Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 3: Μια πρώτη απλή εργασία
• Μέθοδος 2 από 3: Υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής για ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα
• Μέθοδος 3 από 3: Κατανοήστε την έννοια
• Συμβουλές
• Απαιτήσεις

Η τιμή προσδοκίας είναι ένας στατιστικός όρος και μια έννοια που χρησιμοποιείται για να αποφασίσει πόσο χρήσιμη ή επιβλαβής θα είναι μια ενέργεια. Για τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε καλά κάθε αποτέλεσμα σε μια συγκεκριμένη κατάσταση και τη σχετική πιθανότητα, ή την πιθανότητα να συμβεί ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Τα παρακάτω βήματα παρέχουν μερικά παραδείγματα ασκήσεων για να σας βοηθήσουν να κατανοήσετε την έννοια της προσδοκίας.

Για να πας

Μέθοδος 1 από 3: Μια πρώτη απλή εργασία

1. Διαβάστε τη δήλωση. Προτού αρχίσετε να σκέφτεστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα και πιθανότητες, είναι σημαντικό να καταλάβετε το πρόβλημα. Για παράδειγμα, ένα παιχνίδι με ζάρια που κοστίζει 10 € ανά παιχνίδι. Ένα hex die κυκλοφορεί μία φορά και τα κέρδη σας εξαρτώνται από τον αριθμό που θα παίξετε. Εάν το 6 είναι τυλιγμένο, κερδίζετε 30 €. ένα 5 κερδίζει 20 € οποιοσδήποτε άλλος αριθμός δεν αποδίδει τίποτα.
2. Καταγράψτε όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Βοηθά στη λίστα όλων των πιθανών αποτελεσμάτων σε μια δεδομένη κατάσταση. Στο παραπάνω παράδειγμα, υπάρχουν 6 πιθανά αποτελέσματα. Αυτά είναι: (1) ρίξτε ένα 1 και χάνετε 10 $, (2) ρίξτε ένα 2 και χάνετε 10 $, (3) ρίξτε ένα 3 και χάνετε 10 $, (4) ρίξτε ένα 4 και χάνετε 10 $ , (5) ρίξτε ένα 5 και κερδίστε $ 10, (6) ρίξτε ένα 6 και κερδίστε 20 $.
   • Σημειώστε ότι κάθε αποτέλεσμα είναι 10 € λιγότερο από ό, τι περιγράφεται παραπάνω, καθώς θα πρέπει να πληρώσετε πρώτα 10 € ανά παιχνίδι, ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα.
3. Προσδιορίστε την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα οποιωνδήποτε 6 αποτελεσμάτων είναι η ίδια. Η πιθανότητα ενός τυχαίου αριθμού να κυληθεί είναι 1 στα 6. Για να γίνει ευκολότερο να καταγραφεί, θα γράψουμε το κλάσμα (1/6) ως δεκαδικό χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή: 0,167. Γράψτε αυτήν την πιθανότητα δίπλα σε κάθε αποτέλεσμα, ειδικά εάν θέλετε να λύσετε ένα πρόβλημα με διαφορετικές πιθανότητες για κάθε αποτέλεσμα.
   • Η αριθμομηχανή 1/6 μπορεί να κάνει κάτι σαν 0,166667. Το στρογγυλοποιούμε στο 0,167 για να κάνουμε πιο εύκολο τον υπολογισμό χωρίς να θυσιάσουμε την ακρίβεια.
   • Εάν θέλετε ένα πολύ ακριβές αποτέλεσμα, μην το κάνετε δεκαδικό, απλώς εισάγετε το 1/6 στον τύπο και υπολογίστε το στην αριθμομηχανή σας.
4. Καταγράψτε την αξία κάθε αποτελέσματος. Πολλαπλασιάστε το $ ενός αποτελέσματος με την πιθανότητα ότι το αποτέλεσμα θα συμβεί για να υπολογίσετε πόσα χρήματα το αποτέλεσμα θα συμβάλει στην αναμενόμενη αξία. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα του κυλίσματος 1 είναι - $ 10 και η πιθανότητα κύλισης 1 είναι 0,167. Η τιμή της ρίψης 1 είναι επομένως (-10) * (0,167).
   • Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε αυτά τα αποτελέσματα τώρα εάν έχετε μια αριθμομηχανή που μπορεί να εκτελεί πολλές λειτουργίες ταυτόχρονα. Θα λάβετε ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα εάν εισαγάγετε ολόκληρη την εξίσωση.
5. Προσθέστε την τιμή κάθε αποτελέσματος για να λάβετε την αναμενόμενη τιμή ενός συμβάντος. Για να συνεχίσετε με το παραπάνω παράδειγμα, η προσδοκώμενη τιμή του παιχνιδιού με ζάρια είναι: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0,167] + (20 * 0,167) ή - 1,67 €. Έτσι, μπορείτε να περιμένετε να χάσετε 1,67 $ κάθε φορά σε αυτό το παιχνίδι (ανά παιχνίδι).
6. Ποιες είναι οι επιπτώσεις του υπολογισμού της αναμενόμενης τιμής. Στο παραπάνω παράδειγμα, προσδιορίσαμε ότι το αναμενόμενο κέρδος (ζημία) θα είναι - 1,67 € ανά ρίψη. Αυτό είναι ένα αδύνατο αποτέλεσμα για 1 παιχνίδι. μπορείτε να χάσετε 10 €, να κερδίσετε 10 € ή να κερδίσετε 20 €. Μακροπρόθεσμα, η αναμενόμενη τιμή είναι μια χρήσιμη, μέση πιθανότητα. Εάν συνεχίζετε να παίζετε αυτό το παιχνίδι, θα χάσετε περίπου 1,67 $ ανά παιχνίδι, κατά μέσο όρο. Ένας άλλος τρόπος να σκεφτείτε την αναμενόμενη αξία είναι να αντιστοιχίσετε ορισμένα κόστη (ή οφέλη) στο παιχνίδι. θα πρέπει να παίζετε αυτό το παιχνίδι μόνο αν το αξίζετε, το απολαύσετε αρκετά για να ξοδεύετε 1,67 $ κάθε φορά.
   • Όσο πιο συχνά μια κατάσταση επαναλαμβάνεται, τόσο ακριβέστερα η αναμενόμενη τιμή είναι μια αναπαράσταση του πραγματικού, μέσου αποτελέσματος. Για παράδειγμα, ίσως να παίζετε το παιχνίδι 5 φορές στη σειρά και να χάνετε κάθε φορά, με αποτέλεσμα μια μέση απώλεια 10 $. Ωστόσο, εάν παίζετε το παιχνίδι 1000 φορές περισσότερες φορές, το μέσο αποτέλεσμα θα πλησιάζει και θα πλησιάζει στην αναμενόμενη αξία - 1,67 € ανά παιχνίδι. Αυτή η αρχή ονομάζεται «ο νόμος των μεγάλων αριθμών».

Μέθοδος 2 από 3: Υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής για ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα

1. Χρησιμοποιήστε αυτήν τη μέθοδο για να υπολογίσετε τον μέσο όρο των νομισμάτων που πρέπει να αναστρέψετε πριν εμφανιστεί ένα συγκεκριμένο μοτίβο. Για παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο για να μάθετε τον αναμενόμενο αριθμό νομισμάτων για αναστροφή έως ότου έχετε δύο φορές συνεχόμενα κεφάλια. Αυτό το πρόβλημα είναι λίγο πιο δύσκολο από ένα τυπικό πρόβλημα σχετικά με τις τιμές προσδοκίας, οπότε διαβάστε πρώτα το παραπάνω μέρος αυτού του άρθρου εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με την έννοια της τιμής προσδοκίας.
2. Ας υποθέσουμε ότι ψάχνουμε μια τιμή x. Προσπαθείτε να καθορίσετε πόσα νομίσματα πρέπει να γυρίσετε κατά μέσο όρο για να πάρετε δύο κεφαλές στη σειρά. Κάνουμε τώρα μια σύγκριση για να βρούμε την απάντηση. Καλούμε την απάντηση που αναζητούμε x. Κάνουμε την απαραίτητη σύγκριση βήμα προς βήμα. Αυτήν τη στιγμή έχουμε τα ακόλουθα:
   • x = ___
3. Σκεφτείτε τι θα συμβεί εάν το πρώτο flip παράγει ένα κέρμα. Αυτό θα συμβεί στις μισές περιπτώσεις. Εάν συμβαίνει αυτό, έχετε "σπαταλήσει" μια ανατροπή, ενώ η ευκαιρία να ρίξετε ένα κεφάλι δύο φορές στη σειρά δεν έχει αλλάξει. Όπως και με το ρίξιμο του νομίσματος, αναμένεται ότι θα πρέπει να ρίξετε έναν μέσο όρο φορές πριν πάρετε το κεφάλι δύο φορές στη σειρά. Με άλλα λόγια, θα περιμένατε να ρίξετε ένα x φορές, συν αυτές που έχετε ήδη παίξει. Με τη μορφή εξίσωσης:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Θα γεμίσουμε τον κενό χώρο καθώς συνεχίζουμε να σκεφτόμαστε άλλες καταστάσεις.
   • Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κλάσματα αντί για δεκαδικά εάν είναι ευκολότερο ή απαραίτητο.
4. Σκεφτείτε τι συμβαίνει όταν ρίχνετε το κεφάλι σας. Υπάρχει πιθανότητα 0,5 (ή 1/2) να ρίξετε ένα φλιτζάνι την πρώτη φορά. Αυτό φαίνεται να πλησιάζει στον στόχο να ρίχνεις ένα κεφάλι δύο φορές στη σειρά, αλλά πόσο; Ο ευκολότερος τρόπος για να μάθετε είναι να σκεφτείτε τις επιλογές σας στο δεύτερο ρολό:
   • Εάν το δεύτερο πέταγμα είναι ένα νόμισμα, επιστρέφουμε στην αρχή.
   • Εάν η δεύτερη φορά είναι επίσης ένα φλιτζάνι, τότε τελειώσαμε!
5. Μάθετε πώς να υπολογίζετε την πιθανότητα να συμβούν δύο συμβάντα. Τώρα ξέρουμε ότι έχετε 50% πιθανότητα να ρίξετε ένα φλιτζάνι, αλλά ποια είναι η πιθανότητα να ρίξετε ένα φλιτζάνι δύο φορές στη σειρά; Για να υπολογίσετε αυτήν την πιθανότητα, πολλαπλασιάστε την πιθανότητα και των δύο. Σε αυτήν την περίπτωση είναι 0,5 x 0,5 = 0,25. Φυσικά, αυτή είναι επίσης η πιθανότητα να κυλήσετε τα κεφάλια και στη συνέχεια τις ουρές, επειδή και οι δύο έχουν πιθανότητα να εμφανιστούν 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Προσθέστε το αποτέλεσμα για "κεφαλές και, στη συνέχεια, ουρές" στην εξίσωση. Τώρα που έχουμε υπολογίσει την πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν, μπορούμε να προχωρήσουμε στην επέκταση της εξίσωσης. Υπάρχει πιθανότητα 0,25 (ή 1/4) να χάσουμε δύο φορές χωρίς να προχωρήσουμε. Αλλά τώρα χρειαζόμαστε ακόμη έναν αριθμό x περισσότερων βολών κατά μέσο όρο για να πάρουμε το αποτέλεσμα που θέλουμε, καθώς και τα 2 που έχουμε ήδη ρίξει. Σε μορφή εξίσωσης, αυτό γίνεται (0,25) (x + 2), το οποίο μπορούμε τώρα να προσθέσουμε στην εξίσωση:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Προσθέστε το αποτέλεσμα για "επικεφαλίδα, επικεφαλίδα" στην εξίσωση. Εάν κυλήσετε το κεφάλι, προχωρήστε με τις δύο πρώτες πέτρες των κερμάτων, τελειώσατε. Πήρατε το αποτέλεσμα σε ακριβώς 2 βολές. Όπως σημειώσαμε νωρίτερα, υπάρχει πιθανότητα 0,25 να συμβεί αυτό, οπότε η εξίσωση για αυτό είναι (0,25) (2). Η σύγκριση μας έχει πλέον ολοκληρωθεί:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Εάν δεν είστε βέβαιοι ότι έχετε σκεφτεί κάθε πιθανή κατάσταση, υπάρχει ένας εύκολος τρόπος για να ελέγξετε ότι η εξίσωση είναι πλήρης. Ο πρώτος αριθμός σε κάθε μέρος της εξίσωσης αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν. Αυτό θα προσθέτει πάντα έως 1. Εδώ, 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, οπότε γνωρίζουμε ότι έχουμε συμπεριλάβει κάθε κατάσταση.
8. Απλοποιήστε την εξίσωση. Ας κάνουμε την εξίσωση λίγο πιο εύκολη πολλαπλασιάζοντας. Θυμηθείτε, εάν βλέπετε κάτι σε παρενθέσεις όπως αυτό: (0,5) (x + 1), τότε πολλαπλασιάζετε 0,5 με κάθε όρο που βρίσκεται στο δεύτερο σύνολο παρενθέσεων. Αυτό σας δίνει τα εξής: 0,5x + (0,5) (1) ή 0,5x + 0,5. Ας το κάνουμε για κάθε όρο στην εξίσωση και, στη συνέχεια, συνδυάστε αυτούς τους όρους έτσι ώστε όλα να φαίνονται λίγο πιο απλά:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Λύστε για το x. Όπως σε οποιαδήποτε εξίσωση, θα πρέπει να απομονώσετε το x στη μία πλευρά της εξίσωσης για να τον υπολογίσετε. Θυμηθείτε, το x σημαίνει "ο μέσος αριθμός νομισμάτων που πρέπει να πετάξετε για να κερδίσετε δύο φορές στη σειρά." Όταν υπολογίσουμε το x, βρήκαμε επίσης την απάντησή μας.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • Κατά μέσο όρο, θα πρέπει να πετάξετε ένα κέρμα 6 φορές πριν ρίξετε το κεφάλι δύο φορές.

Μέθοδος 3 από 3: Κατανοήστε την έννοια

1. Ποια είναι πραγματικά μια αναμενόμενη τιμή. Η τιμή προσδοκίας δεν είναι απαραίτητα το πιο προφανές ή λογικό αποτέλεσμα. Μερικές φορές μια τιμή προσδοκίας μπορεί ακόμη και να είναι μια αδύνατη τιμή σε μια δεδομένη κατάσταση. Για παράδειγμα, η τιμή προσδοκίας μπορεί να είναι + 5 € για ένα παιχνίδι με έπαθλο όχι μεγαλύτερο από 10 €. Αυτό που δείχνει η τιμή προσδοκίας είναι η αξία που έχει ένα συγκεκριμένο συμβάν. Εάν ένα παιχνίδι έχει αναμενόμενη αξία + 5 €, τότε μπορείτε να το παίξετε αν πιστεύετε ότι αξίζει τον χρόνο και τα χρήματα που μπορείτε να λάβετε ανά παιχνίδι. Εάν ένα άλλο παιχνίδι έχει αναμενόμενη αξία - $ 20, τότε το παίζετε μόνο αν νομίζετε ότι κάθε παιχνίδι αξίζει $ 20.
2. Κατανοήστε την έννοια των ανεξάρτητων εκδηλώσεων. Στην καθημερινή ζωή, πολλοί από εμάς πιστεύουμε ότι έχουμε μια τυχερή μέρα όταν συμβαίνουν κάποια καλά πράγματα και περιμένουμε την υπόλοιπη μέρα να πάει έτσι.Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να σκεφτούμε ότι είχαμε αρκετό ατύχημα και ότι κάτι διασκεδαστικό πρέπει πραγματικά να γίνει τώρα. Μαθηματικά, τα πράγματα δεν πάνε έτσι. Εάν ρίξετε ένα κανονικό νόμισμα, υπάρχει ακριβώς η ίδια πιθανότητα να ρίξετε ένα κεφάλι ή ένα νόμισμα. Δεν έχει σημασία πόσες φορές έχετε ήδη πετάξει. την επόμενη φορά που θα το πετάξετε εξακολουθεί να λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο. Η ρίψη νομισμάτων είναι "ανεξάρτητη" από τις άλλες πετάξεις, δεν επηρεάζεται από αυτήν.
   • Η πεποίθηση ότι μπορείς να είσαι τυχερός ή άτυχος όταν πετάς κέρματα (ή οποιοδήποτε άλλο τυχερό παιχνίδι), ή Το γεγονός ότι όλη η κακή σας τύχη έχει πλέον τελειώσει και η τύχη είναι στο πλευρό σας ονομάζεται επίσης εξαπάτηση τζογαδόρων (ή η πλάνη του παίκτη). Αυτό έχει να κάνει με την τάση των ανθρώπων να λαμβάνουν ριψοκίνδυνες ή ηλίθιες αποφάσεις όταν αισθάνονται ότι η τύχη είναι στο πλευρό τους, ή εάν αισθάνονται "τυχερή σειρά" ή αν αισθάνονται ότι η τύχη τους πρόκειται να γυρίσει. "
3. Κατανοήστε το νόμο των μεγάλων αριθμών. Ίσως πιστεύετε ότι η προσδοκώμενη τιμή δεν είναι πραγματικά χρήσιμη, γιατί σπάνια σας λέει ποια είναι η πραγματική έκβαση μιας κατάστασης. Εάν έχετε υπολογίσει ότι η αναμενόμενη αξία ενός παιχνιδιού ρουλέτας είναι - 1 € και παίζετε το παιχνίδι 3 φορές, συνήθως θα καταλήξετε με - 10 € ή + 60 € ή κάποιο άλλο αποτέλεσμα. Ο "Νόμος των μεγάλων αριθμών" σας βοηθά να εξηγήσετε γιατί η τιμή προσδοκίας είναι πιο χρήσιμη από ό, τι νομίζετε: όσο περισσότερο παίζετε, τόσο πιο κοντά στην τιμή προσδοκίας θα είναι το μέσο αποτέλεσμα. Όταν κοιτάζετε τον μεγάλο αριθμό συμβάντων, υπάρχει μια καλή πιθανότητα το τελικό αποτέλεσμα να πλησιάζει την αναμενόμενη τιμή.

Συμβουλές

• Για εκείνες τις περιπτώσεις όπου είναι δυνατά πολλαπλά αποτελέσματα, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα υπολογιστικό φύλλο στον υπολογιστή για να υπολογίσετε την αναμενόμενη τιμή χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα και τις πιθανότητές τους.
• Οι παραπάνω υπολογισμοί ευρώ λειτουργούν και σε άλλα νομίσματα.

Απαιτήσεις

• Μολύβι
• Χαρτί
• Αριθμομηχανή