Πώς να αναλύσετε συγκεκριμένους αριθμούς σε παράγοντες: 11 βήματα (με φωτογραφία) - Συμβουλές

Βίντεο: Algebra II: Quadratic Equations - Factoring (Level 9 of 10) | Trial and Error, Decomposition III

Περιεχόμενο

Βήματα
Συμβουλή
Προειδοποίηση
Ο, τι χρειάζεσαι

Παράγοντας ενός δεδομένου αριθμού είναι αριθμοί που, όταν πολλαπλασιάζονται μαζί, θα έχουν το προϊόν του δεδομένου αριθμού. Σκεφτείτε το με άλλο τρόπο, όλοι οι αριθμοί είναι προϊόν πολλών παραγόντων. Η εκμάθηση πώς να παραγοντοποιήσουμε - ή να διαιρέσουμε έναν αριθμό σε παράγοντες - είναι μια σημαντική μαθηματική ικανότητα που δεν εφαρμόζεται μόνο στη βασική αριθμητική αλλά και στην άλγεβρα, την ολοκλήρωση και πολλά άλλα. Δείτε το Βήμα 1 για να ξεκινήσετε να μαθαίνετε πώς να συντελέσετε έναν αριθμό!

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Αναλύστε έναν βασικό ακέραιο σε έναν παράγοντα

Γράψτε τον αριθμό σας. Για να ξεκινήσετε την ανάλυσή σας, χρειάζεστε έναν αριθμό - οποιονδήποτε αριθμό, αλλά για λόγους άρθρου ξεκινήστε με έναν απλό ακέραιο. Ακέραιος αριθμός είναι αριθμοί που δεν έχουν κλάσματα ή δεκαδικά (ολόκληροι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους θετικούς ακέραιους και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς).
- Επιλέξτε αριθμό 12. Γράψτε αυτόν τον αριθμό σε ένα μηδέν χαρτί.
Βρείτε δύο ακόμη αριθμούς των οποίων το προϊόν είναι ο αρχικός αριθμός που επιλέξατε. Οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να γράψει το προϊόν δύο άλλων ακέραιων αριθμών. Ακόμη και ένας πρωταρχικός αριθμός μπορεί να γράψει το προϊόν του 1 και το ίδιο. Η σκέψη ενός αριθμού ως προϊόν δύο παραγόντων μπορεί να σας κάνει να σκεφτείτε "προς τα πίσω" - πρέπει να αναρωτηθήκατε, "ποιος πολλαπλασιασμός οδηγεί σε αυτόν τον αριθμό;"
- Για παράδειγμα, το 12 έχει μερικούς παράγοντες όπως 12 × 1, 6 × 2 και 3 × 4 είναι όλοι ίσοι με το 12. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι οι συντελεστές του 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12. Χρησιμοποιήστε τους παράγοντες 6 και 2 για τους σκοπούς αυτού του άρθρου.
- Οι ομοιόμορφοι αριθμοί είναι ιδιαίτερα εύκολο να αναλυθούν, επειδή όλοι οι ζυγοί αριθμοί έχουν συντελεστή 2. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2 κ.λπ.
Προσδιορίστε εάν οι τρέχοντες παράγοντες μπορούν να αναλυθούν περαιτέρω. Πολλοί αριθμοί - ειδικά μεγάλοι αριθμοί - μπορούν να αναλυθούν περισσότερες από μία φορές. Μόλις βρείτε δύο παράγοντες ενός δεδομένου αριθμού, εάν ένας ίδιος παράγοντας έχει τους δικούς του παράγοντες, μπορείτε επίσης να αναλύσετε αυτός ο παράγοντας σε μικρότερους παράγοντες. Ανάλογα με την περίπτωση, η ανάλυση μπορεί ή όχι να είναι επωφελής.
- Στο παράδειγμά μας, ο αριθμός 12 έχει αποσυντεθεί σε 2 × 6. Παρατηρήστε ότι το 6 έχει επίσης δικό του παράγοντα - 3 × 2 = 6. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι 12 = 2 × (3 × 2).
Διακοπή ανάλυσης όταν όλοι οι παράγοντες είναι πρωταρχικοί. Τα πρωτεύοντα είναι αριθμοί που διαιρούνται μόνο από το 1 και από τους ίδιους. Για παράδειγμα, τα 2, 3, 5, 7, 11, 13 και 17 είναι πρωταρχικοί αριθμοί. Όταν έχετε αναλύσει ορισμένα προϊόντα πρωταρχικών παραγόντων, η περαιτέρω ανάλυση είναι περιττή. Αναλύστε περαιτέρω αυτούς τους παράγοντες απόδοσης από μόνος του και δεν έχει καμία επίδραση, ώστε να μπορείτε να σταματήσετε.
- Στο παράδειγμά μας, το 12 έχει αποσυντεθεί σε 2 × (2 × 3). Τα 2, 2 και 3 είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Αν το αναλύσουμε περαιτέρω, πρέπει να το αποσυνθέσουμε σε (2 × 1) × ((2 × 1) (3 × 1)), το οποίο συνήθως δεν έχει καθόλου αποτέλεσμα και αγνοείται.
Αναλύστε τους αρνητικούς αριθμούς με τον ίδιο τρόπο. Ο τρόπος ανάλυσης αρνητικών αριθμών είναι σχεδόν σύμφωνος με τον τρόπο ανάλυσης θετικών αριθμών. Η μόνη διαφορά είναι ότι το προϊόν των παραγόντων πρέπει να είναι αρνητικός αριθμός, οπότε ο αριθμός των παραγόντων που έχουν αρνητική τιμή πρέπει να είναι μονός αριθμός.
- Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε -60. Διά του οποίου:
  - -60 = -10 × 6
  - -60 = (-5 × 2) × 6
  - -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
  - -60 = -5 × 2 × 3 × 2. Σημειώστε ότι όσο ο αριθμός των αρνητικών παραγόντων είναι ένας μονός αριθμός, το προϊόν όλων των παραγόντων θα είναι αρνητικό, σαν να υπήρχε μόνο ένας αρνητικός παράγοντας. Για παράδειγμα, -5 × 2 × -3 × -2 επίσης ίσο με -60.
διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 2: Τρόπος αποσύνθεσης μεγάλων αριθμών σε παράγοντες

Γράψτε τον αριθμό σας πάνω από έναν πίνακα 2 στηλών. Η ανάλυση μικρών αριθμών σε παράγοντες είναι συνήθως αρκετά απλή, αλλά η ανάλυση μεγάλων αριθμών είναι πιο περίπλοκη. Οι περισσότεροι από εμάς θα δυσκολευτούν να αναλύσουν έναν 4 ή 5ψήφιο αριθμό σε πρωταρχικούς παράγοντες χωρίς να χρησιμοποιούν στυλό και χαρτί. Ευτυχώς, όταν σχεδιάζουμε, η διαδικασία γίνεται πολύ πιο εύκολη. Γράψτε τον αριθμό σας πάνω από το γράφημα Τ με δύο στήλες - θα το χρησιμοποιήσετε για να παρακολουθείτε τη λίστα των παραγόντων που αυξάνονται.
- Για παράδειγμα, ας επιλέξουμε έναν τετραψήφιο αριθμό για ανάλυση παραγόντων, δηλαδή 6.552.
Διαιρέστε τον αριθμό σας με τον μικρότερο δυνατό συντελεστή. Διαιρέστε τον αριθμό σας με τον μικρότερο (από 1) πρωταρχικό παράγοντα από τον οποίο ο αριθμός σας διαιρείται και δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Γράψτε τους πρωταρχικούς παράγοντες στην αριστερή στήλη και εισαγάγετε το πηλίκο της σειράς στη δεξιά στήλη.Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι ζυγοί αριθμοί είναι ευκολότεροι να αναλυθούν επειδή οι μικρότεροι πρωταρχικοί παράγοντες είναι πάντα 2. Από την άλλη πλευρά, οι περίεργοι αριθμοί θα έχουν διαφορετικό μικρότερο πρωταρχικό παράγοντα 2.
- Στο παράδειγμά μας, δεδομένου ότι το 6,552 είναι ένας ζυγός αριθμός, γνωρίζουμε ότι το 2 είναι ο μικρότερος πρωταρχικός παράγοντας αυτού του αριθμού. 6,552 ÷ 2 = 3,276. Στην αριστερή στήλη, γράφουμε 2, και 3.276 στη δεξιά στήλη.
Συνεχίστε την παραγοντοποίηση με αυτόν τον τρόπο. Στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμό στη δεξιά στήλη με τον μικρότερο πρωταρχικό παράγοντα, αντί να χρησιμοποιήσετε τους αριθμούς πάνω από τον πίνακα. Γράψτε τους επιλεγμένους πρωταρχικούς παράγοντες στην αριστερή στήλη και το νέο αποτέλεσμα διαίρεσης στη δεξιά στήλη. Συνεχίστε αυτήν τη διαδικασία - μετά από κάθε επανάληψη, οι αριθμοί στη δεξιά στήλη γίνονται όλο και μικρότεροι.
- Συνεχίστε να αναλύετε. 3.276 ÷ 2 = 1.638, οπότε θα γράψουμε έναν αριθμό 2 κάτω αριστερή στήλη και γράψτε 1.638 κάτω δεξιά στήλη. 1,638 ÷ 2 = 819, έτσι θα γράψουμε 2 και 819 στο κάτω μέρος των δύο στηλών όπως ακριβώς τώρα.
Αναλύστε τους περίεργους αριθμούς προσπαθώντας να τον διαιρέσετε με μικρούς πρωταρχικούς παράγοντες. Η εύρεση του μικρότερου πρωταρχικού συντελεστή των μονών αριθμών είναι πιο δύσκολη από τους ζυγούς αριθμούς, επειδή δεν έχουν αυτόματα 2 ως τους μικρότερους πρωταρχικούς παράγοντες. Όταν λάβετε έναν μονό αριθμό, δοκιμάστε να τον διαιρέσετε με μερικούς άλλους μικρούς αριθμούς 2 - 3, 5, 7, 11 και ούτω καθεξής έως ότου αυτός ο περίεργος αριθμός διαιρείται από τον πρώτο αριθμό και μηδέν. άφησε ένα υπόλοιπο. Αυτός είναι ο μικρότερος πρωταρχικός παράγοντας.
- Στο παράδειγμά μας, έχουμε 819. Το 819 είναι μονός αριθμός, οπότε το 2 δεν είναι συντελεστής του 819. Αντί να γράψουμε 2, θα δοκιμάσουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό: 3. 819 ÷ 3 = 273 και δεν υπάρχει υπόλοιπο, γι 'αυτό γράφουμε 3 και 273.
- Όταν μαντεύετε παράγοντες, πρέπει να δοκιμάσετε όλους τους πρωταρχικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι με την τετραγωνική ρίζα του μεγαλύτερου παράγοντα που έχετε βρει. Εάν ο αριθμός σας δεν είναι πλήρως διαιρετός από οποιονδήποτε παράγοντα, πιθανότατα προσπαθείτε να αποσυνθέσετε έναν πρωταρχικό αριθμό και η ανάλυση παραγόντων μπορεί να σταματήσει εκεί.
Συνεχίστε μέχρι το πηλίκο να είναι 1. Συνεχίστε να διαιρείτε τον αριθμό στη δεξιά στήλη με το μικρότερο άκρο έως ότου έχετε τον αριθμό στη δεξιά στήλη. Διαιρέστε αυτόν τον αριθμό από μόνο του - αυτό θα καταγράψει τον αριθμό στην αριστερή στήλη και το "1" στη δεξιά στήλη.
- Ας ολοκληρώσουμε την ανάλυσή μας. Δείτε λεπτομερή εξήγηση παρακάτω:
  - Επόμενο διαιρέστε με 3: 273 ÷ 3 = 91, δεν υπάρχει υπόλοιπο, γι 'αυτό γράφουμε 3 και 91.
  - Ας δοκιμάσουμε το 3: 3 δεν είναι συντελεστής 91, και ο μικρότερος πρώτος αριθμός που ακολουθεί (5) δεν είναι επίσης συντελεστής 91, αλλά 91 ÷ 7 = 13, δεν υπάρχει υπόλοιπο. γράφω 7 και 13.
  - Συνεχίστε να προσπαθείτε με 7: 7 που δεν είναι συντελεστής 13, 11 (ο πρώτος αριθμός ακολουθεί αμέσως), αλλά το 13 έχει έναν ίδιο παράγοντα: 13 ÷ 13 = 1. Έτσι, για να συμπληρώσετε τον πίνακα. ανάλυση, γράφουμε 13 και 1. Μπορούμε να σταματήσουμε να αναλύουμε εδώ.
Οι αριθμοί στην αριστερή στήλη είναι παράγοντες του αριθμού που επιλέξατε αρχικά. Όταν η δεξιά στήλη τελειώνει με τον αριθμό 1, τελειώνετε. Οι αριθμοί στην αριστερή στήλη είναι ακριβώς αυτό που ψάχνετε. Με άλλα λόγια, το προϊόν αυτών των αριθμών θα είναι το ίδιο με τον αριθμό που εμφανίζεται στον πίνακα. Εάν αυτοί οι παράγοντες επαναλαμβάνονται περισσότερες από μία φορές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σημειογραφία εκτόνωσης για να εξοικονομήσετε χώρο. Για παράδειγμα, εάν η ακολουθία παράγοντα έχει τέσσερα 2 δευτερόλεπτα, θα μπορούσατε να γράψετε 2 αντί για 2 × 2 × 2 × 2.
- Στο παράδειγμά μας, 6.552 = 2 × 3 × 7 × 13. Αυτό είναι το πλήρες αποτέλεσμα μετά την ανάλυση του 6,552 ως πρωταρχικού παράγοντα. Ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία πραγματοποιείται ο πολλαπλασιασμός, το τελικό προϊόν θα ισούται με 6,552.
διαφήμιση

Συμβουλή

Ένα σημαντικό σημείο είναι η έννοια των αριθμών στοιχείο: ένας αριθμός που έχει μόνο δύο παράγοντες του 1 και τον ίδιο. Το 3 είναι πρωταρχικό επειδή οι συντελεστές του είναι μόνο 1 και 3. Αντιθέτως, το 4 έχει έναν άλλο παράγοντα 2. Ο αριθμός που δεν είναι πρωταρχικός αριθμός καλείται συνδυασμός αριθμών. (Ο ίδιος ο αριθμός 1 δεν θεωρείται πρωταρχικός και επίσης δεν είναι σύνθετος - αυτό συμβαίνει.)
Τα μικρότερα prime είναι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 και 23.
Κατανοήστε ότι θεωρείται ένας αριθμός παράγοντας ενός άλλου μεγαλύτερου αριθμού εάν ο μεγαλύτερος αριθμός "διαιρείται από τον μικρότερο αριθμό" - δηλαδή, ο μεγαλύτερος αριθμός διαιρείται από τον μικρότερο αριθμό και δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 6 είναι συντελεστής 24, επειδή 24 ÷ 6 = 4 και δεν υπάρχει υπόλοιπο. Αντίθετα, το 6 δεν είναι παράγοντας 25.
Ορισμένοι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν γρηγορότερα, αλλά η παραπάνω προσέγγιση είναι πάντα αποτελεσματική, και επιπλέον, οι πρωταρχικοί παράγοντες παρατίθενται σε αύξουσα σειρά καθώς τελειώσατε.
Θυμηθείτε ότι αναφέρουμε μόνο "φυσικούς αριθμούς" - μερικές φορές αναφέρονται ως "μετρήσεις": 1, 2, 3, 4, 5 ... Δεν θα πάμε σε αρνητικούς αριθμούς ή κλάσματα, που μπορούν να αντιμετωπιστούν σε ξεχωριστά άρθρα.
Εάν το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού διαιρείται με τρία, τότε τρία είναι ένας παράγοντας του μερίσματος. (Το 819 έχει το άθροισμα των ψηφίων 8 + 1 + 9 = 18, 1 + 8 = 9. Το τρία είναι συντελεστής εννέα, οπότε είναι επίσης συντελεστής του 819.)

Προειδοποίηση

Μην κάνετε περιττή επιπλέον δουλειά. Μόλις καταργήσετε μια τιμή παράγοντα, δεν χρειάζεται να δοκιμάσετε ξανά. Μόλις είμαστε σίγουροι ότι το 2 δεν αποτελεί παράγοντα του 819, δεν χρειάζεται να προσπαθήσουμε ξανά με το 2 για την υπόλοιπη διαδικασία.