Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 2: Μέθοδος 1: Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός
• Μέθοδος 2 από 2: Μέθοδος 2: Εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού (LCM) των παρονομαστών
• Συμβουλές

Μια λογική συνάρτηση είναι ένα κλάσμα με μία ή περισσότερες μεταβλητές στον αριθμητή ή τον παρονομαστή. Μια λογική εξίσωση είναι οποιαδήποτε εξίσωση που περιέχει τουλάχιστον μία λογική έκφραση. Όπως οι κοινές αλγεβρικές εξισώσεις, οι ορθολογικές εκφράσεις μπορούν να λυθούν εφαρμόζοντας την ίδια λειτουργία και στις δύο πλευρές της εξίσωσης έως ότου η μεταβλητή απομονωθεί στη μία πλευρά του ίσου σημείου. Δύο ειδικές μέθοδοι, ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός και η εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού των παρονομαστών, είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για την απομόνωση μεταβλητών και την επίλυση λογικών εξισώσεων.

Για να πας

Μέθοδος 1 από 2: Μέθοδος 1: Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός

1. Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε την εξίσωση για να βεβαιωθείτε ότι υπάρχει κλάσμα και στις δύο πλευρές του σημείου ίσου. Ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός είναι μια γρήγορη μέθοδος επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων. Δυστυχώς, αυτή η μέθοδος λειτουργεί μόνο για λογικές εξισώσεις που έχουν ακριβώς μία λογική έκφραση ή κλάσμα και στις δύο πλευρές του ίσου σημείου. Εάν αυτό δεν ισχύει για την εξίσωση σας, τότε ίσως χρειαστείτε κάποιες αλγεβρικές λειτουργίες για να λάβετε τους όρους στο σωστό μέρος.
   • Για παράδειγμα, η εξίσωση (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 μπορεί εύκολα να μετατραπεί στη σωστή μορφή πολλαπλού πολλαπλασιασμού, προσθέτοντας x / (- 2) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, καθιστώντας το αποτέλεσμα μοιάζει με αυτό: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Θυμηθείτε ότι τα δεκαδικά και ακέραιοι μπορούν να μετατραπούν σε κλάσματα δίνοντάς τους τον παρονομαστή 1. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, για παράδειγμα, μπορεί να ξαναγραφεί ως (x + 3) / 4 = 7.5 / 1, το οποίο επιτρέπει την εφαρμογή πολλαπλού πολλαπλασιασμού.
   • Ορισμένες λογικές εξισώσεις δεν μπορούν να μετατραπούν στη σωστή μορφή που εύκολα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιήστε τις μεθόδους όπου χρησιμοποιείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.
2. Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός. Ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός σημαίνει απλά τον πολλαπλασιασμό του αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου και το αντίστροφο. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος στα αριστερά του ίσου σημείου με το κλάσμα στα δεξιά. Επαναλάβετε με τον αριθμητή στα δεξιά και τον παρονομαστή του κλάσματος στα αριστερά.
   • Ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός λειτουργεί σύμφωνα με κοινές αλγεβρικές αρχές. Οι λογικές εκφράσεις και άλλα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε κανονικούς αριθμούς πολλαπλασιάζοντας τους παρονομαστές. Βασικά, ο σταυρός πολλαπλασιασμός είναι ένας εύχρηστος σύντομος τρόπος πολλαπλασιασμού και των δύο πλευρών της εξίσωσης και με τους δύο παρονομαστές των κλασμάτων. Δεν το πιστεύεις? Δοκιμάστε το - θα δείτε τα ίδια αποτελέσματα μετά την απλοποίηση.
3. Κάντε τα δύο προϊόντα ισότιμα ​​μεταξύ τους. Μετά τον πολλαπλό πολλαπλασιασμό, απομένουν δύο προϊόντα. Κάντε αυτούς τους δύο όρους ίσους και απλοποιήστε τους για να λάβετε τους απλούστερους όρους και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.
   • Για παράδειγμα, εάν (x + 3) / 4 = x / (- 2) ήταν η αρχική σας λογική έκφραση, τότε μετά τον πολλαπλό πολλαπλασιασμό γίνεται ίσο με -2 (x + 3) = 4x. Αυτό μπορεί προαιρετικά να ξαναγραφεί ως -2x - 6 = 4x.
4. Λύστε για τη μεταβλητή. Χρησιμοποιήστε αλγεβρικές λειτουργίες για να βρείτε την τιμή της μεταβλητής στην εξίσωση. Θυμηθείτε, εάν το x εμφανίζεται και στις δύο πλευρές του ίσου σημείου, τότε προσθέτοντας ή αφαιρώντας έναν όρο x, βεβαιωθείτε ότι υπάρχουν μόνο όροι x στη μία πλευρά του ίσου σημείου.
   • Στο παράδειγμά μας, είναι δυνατόν να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με -2, η οποία μας δίνει x + 3 = -2x. Η αφαίρεση του x και από τις δύο πλευρές του ίσου σημείου μας δίνει 3 = -3x. Και τέλος, διαιρώντας και τις δύο πλευρές με -3 παίρνουμε -1 = x, ή επίσης x = -1. Τώρα βρήκαμε x που λύνει την ορθολογική μας εξίσωση.

Μέθοδος 2 από 2: Μέθοδος 2: Εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού (LCM) των παρονομαστών

1. Η κατανόηση κατά την εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού παρονομαστή είναι προφανής. Το λιγότερο κοινό πολλαπλό (LCM) των παρονομαστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση των λογικών εξισώσεων, καθιστώντας δυνατή την εύρεση των τιμών των μεταβλητών τους. Η εύρεση ενός LCM είναι καλή ιδέα εάν η ορθολογική εξίσωση δεν μπορεί εύκολα να ξαναγραφεί σε μια μορφή όπου υπάρχει μόνο ένα κλάσμα ή λογική έκφραση σε κάθε πλευρά του σημείου ίσων. Για την επίλυση λογικών εξισώσεων με τρεις ή περισσότερους όρους, τα LCMs είναι ένα χρήσιμο εργαλείο. Αλλά για την επίλυση λογικών εξισώσεων με δύο μόνο όρους, ο πολλαπλός πολλαπλασιασμός είναι συχνά ταχύτερος.
2. Εξετάστε τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. Βρείτε τον μικρότερο αριθμό που μπορεί να διαιρεθεί εντελώς από οποιονδήποτε παρονομαστή. Αυτό είναι το LCM της εξίσωσης σας.
   • Μερικές φορές το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο - ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί εντελώς από καθέναν από τους παρονομαστές - είναι αμέσως εμφανής. Για παράδειγμα, εάν η έκφρασή σας μοιάζει με x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, τότε είναι εύκολο να δείτε ότι το LCM πρέπει να διαιρείται με 3, 2 και 6 και συνεπώς ίσο με 6.
   • Αλλά πιο συχνά το LCM μιας ορθολογικής σύγκρισης δεν είναι καθόλου σαφές καθόλου. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δοκιμάστε τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου παρονομαστή έως ότου βρείτε έναν αριθμό που περιλαμβάνει τα πολλαπλάσια των άλλων, μικρότερων παρονομαστών. Συχνά το LCM είναι προϊόν δύο παρονομαστών. Για παράδειγμα, πάρτε την εξίσωση x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, όπου το LCM ισούται με 8 * 9 = 72.
   • Εάν ένας ή περισσότεροι από τους παρονομαστές περιέχουν μια μεταβλητή, αυτή η διαδικασία θα είναι κάπως πιο δύσκολη, αλλά δεν είναι καθόλου αδύνατη. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το LCM είναι μια έκφραση (με μεταβλητές) που ταιριάζει πλήρως σε όλους τους παρονομαστές, όχι μόνο σε έναν αριθμό. Για παράδειγμα, η εξίσωση 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), όπου το LCM ισούται με 3x (x-1), επειδή είναι πλήρως διαιρούμενο από οποιονδήποτε παρονομαστή ) αποδίδει 3x, διαίρεση με 3x αποδόσεις (x-1) και διαίρεση με x αποδόσεις 3 (x-1).
3. Πολλαπλασιάστε κάθε κλάσμα στην ορθολογική εξίσωση με 1. Ο πολλαπλασιασμός κάθε όρου με 1 μπορεί να φαίνεται άχρηστος, αλλά υπάρχει ένα κόλπο εδώ. Δηλαδή, το 1 μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα - π.χ. 2/2 και 3/3. Πολλαπλασιάστε κάθε κλάσμα στην ορθολογική σας εξίσωση με 1, γράφοντας 1 κάθε φορά ως τον αριθμό ή τον όρο πολλαπλασιασμένο με κάθε παρονομαστή για να δώσετε το LCM ως κλάσμα.
   • Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε x / 3 με 2/2 για να πάρουμε 2x / 6 και να πολλαπλασιάσουμε 1/2 με 3/3 για να πάρουμε 3/6. Το 3x +1/6 έχει ήδη 6 (lcm) ως παρονομαστή του, έτσι μπορούμε να το πολλαπλασιάσουμε με 1/1 ή απλώς να το αφήσουμε.
   • Στο παράδειγμά μας με μεταβλητές στους παρονομαστές, η όλη διαδικασία είναι λίγο πιο περίπλοκη. Δεδομένου ότι το LCM ισούται με 3x (x-1), πολλαπλασιάζουμε κάθε λογική έκφραση με ένα κλάσμα που αποδίδει 3x (x-1) ως παρονομαστή. Πολλαπλασιάζουμε 5 / (x-1) επί (3x) / (3x) και αυτό δίνει 5 (3x) / (3x) (x-1), πολλαπλασιάζουμε 1 / x επί 3 (x-1) / 3 (x -1) και αυτό δίνει 3 (x-1) / 3x (x-1) και πολλαπλασιάζουμε το 2 / (3x) με (x-1) / (x-1) και αυτό δίνει τελικά 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Απλοποιήστε και επιλύστε το x. Τώρα που κάθε όρος στην ορθολογική σας εξίσωση έχει τον ίδιο παρονομαστή, είναι δυνατόν να εξαλείψετε τους παρονομαστές από την εξίσωση και να λύσετε τους αριθμητές. Απλά πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το LCM για να απαλλαγείτε από τους παρονομαστές έτσι ώστε να μένετε μόνο με τους αριθμητές. Τώρα έχει γίνει μια κανονική εξίσωση που μπορείτε να λύσετε για τη μεταβλητή, απομονώνοντάς την από τη μία πλευρά του σημείου ίσου.
   • Στο παράδειγμά μας, μετά τον πολλαπλασιασμό, χρησιμοποιώντας το 1 ως κλάσμα, παίρνουμε 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Δύο κλάσματα μπορούν να προστεθούν εάν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, έτσι μπορούμε να γράψουμε αυτήν την εξίσωση ως (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 χωρίς να αλλάξουμε την τιμή της. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 6 για να ακυρώσετε τους παρονομαστές, αφήνοντας 2x + 3 = 3x + 1. Εδώ, αφαιρέστε το 1 και από τις δύο πλευρές για να αφήσετε 2x + 2 = 3x και αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές για να αφήσετε το 2 = x, το οποίο μπορεί στη συνέχεια να γραφτεί ως x = 2 επίσης.
   • Στο παράδειγμά μας με μεταβλητές στους παρονομαστές, η εξίσωση μετά τον πολλαπλασιασμό κάθε όρου με "1" ισούται με 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Ο πολλαπλασιασμός κάθε όρου με το LCM καθιστά δυνατή την ακύρωση των παρονομαστών, κάτι που μας δίνει τώρα 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Αναλυτικότερα, γίνεται 15x = 3x - 3 + 2x -2, το οποίο μπορεί να απλουστευθεί ξανά ως 15x = x - 5. Η αφαίρεση του x και από τις δύο πλευρές αποδίδει 14x = -5, έτσι ώστε η τελική απάντηση να μπορεί να απλοποιηθεί σε x = 5/14.

Συμβουλές

• Μόλις βρείτε την τιμή της μεταβλητής, ελέγξτε την απάντησή σας εισάγοντας αυτήν την τιμή στην αρχική εξίσωση. Εάν λάβετε την τιμή της μεταβλητής σωστά, θα πρέπει να μπορείτε να απλοποιήσετε την εξίσωση σε ένα απλό, σωστό θεώρημα, όπως 1 = 1.
• Κάθε εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως λογική έκφραση. απλώς τοποθετήστε τον ως αριθμητή πάνω από τον παρονομαστή 1. Έτσι, η εξίσωση x + 3 μπορεί να γραφτεί ως (x + 3) / 1, και οι δύο έχουν την ίδια τιμή.