Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 2: Αλγεβρική μέθοδος
• Μέθοδος 2 από 2: Γραφική μέθοδος
• Συμβουλές
• Μια προειδοποίηση

Οι συναρτήσεις μπορεί να είναι άρτιες, περιττές ή γενικές (δηλαδή ούτε ζυγές ούτε περιττές). Ο τύπος της συνάρτησης εξαρτάται από την παρουσία ή την απουσία συμμετρίας. Ο καλύτερος τρόπος για να προσδιορίσετε το είδος της συνάρτησης είναι να εκτελέσετε μια σειρά αλγεβρικών υπολογισμών. Αλλά ο τύπος της συνάρτησης μπορεί επίσης να διαπιστωθεί από το πρόγραμμά της. Μαθαίνοντας πώς να ορίσετε το είδος των συναρτήσεων, μπορείτε να προβλέψετε τη συμπεριφορά ορισμένων συνδυασμών συναρτήσεων.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Αλγεβρική μέθοδος

1. 1 Θυμηθείτε ποιες είναι οι αντίθετες τιμές των μεταβλητών. Στην άλγεβρα, η αντίθετη τιμή μιας μεταβλητής γράφεται με σύμβολο "-" (μείον). Επιπλέον, αυτό ισχύει για κάθε χαρακτηρισμό της ανεξάρτητης μεταβλητής (με το γράμμα ${ displaystyle x}$ ή οποιοδήποτε άλλο γράμμα). Εάν στην αρχική συνάρτηση υπάρχει ήδη ένα αρνητικό πρόσημο μπροστά από τη μεταβλητή, τότε η αντίθετη τιμή της θα είναι μια θετική μεταβλητή. Παρακάτω παρατίθενται ορισμένες από τις μεταβλητές και οι αντίθετες σημασίες τους:
   • Το αντίθετο νόημα για ${ displaystyle x}$ είναι ένα ${ displaystyle -x}$.
   • Το αντίθετο νόημα για ${ displaystyle q}$ είναι ένα ${ displaystyle -q}$.
   • Το αντίθετο νόημα για ${ displaystyle -w}$ είναι ένα ${ displaystyle w}$.
2. 2 Αντικαταστήστε την επεξηγηματική μεταβλητή με την αντίθετη τιμή της. Δηλαδή, αντιστρέψτε το πρόσημο της ανεξάρτητης μεταβλητής. Για παράδειγμα:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ μετατρέπεται σε ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ μετατρέπεται σε ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ μετατρέπεται σε ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Απλοποιήστε τη νέα συνάρτηση. Σε αυτό το σημείο, δεν χρειάζεται να αντικαταστήσετε συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές για την ανεξάρτητη μεταβλητή. Απλώς πρέπει να απλοποιήσετε τη νέα συνάρτηση f (-x) για να τη συγκρίνετε με την αρχική συνάρτηση f (x). Θυμηθείτε τον βασικό κανόνα της εκτίμησης: η αύξηση μιας αρνητικής μεταβλητής σε άρτια ισχύ θα οδηγήσει σε θετική μεταβλητή και η αύξηση μιας αρνητικής μεταβλητής σε περιττή ισχύ θα οδηγήσει σε αρνητική μεταβλητή.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Συγκρίνετε τις δύο συναρτήσεις. Συγκρίνετε την απλοποιημένη νέα συνάρτηση f (-x) με την αρχική συνάρτηση f (x). Γράψτε τους αντίστοιχους όρους και των δύο συναρτήσεων μεταξύ τους και συγκρίνετε τα σημάδια τους.
   • Αν τα σύμβολα των αντίστοιχων όρων και των δύο συναρτήσεων συμπίπτουν, δηλαδή f (x) = f (-x), η αρχική συνάρτηση είναι άρτιη. Παράδειγμα:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ και ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Εδώ τα σημάδια των όρων συμπίπτουν, οπότε η αρχική συνάρτηση είναι άρτια.
   • Εάν τα σημάδια των αντίστοιχων όρων και των δύο συναρτήσεων είναι αντίθετα μεταξύ τους, δηλαδή, f (x) = -f (-x), η αρχική συνάρτηση είναι άρτια. Παράδειγμα:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, αλλά ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Σημειώστε ότι εάν πολλαπλασιάσετε κάθε όρο στην πρώτη συνάρτηση επί -1, θα λάβετε τη δεύτερη συνάρτηση. Έτσι, η αρχική συνάρτηση g (x) είναι περιττή.
   • Εάν η νέα συνάρτηση δεν ταιριάζει με κανένα από τα παραπάνω παραδείγματα, τότε είναι μια γενική συνάρτηση (δηλαδή, ούτε άρτια ούτε περιττή). Για παράδειγμα:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, αλλά ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Τα σημάδια των πρώτων όρων και των δύο συναρτήσεων είναι τα ίδια και τα σημεία των δεύτερων όρων είναι αντίθετα. Επομένως, αυτή η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Μέθοδος 2 από 2: Γραφική μέθοδος

1. 1 Σχεδιάστε ένα γράφημα συνάρτησης. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε χαρτί γραφικών ή αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων. Επιλέξτε οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των αριθμητικών επεξηγηματικών τιμών μεταβλητών ${ displaystyle x}$ και συνδέστε τα στη συνάρτηση για να υπολογίσετε τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ${ displaystyle y}$... Σχεδιάστε τις συντεταγμένες που βρέθηκαν στα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων και, στη συνέχεια, συνδέστε αυτά τα σημεία για να δημιουργήσετε ένα γράφημα της συνάρτησης.
   • Αντικαταστήστε θετικές αριθμητικές τιμές στη συνάρτηση ${ displaystyle x}$ και αντίστοιχες αρνητικές αριθμητικές τιμές. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Συνδέστε τις ακόλουθες τιμές ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες ${ displaystyle (-2,9)}$.
2. 2 Ελέγξτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Η συμμετρία αναφέρεται στον κατοπτρισμό του διαγράμματος γύρω από τον άξονα των τεταγμένων. Εάν το τμήμα του γραφήματος στα δεξιά του άξονα y (θετική επεξηγηματική μεταβλητή) συμπίπτει με το τμήμα του γραφήματος στα αριστερά του άξονα y (αρνητικές τιμές της επεξηγηματικής μεταβλητής), το γράφημα είναι συμμετρικό περίπου τον άξονα y. Αν η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη, η συνάρτηση είναι άρτια.
   • Μπορείτε να ελέγξετε τη συμμετρία του γραφήματος μεμονωμένα σημεία. Αν η τιμή ${ displaystyle y}$που αντιστοιχεί στην τιμή ${ displaystyle x}$, ταιριάζει με την τιμή ${ displaystyle y}$που αντιστοιχεί στην τιμή ${ displaystyle -x}$, η λειτουργία είναι άρτια.Στο παράδειγμά μας με τη συνάρτηση ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ έχουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων:
     • (1.3) και (-1.3)
     • (2,9) και (-2,9)
   • Σημειώστε ότι όταν x = 1 και x = -1, η εξαρτημένη μεταβλητή είναι y = 3, και όταν x = 2 και x = -2, η εξαρτημένη μεταβλητή είναι y = 9. Άρα η συνάρτηση είναι άρτια. Στην πραγματικότητα, για να μάθετε την ακριβή μορφή μιας συνάρτησης, πρέπει να λάβετε υπόψη περισσότερα από δύο σημεία, αλλά η μέθοδος που περιγράφεται είναι μια καλή προσέγγιση.
3. 3 Ελέγξτε αν το γράφημα της συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς την προέλευση. Η προέλευση είναι το σημείο με συντεταγμένες (0,0). Συμμετρία σχετικά με την προέλευση σημαίνει ότι μια θετική τιμή ${ displaystyle y}$ (με θετική τιμή ${ displaystyle x}$) αντιστοιχεί σε αρνητική τιμή ${ displaystyle y}$ (με αρνητική τιμή ${ displaystyle x}$), και αντίστροφα. Οι μονές συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς την προέλευση.
   • Αν αντικαταστήσουμε αρκετές θετικές και αντίστοιχες αρνητικές τιμές στη συνάρτηση ${ displaystyle x}$, αξίες ${ displaystyle y}$ θα διαφέρει στο ζώδιο. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Αντικαταστήστε πολλές τιμές σε αυτό ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Πήραμε ένα σημείο με συντεταγμένες (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Πήραμε ένα σημείο με συντεταγμένες (-2, -10).
   • Έτσι, f (x) = -f (-x), δηλαδή η συνάρτηση είναι περιττή.
4. 4 Ελέγξτε αν το γράφημα της συνάρτησης έχει συμμετρία. Ο τελευταίος τύπος συνάρτησης είναι μια συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση δεν έχει συμμετρία, δηλαδή δεν υπάρχει καθρέφτης τόσο για τον άξονα των τεταγμένων όσο και για την προέλευση. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Αντικαταστήστε αρκετές θετικές και αντίστοιχες αρνητικές τιμές στη συνάρτηση ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Πήραμε ένα σημείο με συντεταγμένες (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Πήρα ένα σημείο με συντεταγμένες (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Πήραμε ένα σημείο με συντεταγμένες (2, -2).
   • Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που προέκυψαν, δεν υπάρχει συμμετρία. Οι αξίες ${ displaystyle y}$ για αντίθετες τιμές ${ displaystyle x}$ δεν συμπίπτουν και δεν είναι αντίθετα. Έτσι, η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
   • Σημειώστε ότι η συνάρτηση ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ μπορεί να γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Όταν γράφεται με αυτήν τη μορφή, η συνάρτηση φαίνεται να είναι ομοιόμορφη επειδή υπάρχει ένας άρτιος εκθέτης. Αλλά αυτό το παράδειγμα αποδεικνύει ότι το είδος της συνάρτησης δεν μπορεί να προσδιοριστεί γρήγορα εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή περικλείεται σε παρενθέσεις. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες και να αναλύσετε τους λαμβανόμενους εκθέτες.

Συμβουλές

• Εάν ο εκθέτης της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ζυγός, τότε η συνάρτηση είναι άρτιος. αν ο εκθέτης είναι περιττός, η συνάρτηση είναι περιττή.

Μια προειδοποίηση

• Αυτό το άρθρο μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε συναρτήσεις με δύο μεταβλητές, οι τιμές των οποίων μπορούν να γραφτούν στο επίπεδο συντεταγμένων.