Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλές

Το γράφημα μιας τετραγωνικής εξίσωσης της μορφής ax + bx + c ή a (x - h) + k είναι μια παραβολή (καμπύλη σχήματος U). Για να σχεδιάσετε μια τέτοια εξίσωση, πρέπει να βρείτε την κορυφή της παραβολής, την κατεύθυνση και τα σημεία τομής της με τους άξονες Χ και Υ. Εάν σας δοθεί μια σχετικά απλή τετραγωνική εξίσωση, τότε μπορείτε να αντικαταστήσετε διαφορετικές τιμές του "x "σε αυτό, βρείτε τις αντίστοιχες τιμές του" y "και δημιουργήστε ένα γράφημα ...

Βήματα

1. 1 Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να γραφτεί σε τυπική μορφή και σε μη τυποποιημένη μορφή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε είδος εξίσωσης για να σχεδιάσετε μια τετραγωνική εξίσωση (η μέθοδος σχεδίασης είναι ελαφρώς διαφορετική). Κατά κανόνα, σε προβλήματα, οι τετραγωνικές εξισώσεις δίνονται σε τυπική μορφή, αλλά αυτό το άρθρο θα σας πει για τους δύο τύπους γραφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
   • Τυπική μορφή: f (x) = ax + bx + c, όπου a, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί και a ≠ 0.
     • Για παράδειγμα, δύο εξισώσεις της τυπικής μορφής: f (x) = x + 2x + 1 και f (x) = 9x + 10x -8.
   • Μη τυποποιημένη μορφή: f (x) = a (x - h) + k, όπου a, h, k είναι πραγματικοί αριθμοί και a ≠ 0.
     • Για παράδειγμα, δύο εξισώσεις μιας μη τυποποιημένης μορφής: f (x) = 9 (x - 4) + 18 και -3 (x - 5) + 1.
   • Για να σχεδιάσετε μια τετραγωνική εξίσωση κάθε είδους, πρέπει πρώτα να βρείτε την κορυφή της παραβολής, η οποία έχει συντεταγμένες (h, k). Οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής στις εξισώσεις της τυπικής μορφής υπολογίζονται με τους τύπους: h = -b / 2a και k = f (h). οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής σε εξισώσεις μιας μη τυποποιημένης μορφής μπορούν να ληφθούν απευθείας από τις εξισώσεις.
2. 2 Για να σχεδιάσετε το γράφημα, πρέπει να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των συντελεστών a, b, c (ή a, h, k). Στα περισσότερα προβλήματα, οι τετραγωνικές εξισώσεις δίνονται με αριθμητικές τιμές των συντελεστών.
   • Για παράδειγμα, στην τυπική εξίσωση f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Για παράδειγμα, σε μια μη τυποποιημένη εξίσωση f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Υπολογίστε το h στην τυπική εξίσωση (στο μη τυποποιημένο είναι ήδη δεδομένο) χρησιμοποιώντας τον τύπο: h = -b / 2a.
   • Στο πρότυπό μας παράδειγμα εξίσωσης, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • Στο παράδειγμά μας μιας μη τυπικής εξίσωσης, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Υπολογίστε το k στην τυπική εξίσωση (στο μη τυποποιημένο είναι ήδη δοσμένο). Θυμηθείτε ότι k = f (h), δηλαδή, μπορείτε να βρείτε k αντικαθιστώντας την εύρεση της τιμής h αντί του "x" στην αρχική εξίσωση.
   • Βρήκατε ότι h = -4 (για την τυπική εξίσωση). Για να υπολογίσετε το k, αντικαταστήστε αυτήν την τιμή με "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Σε μια μη τυποποιημένη εξίσωση, k = 12.
5. 5 Σχεδιάστε μια κορυφή με συντεταγμένες (h, k) στο επίπεδο συντεταγμένων. Το h σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα Χ και το k σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα Υ. Η κορυφή μιας παραβολής είναι είτε το χαμηλότερο σημείο (αν η παραβολή δείχνει προς τα πάνω) είτε το υψηλότερο σημείο (εάν η παραβολή δείχνει προς τα κάτω).
   • Στο παράδειγμα της τυπικής μας εξίσωσης, η κορυφή έχει συντεταγμένες (-4, 7). Σχεδιάστε αυτό το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.
   • Στο παράδειγμά μας μιας προσαρμοσμένης εξίσωσης, η κορυφή έχει συντεταγμένες (5, 12). Σχεδιάστε αυτό το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.
6. 6 Σχεδιάστε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (προαιρετικά). Ο άξονας συμμετρίας διέρχεται από την κορυφή της παραβολής παράλληλα με τον άξονα Υ (δηλαδή, αυστηρά κάθετο). Ο άξονας συμμετρίας χωρίζει την παραβολή στο μισό (δηλαδή, η παραβολή είναι καθρέφτης-συμμετρική για αυτόν τον άξονα).
   • Στο πρότυπό μας τυπική εξίσωση, ο άξονας συμμετρίας είναι μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Υ και διέρχεται από το σημείο (-4, 7). Αν και αυτή η γραμμή δεν είναι μέρος της ίδιας της παραβολής, δίνει μια ιδέα για τη συμμετρία της παραβολής.
7. 7 Καθορίστε την κατεύθυνση της παραβολής - πάνω ή κάτω. Αυτό είναι πολύ εύκολο να γίνει.Εάν ο συντελεστής "α" είναι θετικός, τότε η παραβολή κατευθύνεται προς τα πάνω και αν ο συντελεστής "α" είναι αρνητικός, τότε η παραβολή κατευθύνεται προς τα κάτω.
   • Στο παράδειγμά μας της τυπικής εξίσωσης, f (x) = 2x + 16x + 39, η παραβολή δείχνει προς τα πάνω, αφού a = 2 (θετικός συντελεστής).
   • Στο παράδειγμά μας μιας μη τυπικής εξίσωσης f (x) = 4 (x - 5) + 12, η ​​παραβολή κατευθύνεται επίσης προς τα πάνω, αφού a = 4 (θετικός συντελεστής).
8. 8 Εάν είναι απαραίτητο, εντοπίστε και σχεδιάστε το x-intercept. Αυτά τα σημεία θα σας βοηθήσουν πολύ όταν σχεδιάζετε μια παραβολή. Μπορεί να υπάρχουν δύο, ένα ή κανένα (εάν η παραβολή κατευθύνεται προς τα πάνω και η κορυφή της βρίσκεται πάνω από τον άξονα Χ ή εάν η παραβολή κατευθύνεται προς τα κάτω και η κορυφή της βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ). Για να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής με τον άξονα Χ, κάντε τα εξής:
   • Ορίστε την εξίσωση στο μηδέν: f (x) = 0 και λύστε την. Αυτή η μέθοδος λειτουργεί με απλές τετραγωνικές εξισώσεις (ειδικά μη τυπικές), αλλά μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολη για πολύπλοκες εξισώσεις. Στο παράδειγμά μας:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα Χ έχουν συντεταγμένες (11,0) και (13,0).
   • Παράγοντας την τετραγωνική εξίσωση τυπικής μορφής: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), όπου dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = ντο. Στη συνέχεια, ορίστε κάθε διωνυμικό σε 0 και βρείτε τις τιμές για "x". Για παράδειγμα:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένα μόνο σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα x με συντεταγμένες (-1,0), γιατί στο x + 1 = 0 x = -1.
   • Εάν δεν μπορείτε να υπολογίσετε την εξίσωση, λύστε την χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • Για παράδειγμα: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14.18) /- 10
     • x = (13,18 / -10) και (-15,18 / -10). Τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα Χ έχουν συντεταγμένες (-1,318,0) και (1,518,0).
     • Στο παράδειγμά μας, οι εξισώσεις της τυπικής μορφής 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • Δεδομένου ότι είναι αδύνατο να εξαχθεί η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα Χ.
9. 9 Εντοπίστε και σχεδιάστε το y-intercept όπως απαιτείται. Είναι πολύ εύκολο - συνδέστε το x = 0 στην αρχική εξίσωση και βρείτε την τιμή για "y". Το Y-intercept είναι πάντα το ίδιο. Σημείωση: στις εξισώσεις της τυπικής φόρμας, το σημείο τομής έχει συντεταγμένες (0, s).
   • Για παράδειγμα, η παραβολή της τετραγωνικής εξίσωσης 2x + 16x + 39 τέμνει με τον άξονα Υ στο σημείο με συντεταγμένες (0, 39), αφού c = 39. Αλλά αυτό μπορεί να υπολογιστεί:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, δηλαδή η παραβολή αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης τέμνει τον άξονα Υ στο σημείο με συντεταγμένες (0, 39).
   • Στο παράδειγμά μας μιας μη τυποποιημένης εξίσωσης 4 (x-5) + 12, η ​​διακοπή y υπολογίζεται ως εξής:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, δηλαδή, η παραβολή αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης τέμνει τον άξονα Υ στο σημείο με συντεταγμένες (0, 112).
10. 10 Βρήκατε (και σχεδιάσατε) την κορυφή της παραβολής, την κατεύθυνσή της και τα σημεία τομής με τους άξονες Χ και Υ. Μπορείτε να δημιουργήσετε παραβολές από αυτά τα σημεία ή να βρείτε και να σχεδιάσετε επιπλέον σημεία και μόνο στη συνέχεια να δημιουργήσετε μια παραβολή. Για να το κάνετε αυτό, συνδέστε πολλαπλές τιμές x (εκατέρωθεν της κορυφής) στην αρχική εξίσωση για να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές y.
    • Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση x + 2x + 1. Γνωρίζετε ήδη ότι το σημείο τομής της γραφικής παράστασης αυτής της εξίσωσης με τον άξονα Χ είναι το σημείο με συντεταγμένες (-1,0). Εάν η παραβολή έχει μόνο ένα σημείο τομής με τον άξονα Χ, τότε αυτή είναι η κορυφή της παραβολής που βρίσκεται στον άξονα Χ. Σε αυτή την περίπτωση, ένα σημείο δεν είναι αρκετό για να χτίσει μια κανονική παραβολή. Βρες λοιπόν επιπλέον πόντους.
      • Ας πούμε x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Συντεταγμένες σημείου: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Συντεταγμένες σημείου: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Συντεταγμένες σημείου: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Συντεταγμένες σημείου: (-3,4).
      • Σχεδιάστε αυτά τα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων και σχεδιάστε μια παραβολή (συνδέστε τα σημεία με καμπύλη U). Λάβετε υπόψη ότι η παραβολή είναι απολύτως συμμετρική - οποιοδήποτε σημείο σε έναν κλάδο της παραβολής μπορεί να καθρεφτιστεί (σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας) στον άλλο κλάδο της παραβολής. Αυτό θα σας εξοικονομήσει χρόνο, αφού δεν χρειάζεται να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων και στους δύο κλάδους της παραβολής.

Συμβουλές

• Στρογγυλοποιήστε κλασματικούς αριθμούς (εάν αυτό είναι απαίτηση ενός δασκάλου) - έτσι χτίζετε μια σωστή παραβολή.
• Εάν στο f (x) = ax + bx + c οι συντελεστές b ή c είναι ίσοι με το μηδέν, τότε δεν υπάρχουν όροι με αυτούς τους συντελεστές στην εξίσωση.Για παράδειγμα, 12x + 0x + 6 γίνεται 12x + 6 επειδή το 0x είναι 0.