Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 2: Απλοποιήστε τα στοιβαγμένα κλάσματα με αντίστροφο πολλαπλασιασμό
• Μέθοδος 2 από 2: Απλοποιήστε τα στοιβαγμένα κλάσματα με μεταβλητούς όρους
• Συμβουλές

Τα στοιβαγμένα κλάσματα είναι εκείνα στα οποία ο αριθμητής, ο παρονομαστής ή και τα δύο περιέχουν επίσης κλάσματα. Για αυτόν τον λόγο θα μπορούσατε επίσης να το ονομάσετε "κλάσματα σε κλάσματα". Η απλοποίηση των στοιβαγμένων κλασμάτων είναι μια διαδικασία που μπορεί να κυμαίνεται από εύκολο έως δύσκολο με βάση τον αριθμό των όρων που υπάρχουν στον αριθμητή και τον παρονομαστή, εάν ένας από τους όρους είναι μεταβλητός και αν ναι, η πολυπλοκότητα των μεταβλητών όρων. Δείτε το βήμα 1 παρακάτω για να ξεκινήσετε!

Για να πας

Μέθοδος 1 από 2: Απλοποιήστε τα στοιβαγμένα κλάσματα με αντίστροφο πολλαπλασιασμό

1. Εάν είναι απαραίτητο, απλοποιήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε μερικά κλάσματα. Τα σωρευμένα κλάσματα δεν είναι απαραίτητα δύσκολο να επιλυθούν. Στην πραγματικότητα, τα στοιβαγμένα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν και τα δύο ένα μόνο κλάσμα είναι συνήθως αρκετά εύκολο να επιλυθούν. Επομένως, εάν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής του στοιβαγμένου κλάσματος (ή και τα δύο) περιέχει πολλά κλάσματα ή κλάσματα και ακέραιους αριθμούς, απλοποιήστε όπως απαιτείται για να πάρετε ένα μόνο κλάσμα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Αυτό μπορεί να απαιτεί την εξεύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού (LCM) δύο ή περισσότερων κλασμάτων.
   • Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να απλοποιήσουμε το σύνθετο κλάσμα (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Πρώτον, μπορούμε να απλοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του σύνθετου κλάσμα μας σε μεμονωμένα κλάσματα.
     • Για να απλοποιήσουμε τον αριθμητή, παίρνουμε ένα LCV των 15 πολλαπλασιάζοντας τα 3/5 επί 3/3. Ο μετρητής μας γίνεται 9/15 + 2/15, που ισούται με 11/15.
     • Για να απλοποιήσουμε τον παρονομαστή, παίρνουμε ένα LCM 70 πολλαπλασιάζοντας 5/7 επί 10/10 και 3/10 επί 7/7. Ο παρονομαστής μας γίνεται 50/70 - 21/70, που ισούται με 29/70.
     • Έτσι, το νέο μας στοίβασμα είναι (11/15)/(29/70).
2. Γυρίστε τον παρονομαστή και βρείτε το αντίστροφο. Εξ ορισμού μερίδιο από έναν αριθμό μέσω άλλου ίδιου με αυτόν πολλαπλασιάστε τον πρώτο αριθμό με τον αντίστροφο του δεύτερου αριθμού. Τώρα που έχουμε αποκτήσει ένα στοιβαγμένο κλάσμα με ένα μόνο κλάσμα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν τη διαχωριστική ιδιότητα για να απλοποιήσουμε το στοιβαγμένο κλάσμα μας! Αρχικά, βρείτε το αντίστροφο του παρονομαστή του στοιβαγμένου κλάσματος. Κάντε αυτό "αναστρέφοντας" το κλάσμα - ο αριθμητής αντικαθιστά τον παρονομαστή και αντίστροφα.
   • Στο παράδειγμά μας, ο παρονομαστής του στοιβαγμένου κλάσματος (11/15) / (29/70) είναι το κλάσμα 29/70. Για να βρούμε το αντίστροφο, το αντιστρέφουμε και γινόμαστε το κλάσμα 70/29.
     • Λάβετε υπόψη ότι εάν το στοιβαγμένο κλάσμα έχει ακέραιο αριθμό στον παρονομαστή του, μπορείτε να το αντιμετωπίζετε ως κλάσμα και να το βρείτε ακόμα αντίστροφο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το στοιβαγμένο κλάσμα ήταν (11/15) / (29), τότε μπορούμε να ορίσουμε τον παρονομαστή ως 29/1, με το αντίστροφο 1/29.
3. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του στοιβαγμένου κλάσματος με τον αντίστροφο του παρονομαστή. Τώρα που έχετε πάρει το αντίστροφο του παρονομαστή του σωρού σας κλάσματος, πολλαπλασιάστε τον με τον αριθμητή για να πάρετε ένα απλό κλάσμα! Θυμηθείτε, για τον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων, δεν διασχίζουμε τον πολλαπλασιασμό - ο αριθμητής του νέου κλάσματος είναι το προϊόν του αριθμητή των δύο παλαιών και είναι ο ίδιος τρόπος με τον παρονομαστή.
   • Στο παράδειγμά μας, πολλαπλασιάζουμε 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 και 15 × 29 = 435. Το ίδιο και το νέο απλό κλάσμα μας 770/435.
4. Απλοποιήστε το νέο κλάσμα με την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Έχουμε τώρα ένα μόνο, απλό κλάσμα, οπότε το μόνο που μένει είναι να το θέσουμε με τους απλούστερους δυνατούς όρους. Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (gcd) του αριθμητή και του παρονομαστή και διαιρέστε και τους δύο με αυτόν τον αριθμό για να τον απλοποιήσετε.
   • Ένας κοινός διαιρέτης των 770 και 435 είναι 5. Έτσι, αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσμα μας με το 5, παίρνουμε 154/87. Οι αριθμοί 154 και 87 δεν έχουν κοινούς παρονομαστές, επομένως γνωρίζουμε ότι βρήκαμε την τελική απάντηση!

Μέθοδος 2 από 2: Απλοποιήστε τα στοιβαγμένα κλάσματα με μεταβλητούς όρους

1. Όταν είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο αντίστροφης πολλαπλασιασμού που περιγράφεται παραπάνω. Για να είμαστε σαφείς, σχεδόν κάθε στοιβαγμένο κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί μειώνοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε μερικά κλάσματα και πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή με το αντίστροφο του παρονομαστή. Τα στοιβαγμένα κλάσματα με μεταβλητές δεν αποτελούν εξαίρεση, αλλά όσο πιο περίπλοκες είναι οι μεταβλητές εκφράσεις στο στοιβαγμένο κλάσμα, τόσο πιο δύσκολο και χρονοβόρο είναι να γίνει αντίστροφος πολλαπλασιασμός. Για "απλά" στοιβαγμένα κλάσματα με μεταβλητές, ο πολλαπλασιασμός με το αντίστροφο είναι καλή επιλογή, αλλά τα στοιβαγμένα κλάσματα με πολλαπλούς μεταβλητούς όρους στον αριθμητή και τον παρονομαστή μπορεί να είναι πιο εύκολο να απλοποιηθούν με την εναλλακτική μέθοδο που περιγράφεται παρακάτω.
   • Για παράδειγμα: (1 / x) / (x / 6) είναι εύκολο να απλοποιηθεί με αντίστροφο πολλαπλασιασμό. 1 / x × 6 / x = "6 / x. Δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε μια εναλλακτική μέθοδο.
   • Ωστόσο, το κλάσμα (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) είναι πιο δύσκολο να απλοποιηθεί με αντίστροφο πολλαπλασιασμό. Η μείωση του αριθμητή και του παρονομαστή αυτού του στοιβαγμένου κλάσματος σε μερικά κλάσματα, ο αντίστροφος πολλαπλασιασμός και η μείωση του αποτελέσματος στους απλούστερους όρους είναι πιθανώς μια περίπλοκη διαδικασία. Σε αυτήν την περίπτωση, η εναλλακτική μέθοδος παρακάτω μπορεί να είναι απλούστερη.
2. Εάν ο αντίστροφος πολλαπλασιασμός δεν είναι πρακτικός, ξεκινήστε βρίσκοντας τον λιγότερο κοινό διαιρέτη των μερικών όρων στο στοιβαγμένο κλάσμα. Το πρώτο βήμα σε αυτήν την εναλλακτική μέθοδο απλοποίησης είναι να βρείτε το kgd όλων των κλασματικών όρων στο στοιβαγμένο κλάσμα - τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Εάν οποιοσδήποτε από τους όρους κλάσματος έχει μεταβλητές στους παρονομαστές τους, το kgd είναι απλώς το προϊόν των παρονομαστών τους.
   • Αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει κατανοητό με ένα παράδειγμα. Ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε το στοιβαγμένο κλάσμα που αναφέραμε παραπάνω, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Οι όροι κλάσματος σε αυτό το σύνθετο κλάσμα είναι (1) / (x + 3) και (1) / (x-5). Ο κοινός παρονομαστής αυτών των δύο κλασμάτων είναι το προϊόν των παρονομαστών τους: (x + 3) (x-5).
3. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του στοιβαγμένου κλάσματος με το kgd που μόλις βρέθηκε. Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους όρους στο στοιβαγμένο κλάσμα μας με το kgd των όρων του κλάσματος. Με άλλα λόγια, θα πολλαπλασιάσουμε ολόκληρο το στοιβαγμένο κλάσμα με (kgd) / (kgd). Μπορούμε να το κάνουμε αυτό μόνο επειδή (kgd) / (kgd) ισούται με 1. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή από μόνο του.
   • Στο παράδειγμά μας, πολλαπλασιάζουμε το στοιβαγμένο κλάσμα (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), με ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του στοιβαγμένου κλάσματος, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο επί (x + 3) (x-5).
     • Αρχικά, ας πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
       • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
       • = (x-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))
       • = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x-5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145
4. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του στοιβαγμένου κλάσματος με το kgd όπως κάνατε με τον αριθμητή. Πολλαπλασιάστε το στοιβαγμένο κλάσμα με το kgd που βρήκατε μεταβαίνοντας στον παρονομαστή. Πολλαπλασιάστε κάθε όρο με το kgd.
   • Ο παρονομαστής του στοιβαγμένου κλάσμα μας, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), είναι x +4 + (( 1) / (x-5)). Θα το πολλαπλασιάσουμε με το kgd που βρήκαμε, (x + 3) (x-5).
     • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
     • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57
5. Δημιουργήστε ένα νέο απλοποιημένο κλάσμα του αριθμητή και του παρονομαστή που μόλις βρήκατε. Αφού πολλαπλασιάσετε το κλάσμα σας με την έκφραση (kgd) / (kgd) και την απλοποιήσετε, ακυρώνοντας τους όρους, θα πρέπει να μείνετε με ένα απλό κλάσμα που δεν περιέχει κλασματικούς όρους. Όπως ίσως έχετε παρατηρήσει, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων ακυρώνουν ο ένας τον άλλον (πολλαπλασιάζοντας τα κλάσματα στο αρχικό στοιβαγμένο κλάσμα με το kgd), αφήνοντας μεταβλητούς όρους και ακέραιους αριθμητές και παρονομαστή της απάντησής σας, αλλά όχι κατάγματα.
   • Χρησιμοποιώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή που βρήκαμε παραπάνω, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κλάσμα που είναι ίσο με το αρχικό στοιβαγμένο κλάσμα μας, αλλά δεν περιέχει κανένα κλάσμα. Ο αριθμητής που λάβαμε ήταν x - 12x + 6x + 145 και ο παρονομαστής ήταν x + 2x - 22x - 57, οπότε το νέο κλάσμα είναι: (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

Συμβουλές

• Δείξτε κάθε βήμα της εργασίας σας. Τα κλάσματα μπορεί να προκαλέσουν σύγχυση εάν θέλετε να πάτε πολύ γρήγορα ή να προσπαθήσετε να τα απομνημονεύσετε.
• Αναζητήστε παραδείγματα στοιβαγμένων κλασμάτων στο διαδίκτυο ή στο βιβλίο σας. Ακολουθήστε κάθε βήμα μέχρι να το καταλάβετε.