αυτού του τύπου, θα χρειαστείτε έναν οδηγό για το τετραγωνικό παράγοντα με δύο μεταβλητές.