Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 3: Παράγοντας μια εξίσωση
• Μέθοδος 2 από 3: Χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο
• Μέθοδος 3 από 3: Συμπλήρωση του τετραγώνου
• Συμβουλές

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία η μεγαλύτερη δύναμη μιας μεταβλητής είναι 2. Υπάρχουν τρεις κύριοι τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων: αν είναι δυνατόν, συντελεστής της τετραγωνικής εξίσωσης, χρήση του τετραγωνικού τύπου ή συμπλήρωση του τετραγώνου. Θέλετε να μάθετε πώς γίνονται όλα αυτά; Συνέχισε να διαβάζεις.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Παράγοντας μια εξίσωση

1. 1 Προσθέστε όλα τα παρόμοια στοιχεία και μεταφέρετέ τα στη μία πλευρά της εξίσωσης. Αυτό θα είναι το πρώτο βήμα, δηλαδή ${ displaystyle x ^ {2}}$ σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να παραμείνει θετική. Προσθέστε ή αφαιρέστε όλες τις τιμές ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ και σταθερή, μεταφέροντας τα πάντα στο ένα μέρος και αφήνοντας το 0 στο άλλο. Δείτε πώς να το κάνετε:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Παράγοντας την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τις τιμές ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), σταθερές τιμές (-4), πρέπει να πολλαπλασιαστούν και να σχηματιστούν -11. Δείτε πώς να το κάνετε:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ έχει μόνο δύο πιθανούς παράγοντες: ${ displaystyle 3x}$ και ${ displaystyle x}$ώστε να μπορούν να γραφτούν σε παρένθεση: ${ displaystyle (3x pm;) (x pm;) = 0}$.
   • Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας τους συντελεστές του 4, βρίσκουμε τον συνδυασμό που, όταν πολλαπλασιαστεί, δίνει -11x. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν συνδυασμό 4 και 1, ή 2 και 2, αφού και οι δύο δίνουν 4. Να θυμάστε ότι οι τιμές πρέπει να είναι αρνητικές, επειδή έχουμε -4.
   • Με τη δοκιμή και το λάθος, παίρνετε τον συνδυασμό ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Όταν πολλαπλασιάζουμε, παίρνουμε ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Με σύνδεση ${ displaystyle -12x}$ και ${ displaystyle x}$, παίρνουμε τον μεσοπρόθεσμο όρο ${ displaystyle -11x}$που ψάχναμε. Η τετραγωνική εξίσωση παραγοντοποιείται.
   • Για παράδειγμα, ας δοκιμάσουμε έναν ακατάλληλο συνδυασμό: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Συνδυάζοντας, παίρνουμε ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Αν και οι παράγοντες -2 και 2 πολλαπλασιάζονται στο -4, ο μεσοπρόθεσμος δεν λειτουργεί, επειδή θέλαμε να πάρουμε ${ displaystyle -11x}$, αλλά όχι ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Εξισώστε κάθε έκφραση σε παρένθεση στο μηδέν (ως ξεχωριστές εξισώσεις). Έτσι βρίσκουμε δύο έννοιες ${ displaystyle x}$για το οποίο ολόκληρη η εξίσωση είναι ίση με μηδέν, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Τώρα μένει να ισοδυναμεί με μηδέν κάθε μία από τις εκφράσεις σε παρένθεση. Γιατί; Το θέμα είναι ότι το προϊόν είναι ίσο με το μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με το μηδέν. Οπως και ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ είναι μηδέν, τότε είτε (3x + 1) είτε (x - 4) είναι μηδέν. Σημειωσε ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ και ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Λύστε κάθε εξίσωση ξεχωριστά. Σε μια τετραγωνική εξίσωση, το x έχει δύο έννοιες. Λύστε τις εξισώσεις και γράψτε τις τιμές x:
   • Λύστε την εξίσωση 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... αφαιρώντας
     • 3x / 3 = -1/3 ..... διαιρώντας
     • x = -1/3 ..... μετά από απλοποίηση
   • Λύστε την εξίσωση x - 4 = 0
     • x = 4 ..... αφαιρώντας
   • x = (-1/3, 4) ..... πιθανές τιμές, δηλαδή x = -1/3 ή x = 4.
5. 5 Ελέγξτε x = -1/3 συνδέοντας αυτήν την τιμή σε (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... με αντικατάσταση
   • (-1 + 1) (- 4 1/3); =? 0 ..... μετά απλοποίηση
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... μετά τον πολλαπλασιασμό
   • 0 = 0, άρα x = -1/3 είναι η σωστή απάντηση.
6. 6 Ελέγξτε x = 4 συνδέοντας αυτήν την τιμή σε (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =; 0 ..... με αντικατάσταση
   • (13) (4 - 4); =; 0 ..... μετά απλοποίηση
   • (13) (0) = 0 ..... μετά τον πολλαπλασιασμό
   • 0 = 0, άρα x = 4 είναι η σωστή απάντηση.
   • Έτσι, και οι δύο λύσεις είναι σωστές.

Μέθοδος 2 από 3: Χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο

1. 1 Συνδυάστε όλους τους όρους και γράψτε στη μία πλευρά της εξίσωσης. Αποθηκεύστε την τιμή ${ displaystyle x ^ {2}}$ θετικός. Γράψτε τους όρους κατά σειρά φθίνουσας μοίρας, άρα τον όρο ${ displaystyle x ^ {2}}$ γράφεται πρώτα, μετά ${ displaystyle x}$ και μετά μια σταθερά:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Γράψτε τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ο τύπος μοιάζει με αυτόν: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Προσδιορίστε τις τιμές των a, b και c σε μια τετραγωνική εξίσωση. Μεταβλητός ένα είναι ο συντελεστής του όρου x, σι - μέλος x, ντο - σταθερή. Για την εξίσωση 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 και c = -8. Σημειώστε το.
4. 4 Συνδέστε τις τιμές για τα a, b και c στην εξίσωση. Γνωρίζοντας τις τιμές των τριών μεταβλητών, μπορείτε να τις συνδέσετε στην εξίσωση ως εξής:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Μετρήστε το. Αντικαταστήστε τις τιμές, απλοποιήστε τα υπέρ και τα κατά και πολλαπλασιάστε ή τετραγωνίστε τους υπόλοιπους όρους:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Απλοποιήστε την τετραγωνική ρίζα. Εάν η τετραγωνική ρίζα είναι ένα τετράγωνο, παίρνετε έναν ακέραιο. Εάν όχι, απλοποιήστε το στην πιο απλή τιμή ρίζας. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, και είστε σίγουροι ότι πρέπει να είναι αρνητικό, τότε οι ρίζες θα είναι πολύπλοκες. Σε αυτό το παράδειγμα √ (121) = 11. Μπορείτε να γράψετε ότι x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Βρείτε θετικές και αρνητικές λύσεις. Εάν έχετε αφαιρέσει το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας, μπορείτε να συνεχίσετε μέχρι να βρείτε θετικές και αρνητικές τιμές x. Έχοντας (5 +/- 11) / 6, μπορείτε να γράψετε:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Βρείτε θετικές και αρνητικές τιμές. Απλά μετρήστε:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Απλοποιώ. Για να γίνει αυτό, απλώς διαιρέστε και τα δύο με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Διαιρέστε το πρώτο κλάσμα με 2, το δεύτερο με 6, το x βρίσκεται.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Μέθοδος 3 από 3: Συμπλήρωση του τετραγώνου

1. 1 Μετακινήστε όλους τους όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης.ένα ή x πρέπει να είναι θετικό. Αυτό γίνεται έτσι:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • Στην εξίσωση αυτή ένα: 2, σι: -12,ντο: -9.
2. 2 Μεταφορά μέλους ντο (μόνιμο) στην άλλη πλευρά. Μια σταθερά είναι ένας όρος σε μια εξίσωση που περιέχει μόνο μια αριθμητική τιμή, χωρίς μεταβλητές.Μετακινήστε το στη δεξιά πλευρά:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Χωρίστε και τα δύο μέρη με συντελεστή ένα ή x. Εάν το x δεν έχει συντελεστή, τότε είναι ίσο με ένα και αυτό το βήμα μπορεί να παραλειφθεί. Στο παράδειγμά μας, διαιρούμε όλα τα μέλη με 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 διαιρέστε σι κατά 2, τετράγωνο και προσθέστε και στις δύο πλευρές. Στο παράδειγμά μας σι ισούται με -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Απλοποιήστε και τις δύο πλευρές. Τετραγωνίστε τους όρους στα αριστερά για να λάβετε (x-3) (x-3) ή (x-3). Προσθέστε τους όρους στο δικαίωμα για να κάνετε 9/2 + 9 ή 9/2 + 18/2, που είναι 27/2.
6. 6 Εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών. Η τετραγωνική ρίζα του (x-3) είναι απλά (x-3). Η τετραγωνική ρίζα του 27/2 μπορεί να γραφτεί ως ± √ (27/2). Έτσι, x - 3 = √ (27/2).
7. 7 Απλοποιήστε τη ριζική έκφραση και βρείτε x. Για να απλοποιήσετε το ± √ (27/2), βρείτε το τέλειο τετράγωνο στους αριθμούς 27 και 2 ή τους συντελεστές τους. Στο 27 υπάρχει ένα πλήρες τετράγωνο του 9, επειδή 9 x 3 = 27. Για να συμπεράνουμε το 9 από το ριζικό πρόσημο, πάρτε τη ρίζα από αυτό και αφαιρέστε το 3 από το ριζικό πρόσημο. Αφήστε το 3 στους αριθμητές του κλάσματος κάτω από το ριζικό πρόσημο, αφού αυτός ο συντελεστής δεν μπορεί να εξαχθεί, και επίσης αφήστε το 2 στο κάτω μέρος. Στη συνέχεια, μετακινήστε τη σταθερά 3 από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη δεξιά πλευρά και γράψτε τις δύο λύσεις για το x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Συμβουλές

• Εάν ο αριθμός κάτω από το ριζικό πρόσημο δεν είναι πλήρες τετράγωνο, τότε τα τελευταία βήματα εκτελούνται ελαφρώς διαφορετικά. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:
• Όπως μπορείτε να δείτε, το ριζικό πρόσημο δεν έχει εξαφανιστεί. Με αυτόν τον τρόπο, οι όροι στους αριθμητές δεν μπορούν να συνδυαστούν. Τότε δεν έχει νόημα να χωρίσουμε το συν ή το μείον. Αντ 'αυτού, διαιρούμε τυχόν κοινούς παράγοντες - αλλά μόνο αν ο συντελεστής κοινός στη σταθερά και συντελεστή ρίζας.