Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Πυθαγόρειο) είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο μαθηματικό θεώρημα και έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές. Το θεώρημα δηλώνει ότι σε οποιοδήποτε δεξί τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο δεξιών πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτενούς χρήσης. Με άλλα λόγια, σε ένα δεξί τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους a και b και υπότενση μήκος c, έχουμε πάντα a + b = γ. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι ένας από τους κύριους πυλώνες της βασικής γεωμετρίας. Υπάρχουν αμέτρητες πρακτικές εφαρμογές όπως η εύρεση της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο συντεταγμένων.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Βρείτε τις πλευρές του δεξιού τριγώνου

1. 

   Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνό σας είναι ένα σωστό τρίγωνο. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει μόνο για τα σωστά τρίγωνα. Έτσι, προτού συνεχίσετε, βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνό σας πληροί τα κριτήρια ενός σωστού τριγώνου. Ευτυχώς, υπάρχει μόνο ένα κριτήριο - για να είναι ένα σωστό τρίγωνο, πρέπει να έχει γωνία 90 μοίρες.
   • Ως οπτική ένδειξη, η σωστή γωνία επισημαίνεται συνήθως με ένα μικρό τετράγωνο, αλλά όχι με «καμπύλη» κύκλου. Αναζητήστε αυτό το ειδικό σημάδι στη γωνία του τριγώνου.

2. 

   
   
   Καλέστε τις πλευρές του τριγώνου a, b και c. Στο Πυθαγόρειο Θεώρημα, τα α και β είναι ορθογώνιες πλευρές, το c είναι υπότενση - η μακρύτερη πλευρά είναι πάντα απέναντι από ορθές γωνίες. Αρχικά, καλέστε τις μικρότερες πλευρές του τριγώνου a και b (δεν έχει σημασία ποια πλευρά είναι "a" ή "b") και καλέστε την υποτείνουσα γ.

3. 

   
   
   Προσδιορίστε ποια πλευρά του τριγώνου πρέπει να βρείτε. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα επιτρέπει στους μαθηματικούς να βρουν το μήκος τους ένας Ποια πλευρά του τριγώνου είναι σωστή όσο γνωρίζουν το μήκος τα άλλα δύο άκρα. Προσδιορίστε την άκρη του άγνωστου μήκους - ένα, σι, και / ή ντο. Εάν μόνο ένα άκρο είναι άγνωστο, μπορείτε να ξεκινήσετε.
   • Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος 5 και μία από τις πλευρές της έχει μήκος 3, αλλά δεν γνωρίζουμε ποια είναι η τρίτη πλευρά. Σε αυτήν την περίπτωση, θα λύσουμε το πρόβλημα της εύρεσης της τρίτης πλευράς, αφού γνωρίζουμε ήδη τα μήκη των άλλων δύο πλευρών. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το παράδειγμα στα επόμενα βήματα.
   • Εάν το μήκος δύο Το άκρο είναι άγνωστο, θα πρέπει να καθορίσετε το μήκος ενός ακόμη άκρου για να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να σας βοηθήσουν εάν γνωρίζετε πώς να μετρήσετε μία από τις αιχμηρές γωνίες του τριγώνου.

4. 

   
   
   Αντικαταστήστε δύο γνωστές τιμές στην εξίσωση. Συνδέστε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου σας στην εξίσωση a + b = c. Θυμηθείτε ότι τα α και β είναι ορθές γωνίες και το c είναι υπόταση.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, γνωρίζουμε το μήκος μιας πλευράς και μιας υποτενούς χρήσης (που είναι 3 και 5), οπότε η εξίσωση θα είναι 3² + b² = 5²

5. 

   Εις το τετραγωνο. Για να λύσετε μια εξίσωση, ξεκινήστε τετραγωνίζοντας κάθε ένα από τα γνωστά άκρα. Επίσης, αν το βρείτε ευκολότερο, μπορείτε να αφήσετε τα μήκη των πλευρών εκθετικά και στη συνέχεια να τα τετραγωνίσετε αργότερα.
   • Σε αυτό το παράδειγμα, θα τετράγωνα 3 και 5 για να το πάρουμε 9 και 25. Η εξίσωση που μπορεί να ξαναγραφεί είναι 9 + b² = 25.

6. 

   Διαχωρίστε την άγνωστη μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης. Εάν είναι απαραίτητο, χρησιμοποιήστε τη βασική άλγεβρα για να αφήσετε την άγνωστη μεταβλητή στην άκρη της εξίσωσης και δύο τετραγωνικούς αριθμούς εκτός από την εξίσωση. Εάν βρείτε την υπόταση, το c βρίσκεται ήδη σε ξεχωριστή πλευρά, οπότε δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα για να το διαχωρίσετε.
   • Σε αυτό το παράδειγμα, η τρέχουσα εξίσωση είναι 9 + b² = 25. Για να διαιρέσετε το b², αφαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης για το 9. Η προκύπτουσα εξίσωση είναι b² = 16.

7. 

   Αποκτήστε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Τώρα θα έχετε μια τετραγωνική μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης και έναν αριθμό στην άλλη. Απλώς πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να βρείτε το άγνωστο μήκος της πλευράς.
   • Σε αυτό το παράδειγμα, b² = 16, η λήψη της τετραγωνικής ρίζας και των δύο πλευρών δίνει b = 4. Επομένως, το μήκος της προς αναζήτηση πλευράς είναι 4.

8. 

   Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρείτε την πλευρά ενός πραγματικού δεξιού τριγώνου. Ο λόγος για τον οποίο αυτό το Θεώρημα χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα είναι ότι εφαρμόζεται σε πολλές πρακτικές καταστάσεις. Μάθετε πώς να αναγνωρίζετε ένα σωστό τρίγωνο στη ζωή - οποιαδήποτε κατάσταση όπου δύο αντικείμενα ή δύο γραμμές τέμνονται σε ορθή γωνία και το τρίτο αντικείμενο ή γραμμή τέμνει αυτήν τη σωστή γωνία, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Jhana. η Πυθαγόρεια μέθοδος για να βρείτε το μήκος μιας από τις πλευρές δεδομένου του μήκους των άλλων δύο.
   • Πάρτε ένα παράδειγμα στην πράξη. Μια σκάλα κλίνει ενάντια στο κτίριο. Η σκάλα απέχει 5 μέτρα από τους πρόποδες του τοίχου. Ανελκυστήρας σε ύψος 20μ. Πόσο καιρό είναι η σκάλα;
     • Η σκάλα 5 μέτρα από το πόδι του τοίχου και 20 μέτρα από τον τοίχο του κτηρίου μας λένε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Δεδομένου ότι ο τοίχος και το έδαφος τέμνονται σε ορθή γωνία και η σκάλα ανεβαίνει στο διαγώνιο βήμα, μπορούμε να το φανταστούμε ως ένα σωστό τρίγωνο με πλευρικό μήκος a = 5 και b = 20. Η σκάλα είναι υποτείνουσα, οπότε το c δεν ξέρει. Ας χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • Τετραγωνική ρίζα (425) = c
       • c = 20.6. Το κατά προσέγγιση μήκος της σκάλας είναι 20,6 m.
   διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 2: Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο X-Y

1. 

   Προσδιορίστε δύο σημεία στο επίπεδο X-Y. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μπορεί εύκολα να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της γραμμικής απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο X-Y. Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι οι συντεταγμένες x και y οποιουδήποτε δύο σημείων. Συνήθως, αυτές οι συντεταγμένες γράφονται σε ζεύγη σειράς συντεταγμένων (x, y).
   • Για να βρούμε την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων, θα αντιμετωπίζουμε κάθε σημείο ως μία από τις αιχμηρές γωνίες του σωστού τριγώνου. Με αυτόν τον τρόπο, είναι εύκολο να βρείτε το μήκος πλευρών a και b και, στη συνέχεια, να υπολογίσετε την πλευρά c ή ακριβώς την απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

2. 

   Σχεδιάστε δύο σημεία στο γράφημα. Σε ένα κανονικό επίπεδο X-Y, για κάθε σημείο (x, y), το x είναι η συντεταγμένη στον οριζόντιο άξονα και το y είναι η συντεταγμένη στον κάθετο άξονα. Μπορείτε να βρείτε αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων χωρίς να τις σχεδιάσετε στο γράφημα, αλλά η γραφική παράσταση θα σας βοηθήσει να δείτε καλύτερα.

3. 

   Βρείτε τα μήκη των δεξιών πλευρών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας τα δύο σημεία που δίδονται ως γωνίες του τριγώνου που γειτνιάζουν με την υπόταση, βρείτε τις πλευρές a και b του τριγώνου. Μπορείτε να το κάνετε οπτικά σε ένα γράφημα ή χρησιμοποιώντας τον τύπο | x₁ - Χ₂| για οριζόντια άκρα και | y₁ - ε₂| για την κατακόρυφη άκρη, όπου (x₁, γ₁) είναι το πρώτο σημείο και (x₂, γ₂) είναι το δεύτερο σημείο.
   • Ας υποθέσουμε ότι δύο σημεία είναι (6,1) και (3,5). Το μήκος της οριζόντιας πλευράς του τριγώνου είναι:
     • | x₁ - Χ₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Το κατακόρυφο άκρο είναι:
     • | ε₁ - ε₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι σε αυτό το δεξί τρίγωνο, πλευρά a = 3 και πλευρά b = 4.

4. 

   Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να λύσετε την εξίσωση για υποτείνους. Η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων είναι υπόταση ενός τριγώνου με δύο ορθογώνιες πλευρές, όπως μόλις προσδιορίσαμε. Χρησιμοποιώντας το συνηθισμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρείτε την υποτείνουσα, ας είναι το μήκος της πρώτης πλευράς και β το μήκος της δεύτερης πλευράς.
   • Στο παράδειγμα με τα σημεία (3,5) και (6,1), τα μήκη των ορθών γωνιών είναι 3 και 4, οπότε υπολογίζουμε το μήκος υπότασης ως εξής:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = τετραγωνική ρίζα του (9 + 16)

       c = τετραγωνική ρίζα του (25)

       c = 5. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (3,5) και (6,1) είναι 5.

   διαφήμιση

Συμβουλή

• Η υποτείνουσα είναι πάντα:
  • τέμνει τις ορθές γωνίες (μην διασταυρώνετε τις ορθές γωνίες)
  • είναι η μεγαλύτερη πλευρά του δεξιού τριγώνου
  • αντιπροσωπεύεται από ντο στο Πυθαγόρειο θεώρημα
• Ελέγχετε πάντα τα αποτελέσματα.
• Μια άλλη δοκιμή - η μεγαλύτερη πλευρά θα αντιμετωπίσει τη μεγαλύτερη και η μικρότερη πλευρά θα αντιμετωπίσει τη μικρότερη.
• Σε ένα δεξί τρίγωνο, γνωρίζετε την τρίτη πλευρά μόνο όταν γνωρίζετε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών.
• Εάν το τρίγωνο δεν είναι σωστό τρίγωνο, θα πρέπει να έχετε περισσότερες πληροφορίες εκτός από τα πλάγια μήκη.
• Για να αντιστοιχίσετε ακριβείς τιμές σε a, b και c, θα πρέπει να αντιπροσωπεύσετε το τρίγωνο σε μορφή σχεδίασης, ειδικά για προβλήματα λογικής ή λέξης.
• Εάν έχετε μόνο μετρήσεις μονής όψης, δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αντ 'αυτού, χρησιμοποιήστε τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin, cos, tan) ή αναλογία 30-60-90 / 45-45-90.