Περιεχόμενο

• Για να πας
• Συμβουλές

Ως γράφημα δείτε μια τετραγωνική εξίσωση ax + bx + c , επίσης το οποίο είναι γραμμένο ως a (x - h) + k, μοιάζει με μια ομαλή καμπύλη σε σχήμα U. Το ονομάζουμε αυτό παραβολή. Ο σχεδιασμός μιας τετραγωνικής εξίσωσης περιλαμβάνει την εύρεση της κορυφής, της κατεύθυνσης και συχνά των σημείων τομής με τον άξονα x και τον άξονα y. Στην περίπτωση της σχετικά απλής τετραγωνικής εξίσωσης, μπορεί επίσης να αρκεί να εισαγάγετε έναν αριθμό τιμών για το x για να υποδείξετε αυτά τα σημεία στο σύστημα συντεταγμένων, μετά την οποία μπορεί να σχεδιαστεί η παραβολή. Συνεχίστε στο βήμα 1 για να ξεκινήσετε.

Για να πας

1. Καθορίστε τι είδους εξίσωση δευτέρου βαθμού έχετε. Μπορεί να γραφτεί με δύο τρόπους: την τυπική σημείωση και τη συμβολοσειρά κορυφής (ένας άλλος τρόπος για να γράψετε τον τύπο τετραγωνικής ρίζας). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τα δύο για να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά η διαδικασία είναι ελαφρώς διαφορετική σε κάθε περίπτωση. Τις περισσότερες φορές θα συναντήσετε το τυπικό σχήμα, αλλά σίγουρα δεν βλάπτει να μάθετε να χρησιμοποιείτε και τα δύο σχήματα. Οι δύο μορφές μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι:
   • Το τυπικό σχήμα. Η τετραγωνική εξίσωση σημειώνεται ως: f (x) = ax + bx + c όπου a, b, και c είναι πραγματικοί αριθμοί και το α δεν είναι ίσο με μηδέν.
     • Δύο παραδείγματα τυπικών τετραγωνικών εξισώσεων: f (x) = x + 2x + 1 και f (x) = 9x + 10x -8.
   • Το σχήμα κορυφής. Η τετραγωνική εξίσωση σημειώνεται ως: f (x) = a (x - h) + k όπου a, h, και k είναι πραγματικοί αριθμοί και το α δεν είναι ίσο με μηδέν. Αυτό το σχήμα ονομάζεται κορυφή επειδή τα h και k αναφέρονται απευθείας στην κορυφή της παραβολής σας στο σημείο (h, k).
     • Δύο παραδείγματα εξισώσεων μορφής κορυφής είναι f (x) = 9 (x - 4) + 18 και -3 (x - 5) + 1
   • Για να δημιουργήσουμε ένα γράφημα αυτών των εξισώσεων, καθορίζουμε πρώτα την κορυφή (h, k) του γραφήματος. Στην τυπική εξίσωση θα το βρείτε μέσω: h = -b / 2a και k = f (h), ενώ αυτό δίνεται ήδη σε μορφή κορυφής επειδή τα h και k εμφανίζονται στην εξίσωση.
2. Προσδιορίστε τις μεταβλητές σας. Για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι συνήθως απαραίτητο να προσδιοριστούν οι μεταβλητές a, b, και c (ή a, h, και k). Μια τακτική άσκηση θα σας δώσει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού στην τυπική μορφή, αλλά μπορεί επίσης να εμφανιστεί ο συμβολισμός της κορυφής.
   • Για παράδειγμα: η τυπική συνάρτηση f (x) = 2x + 16x + 39. Εδώ έχουμε a = 2, b = 16 και c = 39.
   • Στη συμβολοσειρά κορυφής: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Εδώ έχουμε a = 4, h = 5 και k = 12.
3. Υπολογίστε h. Στην συμβολοσειρά κορυφής, η τιμή του h έχει ήδη δοθεί, αλλά στην τυπική σημείωση αυτή η τιμή δεν έχει ακόμη υπολογιστεί. Να θυμάστε ότι με την τυπική εξίσωση ισχύει: h = -b / 2a.
   • Παράδειγμα 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Με την επίλυση αυτού βλέπουμε ότι h = -4.
   • Παράδειγμα 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), βλέπουμε αμέσως ότι h = 5.
4. Υπολογισμός k. Όπως με το h, το k είναι ήδη γνωστό από εξισώσεις μορφής κορυφής. Για εξισώσεις στην τυπική σημειογραφία, θυμηθείτε ότι k = f (h). Με άλλα λόγια, μπορείτε να βρείτε το k αντικαθιστώντας οποιαδήποτε μεταβλητή x με την τιμή του h.
   • Έχουμε δει για παράδειγμα 1 ότι h = -4. Για να βρούμε k, επιλύουμε αυτήν την εξίσωση συμπληρώνοντας αυτήν την τιμή του h στην εξίσωση, για τη μεταβλητή x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Από το παράδειγμα 2 γνωρίζουμε ότι η τιμή του k είναι ίση με 12, χωρίς να απαιτείται υπολογισμός.
5. Σχεδιάστε το επάνω ή το κάτω μέρος του γραφήματος. Η κορυφή ή η κοιλάδα της παραβολής σας είναι το σημείο (h, k) - h σημαίνει τη συντεταγμένη x και k σημαίνει τη συντεταγμένη y. Η κορυφή είναι το κέντρο της παραβολής σας - το υψηλότερο ή χαμηλότερο σημείο, η κορυφή ή η κοιλάδα, ενός γραφήματος με τη μορφή "U" ή το αντίστροφο.Το να μπορείς να καθορίσεις την κορυφή μιας παραβολής είναι ουσιαστικό μέρος της κατάρτισης ενός σωστού γραφήματος - συχνά ο καθορισμός της κορυφής μιας παραβολής αποτελεί μέρος ενός μαθηματικού προβλήματος στο σχολείο.
   • Στο Παράδειγμα 1, η κορυφή του γραφήματος είναι (-4.7). Σχεδιάστε το σημείο στο γράφημα και βεβαιωθείτε ότι έχετε ορίσει σωστά τις συντεταγμένες.
   • Στο παράδειγμα 2, η κορυφή είναι (5.12). Έτσι από το σημείο (0,0) πηγαίνετε 5 θέσεις στα δεξιά και μετά ανεβαίνετε 12.
6. Εάν είναι απαραίτητο, σχεδιάστε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. Ο άξονας συμμετρίας μιας παραβολής είναι η γραμμή που τέμνει το σχήμα στη μέση, διαιρώντας το ακριβώς στο μισό. Η μία πλευρά του γραφήματος αντικατοπτρίζεται κατά μήκος αυτής της γραμμής στην άλλη πλευρά του γραφήματος. Σε τετραγωνικές εξισώσεις είτε ax + bx + c είτε a (x - h) + k, αυτός ο άξονας είναι η γραμμή παράλληλη προς τον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής.
   • Στην περίπτωση του παραδείγματος 1, ο άξονας συμμετρίας είναι η γραμμή παράλληλη προς τον άξονα y και διέρχεται από το σημείο (-4,7). Αν και δεν αποτελεί μέρος της ίδιας της παραβολής, η ελαφριά επισήμανση αυτής της οδηγίας μπορεί να σας δείξει πόσο συμμετρική είναι η καμπύλη παραβολής.
7. Προσδιορίστε την κατεύθυνση της παραβολής. Αφού ανακαλύψετε ποια είναι η κορυφή του parabola, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε εάν ασχολείστε με ένα parabola βουνού ή κοιλάδας, δηλαδή εάν το άνοιγμα είναι στο κάτω μέρος ή στην κορυφή. Ευτυχώς, αυτό είναι πολύ εύκολο. Εάν το "a" είναι θετικό, αντιμετωπίζετε μια παραβολή κοιλάδας. αν το "a" είναι αρνητικό είναι μια ορεινή παραβολή (με το άνοιγμα στο κάτω μέρος)
   • Στο παράδειγμα 1 ασχολούμαστε με τη συνάρτηση (f (x) = 2x + 16x + 39), οπότε αυτή είναι μια παραβολή κοιλάδας, επειδή a = 2 (θετική).
   • Στο παράδειγμα 2 ασχολούμαστε με τη συνάρτηση f (x) = 4 (x - 5) + 12), και αυτό είναι επίσης μια παραβολή κοιλάδας επειδή a = 4 (θετική).
8. Καθορίστε τα σημεία τομής της παραβολής εάν είναι απαραίτητο. Συχνά όταν ένα μαθηματικό πρόβλημα ζητείται να δώσει τις διασταυρώσεις της παραβολής με τον άξονα x (αυτά είναι "μηδέν", ένα ή δύο σημεία όπου η παραβολή τέμνει ή χτυπά τον άξονα x). Ακόμα και αν δεν ζητηθούν, αυτά τα σημεία είναι πολύ σημαντικά για να μπορέσετε να σχεδιάσετε ένα ακριβές γράφημα. Αλλά δεν έχουν όλες οι παραβολές τομή με τον άξονα Χ. Εάν αντιμετωπίζετε μια παραβολή κοιλάδας και το σημείο της κοιλάδας βρίσκεται πάνω από τον άξονα Χ ή, στην περίπτωση μιας παραβολής βουνού, ακριβώς κάτω από τον άξονα Χ, τότε απλά δεν υπάρχουν σημεία διασταύρωσης. Εάν ναι, χρησιμοποιήστε μία από τις ακόλουθες μεθόδους:
   • Προσδιορίστε ότι f (x) = 0 και επιλύστε την εξίσωση. Αυτή η μέθοδος μπορεί να λειτουργήσει για απλές τετραγωνικές εξισώσεις, ειδικά σε μορφή κορυφής, αλλά θα διαπιστώσετε ότι αυτό γίνεται όλο και πιο δύσκολο καθώς οι συναρτήσεις γίνονται πιο περίπλοκες. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 και 13 είναι τα σημεία τομής με τον άξονα-x της παραβολής.
   • Συντελέστε την εξίσωση. Ορισμένες εξισώσεις με τη μορφή ax + bx + c μπορούν εύκολα να ξαναγραφούν ως (dx + e) ​​(fx + g), όπου dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx και e × g = γ. Σε αυτήν την περίπτωση, οι διασταυρώσεις x είναι οι τιμές του x όπου κάθε όρος εντός των παρενθέσεων ισούται με 0. Για παράδειγμα:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο τομής είναι -1 επειδή, και στους δύο παράγοντες, αυτό αποδίδει μηδέν.
   • Χρησιμοποιήστε τον τύπο abc. Εάν δεν είναι εύκολο να καταλάβετε τις διασταυρώσεις ή να παραγοντοποιήσετε την εξίσωση, χρησιμοποιήστε τον "τύπο abc" ειδικά για το σκοπό αυτό. Ας υποθέσουμε μια εξίσωση με τη μορφή ax + bx + c. Στη συνέχεια, εισαγάγετε τις τιμές a, b και c, στον τύπο x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Λάβετε υπόψη ότι αυτό συχνά σας δίνει δύο απαντήσεις για το x, που είναι εντάξει - αυτό σημαίνει ότι η παραβολή σας έχει δύο διασταυρώσεις με τον άξονα x. Ακολουθεί ένα παράδειγμα:
     • Εισαγάγετε -5x + 1x + 10 στην εξίσωση με τον ακόλουθο τρόπο:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) και (-15,18 / -10). Τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x είναι περίπου x = -1,318 και 1,518
     • Όπως στο παράδειγμα 1 με την εξίσωση 2x + 16x + 39, αυτό θα μοιάζει με αυτό:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Δεδομένου ότι δεν είναι δυνατή η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού, γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχουν σημεία τομής με τον άξονα x για αυτήν τη συγκεκριμένη παραβολή.
9. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίστε τη διασταύρωση της παραβολής με τον άξονα y. Συχνά δεν είναι απαραίτητο, αλλά μερικές φορές απαιτείται να βρεθεί αυτή η διασταύρωση, για παράδειγμα για ένα μαθηματικό πρόβλημα. Αυτό είναι αρκετά εύκολο - ορίστε την τιμή του x σε 0 και λύστε την εξίσωση για f (x) ή y, η οποία σας δίνει την τιμή y του σημείου όπου η παραβολή τέμνεται με τον άξονα y. Η διαφορά με τα σημεία τομής μέσω του άξονα x είναι ότι στον άξονα y υπάρχει πάντα μόνο ένα σημείο τομής. Σημείωση - με τυπικές εξισώσεις, η τομή με τον άξονα y είναι στο y = c.
   • Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι η τετραγωνική εξίσωση 2x + 16x + 39 έχει μια τομή y = 39, αλλά μπορούμε επίσης να το βρούμε ως εξής:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Η τομή της παραβολής με τον άξονα y: y = 39. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μπορούμε εύκολα να διαβάσουμε το σημείο τομής επειδή y = c.
   • Η εξίσωση 4 (x - 5) + 12 έχει μια τομή με τον άξονα y που μπορεί να βρεθεί ως εξής:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Η τομή με τον άξονα y: y = 112.
10. Εάν νομίζετε ότι αυτό είναι απαραίτητο, πρώτα τραβήξτε επιπλέον πόντους και μετά ολόκληρο το γράφημα. Πρέπει τώρα να έχετε μια κορυφή ή μια κοιλάδα, μια κατεύθυνση, σημεία τομής με τον άξονα x και πιθανώς με τον άξονα y της εξίσωσης σας. Από αυτό το σημείο μπορείτε να προσπαθήσετε να σχεδιάσετε την παραβολή χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία ή μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε περισσότερα σημεία για να κάνετε το γράφημα πιο ακριβές. Ο ευκολότερος τρόπος για να γίνει αυτό είναι απλά να εισαγάγετε έναν αριθμό τιμών x, οι οποίες θα επιστρέψουν έναν αριθμό τιμών y. Συχνά θα σας ζητηθεί (από τον καθηγητή) να υπολογίσετε έναν αριθμό πόντων προτού αρχίσετε να σχεδιάζετε την παραβολή.
    • Ας ρίξουμε μια άλλη ματιά στην εξίσωση x + 2x + 1. Γνωρίζουμε ήδη ότι η μόνη διασταύρωση με τον άξονα x είναι (-1,0). Εφόσον αγγίζει μόνο τον άξονα x σε αυτό το σημείο, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το πάνω μέρος του γραφήματος είναι ίσο με αυτό το σημείο. Μέχρι στιγμής έχουμε μόνο ένα σημείο αυτής της παραβολής - δεν είναι αρκετά αρκετό για να σχεδιάσουμε ένα γράφημα. Ας βρούμε μερικά ακόμη σημεία για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε περισσότερες τιμές.
      • Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τις τιμές y που αντιστοιχούν στις ακόλουθες τιμές x: 0, 1, -2 και -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Τότε το σημείο (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Τότε το σημείο (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Στη συνέχεια, το σημείο (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Στη συνέχεια, το σημείο (-3,4).
      • Τοποθετήστε αυτά τα σημεία στο γράφημα και σχεδιάστε την παραβολή σας. Σημειώστε ότι η παραβολή είναι εντελώς συμμετρική - εάν γνωρίζετε τα σημεία στη μία πλευρά του γραφήματος, συνήθως μπορείτε να εξοικονομήσετε πολύ δουλειά χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία για να βρείτε τα σημεία στην άλλη πλευρά του άξονα συμμετρίας.

Συμβουλές

• Εάν είναι απαραίτητο, στρογγυλοποιήστε τους αριθμούς ή χρησιμοποιήστε κλάσματα. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στην σωστή εμφάνιση ενός γραφήματος.
• Σημειώστε ότι εάν, για τη συνάρτηση f (x) = ax + bx + c, b ή c είναι ίσες με μηδέν, αυτοί οι όροι θα εξαφανιστούν. Για παράδειγμα, 12x + 0x + 6 γίνεται ίσο με 12x + 6 επειδή το 0x είναι ίσο με 0.