Πώς να διαιρέσετε πίνακες

Βίντεο: ΑΕΠΠ - Θέματα με Πίνακες (Επανάληψη)

Περιεχόμενο

Σύντομη περίληψη
Βήματα
Μέρος 1 από 3: Δοκιμή της διαιρετότητας των πινάκων
Μέρος 2 από 3: Εύρεση της αντίστροφης μήτρας
Μέρος 3 από 3: Πολλαπλασιασμός μήτρας
Συμβουλές
Προειδοποιήσεις
Πρόσθετα άρθρα

Εάν γνωρίζετε πώς να πολλαπλασιάσετε δύο πίνακες, μπορείτε να αρχίσετε να "διαιρείτε" τους πίνακες. Η λέξη "διαίρεση" περικλείεται σε εισαγωγικά, επειδή οι πίνακες δεν μπορούν πραγματικά να διαιρεθούν. Η πράξη διαίρεσης αντικαθίσταται από τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν πίνακα που είναι το αντίστροφο του δεύτερου πίνακα. Για λόγους απλότητας, εξετάστε ένα παράδειγμα με ακέραιους αριθμούς: 10 ÷ 5. Βρείτε το αντίστροφο των 5: 5 ή /₅, και στη συνέχεια αντικαταστήστε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό: 10 x 5; το αποτέλεσμα της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού θα είναι το ίδιο. Επομένως, πιστεύεται ότι η διαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με πολλαπλασιασμό με την αντίστροφη μήτρα. Συνήθως, τέτοιοι υπολογισμοί χρησιμοποιούνται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Σύντομη περίληψη

Δεν μπορείτε να διαιρέσετε πίνακες. Αντί να διαιρείται, ένας πίνακας πολλαπλασιάζεται με τον αντίστροφο του δεύτερου πίνακα. Η «διαίρεση» δύο πινάκων [A] ÷ [B] γράφεται ως εξής: [A] * [B] ή [B] * [A].
Εάν ο πίνακας [B] δεν είναι τετράγωνος ή εάν ο καθοριστικός παράγοντας είναι 0, γράψτε "καμία μονοσήμαντη λύση". Διαφορετικά, βρείτε τον καθοριστικό του πίνακα [Β] και προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
Βρείτε το αντίστροφο: [B].
Πολλαπλασιάστε τους πίνακες για να βρείτε [A] * [B] ή [B] * [A]. Λάβετε υπόψη ότι η σειρά πολλαπλασιασμού των πινάκων επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα (δηλαδή, τα αποτελέσματα μπορεί να διαφέρουν).

Βήματα

Μέρος 1 από 3: Δοκιμή της διαιρετότητας των πινάκων

1 Κατανοήστε την «διαίρεση» των πινάκων. Στην πραγματικότητα, οι πίνακες δεν μπορούν να διαιρεθούν. Δεν υπάρχει καμία μαθηματική πράξη όπως "διαίρεση μιας μήτρας με άλλη". Η διαίρεση αντικαθίσταται πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με τον αντίστροφο του δεύτερου πίνακα. Δηλαδή, ο συμβολισμός [A] ÷ [B] δεν είναι σωστός, οπότε αντικαθίσταται με τον ακόλουθο συμβολισμό: [A] * [B]. Δεδομένου ότι και οι δύο καταχωρήσεις είναι ισοδύναμες στην περίπτωση των κλιμακωτών τιμών, θεωρητικά μπορούμε να μιλήσουμε για "διαίρεση" των πινάκων, αλλά είναι ακόμα καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε τη σωστή ορολογία.
- Σημειώστε ότι [A] * [B] και [B] * [A] είναι διαφορετικές πράξεις. Μπορεί να χρειαστεί να εκτελέσετε και τις δύο λειτουργίες για να βρείτε όλες τις πιθανές λύσεις.
- Για παράδειγμα, αντί για ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ σημειωσε ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Σως χρειαστεί να υπολογίσετε ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ για να έχουμε διαφορετικό αποτέλεσμα.
2 Βεβαιωθείτε ότι ο πίνακας με τον οποίο "διαιρείτε" τον άλλο πίνακα είναι τετράγωνος. Για να αντιστρέψετε έναν πίνακα (βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα), πρέπει να είναι τετράγωνο, δηλαδή με τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Εάν η ανεστραμμένη μήτρα δεν είναι αντίστροφη, δεν υπάρχει οριστική λύση.
- Και πάλι, οι πίνακες δεν «διαιρούνται» εδώ. Στη λειτουργία [A] * [B], η περιγραφόμενη συνθήκη αναφέρεται στη μήτρα [B]. Στο παράδειγμά μας, αυτή η συνθήκη αναφέρεται στη μήτρα ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Ένας πίνακας που μπορεί να αναστραφεί ονομάζεται μη εκφυλισμένος ή κανονικός. Ένας πίνακας που δεν μπορεί να αναστραφεί ονομάζεται εκφυλισμένος ή ενικός.
3 Ελέγξτε εάν οι δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν. Για να πολλαπλασιάσετε δύο πίνακες, ο αριθμός των στηλών στον πρώτο πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στο δεύτερο πίνακα. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται στην καταχώριση [A] * [B] ή [B] * [A], δεν υπάρχει λύση.
- Για παράδειγμα, εάν το μέγεθος της μήτρας [A] είναι 4 x 3 και το μέγεθος της μήτρας [B] είναι 2 x 2, δεν υπάρχει λύση. Δεν μπορείτε να πολλαπλασιάσετε το [A] * [B] επειδή 4 ≠ 2 και δεν μπορείτε να πολλαπλασιάσετε το [B] * [A] επειδή 2 ≠ 3.
- Σημειώστε ότι ο αντίστροφος πίνακας [B] έχει πάντα τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών με τον αρχικό πίνακα [B]. Δεν είναι απαραίτητο να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα για να ελέγξετε ότι μπορούν να πολλαπλασιαστούν δύο πίνακες.
- Στο παράδειγμά μας, το μέγεθος και των δύο πινάκων είναι 2 x 2, οπότε μπορούν να πολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σειρά.
4 Βρείτε τον καθοριστικό του πίνακα 2 × 2. Θυμηθείτε: μπορείτε να αντιστρέψετε έναν πίνακα μόνο εάν ο καθοριστικός παράγοντας δεν είναι μηδενικός (διαφορετικά, δεν μπορείτε να αντιστρέψετε τον πίνακα). Δείτε πώς μπορείτε να βρείτε τον καθοριστικό πίνακα 2 x 2:
- 2 x 2 μήτρα: καθοριστικό ενός πίνακα ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ ισούται με ad - bc. Δηλαδή, από το προϊόν των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (περνάει από την επάνω αριστερή και κάτω δεξιά γωνία), αφαιρέστε τα προϊόντα των στοιχείων της άλλης διαγωνίου (περνάει από την επάνω δεξιά και κάτω αριστερή γωνία).
- Για παράδειγμα, ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ είναι ίσο με (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Ο καθοριστικός παράγοντας είναι μη μηδενικός, οπότε αυτός ο πίνακας μπορεί να αναστραφεί.
5 Βρείτε τον καθοριστικό της μεγαλύτερης μήτρας. Εάν το μέγεθος της μήτρας είναι 3 x 3 ή περισσότερο, ο προσδιοριστής είναι ελαφρώς πιο δύσκολο να υπολογιστεί.
- Μήτρα 3 x 3: επιλέξτε οποιοδήποτε στοιχείο και διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη που βρίσκεται.Βρείτε τον καθοριστικό του προκύπτοντος πίνακα 2 × 2 και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τον με το επιλεγμένο στοιχείο. καθορίστε το πρόσημο του καθοριστικού σε ειδικό πίνακα. Επαναλάβετε αυτήν τη διαδικασία για τα άλλα δύο στοιχεία που βρίσκονται στην ίδια σειρά ή στήλη με το στοιχείο που επιλέξατε. Στη συνέχεια, βρείτε το άθροισμα των (τριών) καθοριστικών παραληφθέντων. Διαβάστε αυτό το άρθρο για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο εύρεσης του καθοριστικού ενός πίνακα 3 x 3.
- Μεγάλες μήτρες: ο καθοριστικός παράγοντας τέτοιων πινάκων αναζητείται καλύτερα με μια αριθμομηχανή γραφικών ή λογισμικό. Η μέθοδος είναι παρόμοια με τη μέθοδο εύρεσης του καθοριστικού ενός πίνακα 3 × 3, αλλά είναι μάλλον κουραστικό να εφαρμόζεται χειροκίνητα. Για παράδειγμα, για να βρείτε τον καθοριστικό ενός πίνακα 4 x 4, πρέπει να βρείτε τους καθοριστικούς παράγοντες τεσσάρων πινάκων 3 x 3.
6 Συνεχίστε τους υπολογισμούς. Εάν ο πίνακας δεν είναι τετράγωνος ή αν ο καθοριστικός του είναι ίσος με το μηδέν, γράψτε "καμία μονοσήμαντη λύση", δηλαδή ολοκληρώνεται η διαδικασία υπολογισμού. Εάν ο πίνακας είναι τετράγωνος και έχει μη μηδενικό καθοριστικό, μεταβείτε στην επόμενη ενότητα.

Μέρος 2 από 3: Εύρεση της αντίστροφης μήτρας

1 Ανταλλάξτε τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας της μήτρας 2 x 2. Δεδομένου ενός πίνακα 2 × 2, χρησιμοποιήστε τη γρήγορη αντίστροφη μέθοδο. Αρχικά, αλλάξτε το επάνω αριστερό στοιχείο και το κάτω δεξιά στοιχείο. Για παράδειγμα:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Σημείωση: οι περισσότεροι άνθρωποι χρησιμοποιούν αριθμομηχανές για να αντιστρέψουν έναν πίνακα 3 x 3 (ή μεγαλύτερο). Εάν πρέπει να το κάνετε αυτό με μη αυτόματο τρόπο, μεταβείτε στο τέλος αυτής της ενότητας.
2 Μην αλλάζετε τα υπόλοιπα δύο στοιχεία, αλλά αλλάζετε το πρόσημό τους. Δηλαδή, πολλαπλασιάστε το επάνω δεξιά στοιχείο και το κάτω αριστερό στοιχείο με -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Βρείτε το αντίστροφο του καθοριστικού. Ο καθοριστικός παράγοντας αυτού του πίνακα βρέθηκε στην προηγούμενη ενότητα, οπότε δεν θα τον υπολογίσουμε ξανά. Το αντίστροφο του καθοριστικού γράφεται ως εξής: 1 / (καθοριστικό):
- Στο παράδειγμά μας, ο καθοριστικός παράγοντας είναι 13. Αντίστροφη τιμή: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Πολλαπλασιάστε τον πίνακα που προκύπτει με το αντίστροφο του καθοριστικού. Πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο της νέας μήτρας με το αντίστροφο του καθοριστικού. Ο τελικός πίνακας θα είναι ο αντίστροφος του αρχικού πίνακα 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Βεβαιωθείτε ότι οι υπολογισμοί είναι σωστοί. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον αρχικό πίνακα με το αντίστροφο. Εάν οι υπολογισμοί είναι σωστοί, το γινόμενο του αρχικού πίνακα από το αντίστροφο θα δώσει τον πίνακα ταυτότητας: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Εάν η δοκιμή ήταν επιτυχής, προχωρήστε στην επόμενη ενότητα.
- Στο παράδειγμά μας: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο πολλαπλασιασμού των πινάκων, διαβάστε αυτό το άρθρο.
- Σημείωση: η λειτουργία του πολλαπλασιασμού μήτρας δεν είναι μεταβλητή, δηλαδή η σειρά των πινάκων είναι σημαντική. Αλλά όταν ο αρχικός πίνακας πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφο, οποιαδήποτε σειρά οδηγεί στον πίνακα ταυτότητας.
6 Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα 3 x 3 (ή μεγαλύτερο). Εάν είστε ήδη εξοικειωμένοι με αυτήν τη διαδικασία, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή γραφικών ή ένα ειδικό λογισμικό. Εάν πρέπει να βρείτε το αντίστροφο πίνακα χειροκίνητα, η διαδικασία περιγράφεται εν συντομία παρακάτω:
- Συνδεθείτε με τον πίνακα ταυτότητας I στη δεξιά πλευρά του αρχικού πίνακα. Για παράδειγμα, [B] [B | ΕΓΩ]. Για τον πίνακα ταυτότητας, όλα τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας είναι ίσα με 1 και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με 0.
- Απλοποιήστε τη μήτρα έτσι ώστε η αριστερή πλευρά της να γίνει κλιμακωτή. συνεχίστε να απλοποιείτε έτσι ώστε η αριστερή πλευρά να γίνει ο πίνακας ταυτότητας.
- Μετά την απλοποίηση, ο πίνακας θα λάβει την ακόλουθη μορφή: [I | ΣΙ]. Δηλαδή, η δεξιά του πλευρά είναι η αντίστροφη του αρχικού πίνακα.

Μέρος 3 από 3: Πολλαπλασιασμός μήτρας

1 Γράψτε δύο πιθανές εκφράσεις. Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού δύο κλιμακωτών είναι μεταβλητή, δηλαδή 2 x 6 = 6 x 2.Αυτό δεν συμβαίνει στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού μήτρας, οπότε ίσως χρειαστεί να λύσετε δύο εκφράσεις:
- Χ = [A] * [B] είναι η λύση στην εξίσωση Χ[Β] = [Α].
- Χ = [B] * [A] είναι η λύση στην εξίσωση [B]Χ = [Α].
- Εκτελέστε κάθε μαθηματική πράξη και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Εάν [A] = [C] τότε [B] [A] ≠ [C] [B] επειδή [B] είναι στα αριστερά του [A] αλλά στα δεξιά του [C].
2 Προσδιορίστε το μέγεθος της τελικής μήτρας. Το μέγεθος του τελικού πίνακα εξαρτάται από το μέγεθος των πολλαπλασιασμένων πινάκων. Ο αριθμός των σειρών στον τελικό πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον πρώτο πίνακα και ο αριθμός των στηλών στον τελικό πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών στον δεύτερο πίνακα.
- Στο παράδειγμά μας, το μέγεθος και των δύο πινάκων ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ και ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ είναι 2 x 2, οπότε το μέγεθος της αρχικής μήτρας θα είναι 2 x 2.
- Εξετάστε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα: εάν το μέγεθος της μήτρας [A] είναι 4 x 3, και το μέγεθος της μήτρας [B] είναι 3 x 3, τότε ο τελικός πίνακας [A] * [B] θα είναι 4 x 3.
3 Βρείτε την τιμή του πρώτου στοιχείου. Διαβάστε αυτό το άρθρο ή θυμηθείτε τα ακόλουθα βασικά βήματα:
- Για να βρείτε το πρώτο στοιχείο (πρώτη σειρά, πρώτη στήλη) της τελικής μήτρας [Α] [Β], υπολογίστε το τελικό γινόμενο των στοιχείων της πρώτης σειράς του πίνακα [Α] και των στοιχείων της πρώτης στήλης του πίνακα [Β ]. Στην περίπτωση μήτρας 2 x 2, το τελικό προϊόν υπολογίζεται ως εξής: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Στο παράδειγμά μας: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Έτσι, το πρώτο στοιχείο της τελικής μήτρας θα είναι το στοιχείο:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Συνεχίστε τον υπολογισμό των τελικών προϊόντων για να βρείτε κάθε στοιχείο της τελικής μήτρας. Για παράδειγμα, το στοιχείο που βρίσκεται στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη είναι ίσο με το τελείωμα της δεύτερης σειράς του πίνακα [A] και της πρώτης στήλης του πίνακα [B]. Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τα υπόλοιπα αντικείμενα. Θα πρέπει να έχετε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { αρχή {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Εάν πρέπει να βρείτε άλλη λύση: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 τέλος {pmatrix}}}$

Συμβουλές

Η μήτρα μπορεί να χωριστεί σε κλιμακωτή. για αυτό, κάθε στοιχείο της μήτρας διαιρείται με ένα κλιμάκιο.
- Για παράδειγμα, εάν η μήτρα ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ διαιρούμενο με 2, παίρνετε τον πίνακα ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Προειδοποιήσεις

Η αριθμομηχανή δεν δίνει πάντα απόλυτα ακριβή αποτελέσματα όταν πρόκειται για υπολογισμούς μήτρας. Για παράδειγμα, εάν η αριθμομηχανή ισχυριστεί ότι το στοιχείο είναι ένας πολύ μικρός αριθμός (όπως 2Ε), η τιμή είναι πιθανότατα μηδέν.