Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής όπου το 2 είναι ο υψηλότερος εκθέτης αυτής της μεταβλητής. Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι επίλυσης των τετραγωνικών εξισώσεων: 1) συντελεστής της εξίσωσης σε παράγοντες εάν είναι δυνατόν, 2) χρήση του τετραγωνικού τύπου ή 3) ολοκλήρωση του τετραγώνου. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα για να μάθετε πώς να εξοικειωθείτε με αυτές τις τρεις μεθόδους.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Ανάλυση εξισώσεων σε παράγοντες

1. 

   Προσθέστε όλους τους ίδιους όρους και μετακινήστε τους στη μία πλευρά της εξίσωσης. Το πρώτο βήμα στην ανάλυση παραγόντων είναι να βάλουμε όλους τους όρους του στο πλάι έτσι ώστε να είναι θετικοί. Για να συνδυάσετε όρους, προσθέστε ή αφαιρέστε όλους τους όρους, τυχόν όρους που περιέχουν και σταθερές (οι όροι είναι ακέραιοι), μετατρέψτε τους στη μία πλευρά και μην αφήσετε τίποτα στην άλλη πλευρά. Στη συνέχεια, μπορείτε να γράψετε "0" στην άλλη πλευρά του ίσου σημείου. Δείτε πώς να το κάνετε:

2. 

   
   
   Αναλύστε την έκφραση στον παράγοντα. Για να συντελέσετε μια παράσταση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους παράγοντες του όρου που περιέχουν (3) και τους παράγοντες της σταθεράς (-4), για να τον πολλαπλασιάσετε και, στη συνέχεια, να τον προσθέσετε στον κεντρικό όρο (-11). . Δείτε πώς να το κάνετε:
   • Δεδομένου ότι υπάρχει μόνο ένα πιθανό σύνολο παραγόντων και, μπορείτε να το ξαναγράψετε σε παρενθέσεις ως εξής :.
   • Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τη μείωση για να συνδυάσετε τους παράγοντες του 4 για να βρείτε τον συνδυασμό που κάνει -11x όταν πολλαπλασιάζεται. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε 4 και 1 ή 2 και 2 επειδή και οι δύο έχουν ένα προϊόν 4. Απλώς θυμηθείτε ότι ένας παράγοντας πρέπει να είναι αρνητικός επειδή ο όρος μας είναι -4.
   • Με τη μέθοδο δοκιμής, θα ελέγξουμε τον συνδυασμό παραγόντων. Όταν εφαρμόζουμε πολλαπλασιασμό, λαμβάνουμε. Η προσθήκη των όρων και, έχουμε, είναι ο ακριβής μεσοπρόθεσμος όρος για τον οποίο στοχεύουμε. Επομένως, μόλις σπάσαμε την τετραγωνική εξίσωση στον παράγοντα.
   • Ως παράδειγμα αυτής της δοκιμής, ας εξετάσουμε έναν ελαττωματικό (λανθασμένο) συνδυασμό: =. Συνδυάζοντας αυτούς τους όρους, θα λάβουμε. Αν και είναι αλήθεια ότι τα -2 και 2 έχουν προϊόντα ίσα με -4, ο ενδιάμεσος όρος δεν είναι σωστός, γιατί το χρειαζόμαστε, όχι.

3. 

   
   
   Αφήστε κάθε έκφραση σε παρένθεση να είναι μηδέν ως μεμονωμένες εξισώσεις. Από εκεί, βρείτε δύο τιμές που κάνουν τη συνολική εξίσωση ίση με μηδέν = 0. Τώρα, μόλις λάβετε υπόψη την εξίσωση, απλά πρέπει να περικλείσετε την έκφραση σε παρένθεση με μηδέν. Γιατί; Αυτό συμβαίνει επειδή για μηδενικό προϊόν, έχουμε μια «αρχή, νόμο ή ιδιοκτησία» ότι ένας παράγοντας πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως, τουλάχιστον μία τιμή σε παρένθεση, πρέπει να είναι μηδέν. δηλαδή (3x + 1) ή (x - 4) πρέπει να είναι μηδέν. Έχουμε λοιπόν.

4. 

   
   
   Λύστε καθεμία από αυτές τις εξισώσεις "μηδέν" ανεξάρτητα. Η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο πιθανές λύσεις. Βρείτε κάθε πιθανή λύση για τη μεταβλητή x διαχωρίζοντας τη μεταβλητή και καταγράφοντας τις δύο λύσεις της ως τελικό αποτέλεσμα. Δείτε πώς:
   • Λύστε 3x + 1 = 0
     • Αφαιρέστε τις δύο πλευρές: 3x = -1 .....
     • Χωρίστε τις πλευρές: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Σύμπτυξη: x = -1/3 .....
   • Λύστε x - 4 = 0
     • Αφαιρέστε τις δύο πλευρές: x = 4 .....
   • Γράψτε τις δικές σας πιθανές λύσεις: x = (-1/3, 4) ....., δηλαδή, x = -1/3 ή x = 4 είναι και οι δύο σωστές.

5. 

   Έλεγχος x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Αντί για μια έκφραση, έχουμε (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Σύμπτυξη: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Εκτελέστε πολλαπλασιασμό, παίρνουμε (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Δεξιά, x = -1/3 είναι μια λύση εξίσωση.

6. 

   Έλεγχος x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Αντί για μια έκφραση, έχουμε (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Σύμπτυξη, παίρνουμε: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Εκτελέστε πολλαπλασιασμό: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Δεξιά, το x = 4 είναι μια λύση της εξίσωσης.
   • Έτσι και οι δύο αυτές πιθανές λύσεις έχουν "δοκιμαστεί" ξεχωριστά, και μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι και οι δύο λύνουν το πρόβλημα και είναι δύο ξεχωριστές αληθινές λύσεις.
   διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 3: Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο

1. 

   Προσθέστε όλους τους ίδιους όρους και μετακινήστε τους στη μία πλευρά της εξίσωσης. Μετατρέψτε όλους τους όρους σε μια πλευρά του ίσου σημείου έτσι ώστε ο όρος να περιέχει το θετικό σύμβολο. Ξαναγράψτε τους όρους με φθίνουσα σειρά, που σημαίνει ότι ο όρος έρχεται πρώτα, ακολουθείται από, και τέλος η σταθερά Δείτε πώς:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Γράψτε τον τετραγωνικό τύπο σας. Αυτό είναι:

3. 

   Προσδιορίστε τις τιμές των a, b και c στην τετραγωνική εξίσωση. Εξω ένα είναι ο συντελεστής x, σι είναι ο συντελεστής των x και ντο είναι μια σταθερά. Με την εξίσωση 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 και c = -8. Παρακαλώ γράψτε σε χαρτί.

4. 

   Συνδέστε τις τιμές των a, b και c στην εξίσωση. Τώρα που γνωρίζετε τις τιμές των τριών παραπάνω μεταβλητών, μπορείτε να τις βάλετε στην εξίσωση ως εξής:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Εκτελέστε υπολογισμούς. Αφού αντικαταστήσετε τους αριθμούς, εκτελέστε τον υπόλοιπο υπολογισμό για να μειώσετε τα θετικά ή αρνητικά σημάδια, πολλαπλασιάστε ή τετραγωνίστε τους υπόλοιπους όρους. Δείτε πώς:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Σύμπτυξη της τετραγωνικής ρίζας. Εάν κάτω από το ριζικό σύμβολο είναι ένα τέλειο τετράγωνο, θα πάρετε έναν ακέραιο. Εάν δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μειώστε το στην απλούστερη ριζική του μορφή. Αν είναι αρνητικό, και είστε βέβαιοι ότι θα πρέπει να είναι αρνητικό, η λύση θα είναι αρκετά περίπλοκη. Σε αυτό το παράδειγμα, √ (121) = 11. Θα μπορούσαμε να γράψουμε: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Λύστε για τις θετικές και αρνητικές λύσεις. Εάν έχετε αφαιρέσει την τετραγωνική ρίζα, μπορείτε να συνεχίσετε μέχρι να βρείτε τις θετικές και αρνητικές λύσεις του x. Τώρα που έχετε (5 +/- 11) / 6, μπορείτε να γράψετε δύο επιλογές:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Βρείτε τις θετικές και αρνητικές λύσεις. Απλά πρέπει να κάνουμε τον υπολογισμό:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Κατάρρευση. Για να συντομεύσετε τις απαντήσεις σας, απλώς πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και το μοντέλο από τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με το 2 και τον παρονομαστή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με το 6, και έχετε βρει το x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   διαφήμιση

Μέθοδος 3 από 3: Ολοκληρώστε το τετράγωνο

1. 

   Μετακινήστε όλους τους όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης. Σιγουρέψου ότι ένα ή το x έχει θετικό σημάδι. Δείτε πώς:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • Σε αυτήν την εξίσωση, ένα ίσο 2, σι ίσο με -12 και ντο ίσο με -9.

2. 

   Προχώρησε ντο ή σταθερά στην άλλη πλευρά. Οι σταθερές είναι αριθμητικοί όροι που δεν περιέχουν μεταβλητές. Ας το μεταφέρουμε στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με τους συντελεστές ένα ή ο συντελεστής x. Εάν x δεν έχει όρο μπροστά, τότε ο συντελεστής του είναι 1 και μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα. Στην περίπτωσή μας, θα πρέπει να διαιρέσετε όλους τους όρους στην εξίσωση με 2, ως εξής:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Μερίδιο σι με δύο, τετράγωνο και προσθέστε το αποτέλεσμα και στις δύο πλευρές. Σε αυτό το παράδειγμα, σι ισούται με -6. Κάνουμε τα εξής:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Σύμπτυξη δύο πλευρών. Για να υπολογίσουμε την αριστερή πλευρά, έχουμε (x-3) (x-3) ή (x-3). Προσθέστε τη δεξιά πλευρά για να λάβετε 9/2 + 9 ή 9/2 + 18/2 και λάβετε 2/27.

6. 

   Βρείτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών. Η τετραγωνική ρίζα του (x-3) είναι (x-3). Μπορείτε να εκφράσετε την τετραγωνική ρίζα του 27/2 ως ± √ (27/2). Έτσι, x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Σύμπτυξη του ριζικού σημείου και εύρεση x. Για να μειώσουμε το ± √ (27/2), βρίσκουμε ένα τετράγωνο εντός των 27, 2 ή έναν συντελεστή του. Το τέλειο τετράγωνο 9 είναι στα 27, επειδή 9x3 = 27. Για να αφαιρέσουμε το 9 από το ριζικό σύμβολο, το βγάζουμε και γράφουμε το 3, την τετραγωνική του ρίζα, επιπλέον του ριζικού σημείου. Δεν είναι δυνατή η έξοδος του υπόλοιπου συντελεστή 3 στον αριθμητή, οπότε παραμένει κάτω από το ριζικό σύμβολο. Ταυτόχρονα, αφήνουμε επίσης 2 στο δείγμα του κλάσματος. Στη συνέχεια, μετακινήστε τη σταθερά 3 στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης προς τα δεξιά και γράψτε τις δύο λύσεις:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   διαφήμιση

Συμβουλή

• Όπως φαίνεται, το ριζικό σημείο δεν εξαφανίζεται τελείως. Επομένως, οι όροι στον αριθμητή δεν μπορούν να είναι αθροιστικοί (επειδή δεν είναι όροι της ίδιας ιδιότητας). Επομένως, η διαίρεση συν ή πλην δεν έχει νόημα. Αντ 'αυτού, μπορούμε να διαιρέσουμε όλους τους κοινούς παράγοντες, αλλά ΜΟΛΙΣ όταν είναι σταθερή ΚΑΙ Οι συντελεστές οποιασδήποτε ρίζας περιέχουν επίσης αυτόν τον παράγοντα.
• Εάν το κάτω από το ριζικό σύμβολο δεν είναι τέλειο τετράγωνο, τα τελευταία βήματα μπορεί να ληφθούν ελαφρώς διαφορετικά. Οπως:
• Εάν το "b" είναι ένας ζυγός αριθμός, ο τύπος θα είναι: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.