Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 3: Πώς να βρείτε την άγνωστη πλευρά
• Μέθοδος 2 από 3: Εύρεση άγνωστης γωνίας
• Μέθοδος 3 από 3: Δείγματα προβλημάτων
• Συμβουλές

Το θεώρημα συνημιτόνου χρησιμοποιείται ευρέως στην τριγωνομετρία. Χρησιμοποιείται όταν εργάζεστε με ακανόνιστα τρίγωνα για να βρείτε άγνωστες ποσότητες όπως πλευρές και γωνίες. Το θεώρημα είναι παρόμοιο με το Πυθαγόρειο θεώρημα και είναι αρκετά εύκολο να το θυμηθούμε. Το θεώρημα συνημιτόνου λέει ότι σε οποιοδήποτε τρίγωνο ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Πώς να βρείτε την άγνωστη πλευρά

1. 1 Γράψτε τις γνωστές τιμές. Για να βρείτε την άγνωστη πλευρά ενός τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τις άλλες δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.
   • Για παράδειγμα, δίνεται ένα τρίγωνο XYZ. Η πλευρά YX είναι 5 cm, η πλευρά YZ είναι 9 cm και η γωνία Y είναι 89 °. Τι είναι η πλευρά XZ;
2. 2 Γράψτε τον τύπο του θεωρήματος συνημίτονο. Τύπος: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, όπου ${ displaystyle c}$ - άγνωστο κόμμα, ${ displaystyle cos {C}}$ - συνημίτονο της γωνίας απέναντι από την άγνωστη πλευρά, ${ displaystyle a}$ και ${ displaystyle β}$ - δύο γνωστές πλευρές.
3. 3 Συνδέστε τις γνωστές τιμές στον τύπο. Μεταβλητές ${ displaystyle a}$ και ${ displaystyle β}$ δηλώνουν δύο γνωστές πλευρές. Μεταβλητός ${ displaystyle C}$ είναι η γνωστή γωνία που βρίσκεται μεταξύ των πλευρών ${ displaystyle a}$ και ${ displaystyle β}$.
   • Στο παράδειγμά μας, η πλευρά XZ είναι άγνωστη, επομένως στον τύπο συμβολίζεται ως ${ displaystyle c}$... Δεδομένου ότι οι πλευρές YX και YZ είναι γνωστές, συμβολίζονται με τις μεταβλητές ${ displaystyle a}$ και ${ displaystyle β}$... Μεταβλητός ${ displaystyle C}$ είναι η γωνία Y. Έτσι, ο τύπος θα γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Βρείτε το συνημίτονο γνωστής γωνίας. Κάντε το με μια αριθμομηχανή. Εισαγάγετε μια τιμή γωνίας και, στη συνέχεια, κάντε κλικ ${ displaystyle COS}$... Εάν δεν έχετε επιστημονική αριθμομηχανή, βρείτε έναν online πίνακα συνημιτόνων, για παράδειγμα, εδώ. Επίσης στο Yandex, μπορείτε να εισαγάγετε "συνημίτονο βαθμών Χ" (αντικαταστήστε την τιμή γωνίας για το Χ) και η μηχανή αναζήτησης θα εμφανίσει το συνημίτονο της γωνίας.
   • Για παράδειγμα, το συνημίτονο είναι 89 ° ≈ 0,01745. Ετσι: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς. Πολλαπλασιάζω ${ displaystyle 2ab}$ από το συνημίτονο γνωστής γωνίας.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Διπλώστε τα τετράγωνα των γνωστών πλευρών. Θυμηθείτε, για να τετραγωνίσετε έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιαστεί από μόνος του. Αρχικά, τετραγωνίστε τους αντίστοιχους αριθμούς και, στη συνέχεια, προσθέστε τις τιμές που προκύπτουν.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Αφαιρέστε δύο αριθμούς. Θα βρείτε ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Πάρτε την τετραγωνική ρίζα αυτής της τιμής. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή. Έτσι βρίσκετε την άγνωστη πλευρά.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Άρα, η άγνωστη πλευρά είναι 10.2191 εκατοστά.

Μέθοδος 2 από 3: Εύρεση άγνωστης γωνίας

1. 1 Γράψτε τις γνωστές τιμές. Για να βρείτε την άγνωστη γωνία ενός τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές του τριγώνου.
   • Για παράδειγμα, δίνεται ένα τρίγωνο RST. Πλευρική CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Βρείτε την τιμή της γωνίας S.
2. 2 Γράψτε τον τύπο του θεωρήματος συνημίτονο. Τύπος: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, όπου ${ displaystyle cos {C}}$ - συνημίτονο άγνωστης γωνίας, ${ displaystyle c}$ - γνωστή πλευρά απέναντι σε άγνωστη γωνία, ${ displaystyle a}$ και ${ displaystyle β}$ - δύο άλλα διάσημα πάρτι.
3. 3 Βρείτε τις τιμές ένα{ displaystyle a}, σι{ displaystyle β} και ντο{ displaystyle c}. Στη συνέχεια, συνδέστε τα στον τύπο.
   • Για παράδειγμα, η πλευρά RT είναι αντίθετη με την άγνωστη γωνία S, οπότε η πλευρά RT είναι ${ displaystyle c}$ στον τύπο. Άλλα κόμματα θα το κάνουν ${ displaystyle a}$ και ${ displaystyle β}$... Έτσι, ο τύπος θα γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς. Πολλαπλασιάζω ${ displaystyle 2ab}$ από το συνημίτονο της άγνωστης γωνίας.
   • Για παράδειγμα, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Ορθιος ντο{ displaystyle c} σε ένα τετράγωνο. Δηλαδή, πολλαπλασιάστε τον ίδιο τον αριθμό.
   • Για παράδειγμα, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Διπλώστε τα τετράγωνα ένα{ displaystyle a} και σι{ displaystyle β}. Αλλά πρώτα, τετραγωνίστε τους αντίστοιχους αριθμούς.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Απομονώστε το συνημίτονο της άγνωστης γωνίας. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε το ποσό ${ displaystyle a ^ {2}}$ και ${ displaystyle β ^ {2}}$ και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Στη συνέχεια διαιρέστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με τον συντελεστή στο συνημίτονο της άγνωστης γωνίας.
   • Για παράδειγμα, για να απομονώσετε το συνημίτονο άγνωστης γωνίας, αφαιρέστε το 164 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης και, στη συνέχεια, διαιρέστε κάθε πλευρά με -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Υπολογίστε το αντίστροφο συνημίτονο. Αυτό θα βρει την τιμή της άγνωστης γωνίας. Στην αριθμομηχανή, δηλώνεται η αντίστροφη συνάρτηση συνημιτόνου ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Για παράδειγμα, η αρκοσίνη του 0,0125 είναι 82,8192. Άρα η γωνία S είναι 82,8192 °.

Μέθοδος 3 από 3: Δείγματα προβλημάτων

1. 1 Βρείτε την άγνωστη πλευρά του τριγώνου. Οι γνωστές πλευρές είναι 20 cm και 17 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 68 °.
   • Δεδομένου ότι σας δίνονται δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συνημίτονο. Γράψτε τον τύπο: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Η άγνωστη πλευρά είναι ${ displaystyle c}$... Συνδέστε τις γνωστές τιμές στον τύπο: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Υπολογίζω ${ displaystyle c ^ {2}}$, τηρώντας τη σειρά των μαθηματικών πράξεων:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Έτσι βρίσκετε την άγνωστη πλευρά:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Άρα, η άγνωστη πλευρά είναι 20.8391 εκατοστά.
2. 2 Βρείτε τη γωνία H στο τρίγωνο GHI. Οι δύο πλευρές που γειτνιάζουν με τη γωνία Η είναι 22 και 16 εκ. Η πλευρά απέναντι από τη γωνία Η είναι 13 εκ.
   • Δεδομένου ότι δίνονται και οι τρεις πλευρές, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα συνημίτονο. Γράψτε τον τύπο: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Η πλευρά απέναντι από την άγνωστη γωνία είναι ${ displaystyle c}$... Συνδέστε τις γνωστές τιμές στον τύπο: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Απομονώστε το συνημίτονο:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Βρείτε το αντίστροφο συνημίτονο. Έτσι υπολογίζετε την άγνωστη γωνία:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Έτσι, η γωνία Η είναι 35.7985 °.
3. 3 Βρείτε το μήκος του μονοπατιού. Τα ποτάμια, τα λοφώδη και τα έλη σχηματίζουν ένα τρίγωνο. Το μήκος του ποταμού Trail είναι 3 χιλιόμετρα, το μήκος του λοφώδους μονοπατιού είναι 5 χιλιόμετρα. Αυτά τα μονοπάτια τέμνονται μεταξύ τους υπό γωνία 135 °. Το μονοπάτι του βάλτου συνδέει τα δύο άκρα των άλλων μονοπατιών. Βρείτε το μήκος του Swamp Trail.
   • Τα μονοπάτια σχηματίζουν τρίγωνο. Πρέπει να βρείτε το μήκος της άγνωστης διαδρομής, που είναι η πλευρά του τριγώνου. Δεδομένου ότι δίνονται τα μήκη των άλλων δύο διαδρομών και η γωνία μεταξύ τους, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα συνημίτονο.
   • Γράψτε τον τύπο: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Το άγνωστο μονοπάτι (Βάλτος) θα συμβολίζεται ως ${ displaystyle c}$... Συνδέστε τις γνωστές τιμές στον τύπο: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Υπολογίζω ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Έτσι βρίσκετε το μήκος της άγνωστης διαδρομής:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Έτσι, το μήκος του Swamp Trail είναι 7,4306 χιλιόμετρα.

Συμβουλές

• Είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε το ημιτονοθεώρημα. Επομένως, πρώτα μάθετε αν μπορεί να εφαρμοστεί στο δεδομένο πρόβλημα.