Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή

Όταν δύο γραμμές τέμνονται σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, συναντώνται μόνο σε ένα σημείο που αντιπροσωπεύεται από το ζεύγος συντεταγμένων x και y. Δεδομένου ότι και οι δύο γραμμές περνούν από αυτό το σημείο, τα ζεύγη συντεταγμένων x και y πρέπει να ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις. Με κάποιες πρόσθετες τεχνικές, μπορείτε να βρείτε τη διασταύρωση της παραβολής και άλλων τετραγωνικών καμπυλών κάνοντας το ίδιο επιχείρημα.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Βρείτε τη διασταύρωση δύο γραμμών

1. 

   Γράψτε την εξίσωση για κάθε γραμμή με το y στην αριστερή πλευρά. Εάν είναι απαραίτητο, μεταβείτε στην εξίσωση έτσι ώστε μόνο το y να βρίσκεται στη μία πλευρά του ίσου σημείου. Εάν η εξίσωση χρησιμοποιεί f (x) ή g (x) αντί για y, διαχωρίστε αυτόν τον όρο. Να θυμάστε ότι μπορείτε να ακυρώσετε τους όρους κάνοντας τα ίδια μαθηματικά και στις δύο πλευρές.
   • Εάν το πρόβλημα δεν δείχνει τις εξισώσεις, αναζητήστε τις από τις διαθέσιμες πληροφορίες.
   • Για παράδειγμα: Δύο γραμμές έχουν εξισώσεις και. Στη δεύτερη εξίσωση, για να έχει η αριστερή πλευρά μόνο y, προσθέστε 12 και στις δύο πλευρές:

2. 

   
   
   Κάντε τις σωστές πλευρές των δύο εξισώσεων. Ψάχνουμε για ένα σημείο όπου δύο γραμμές έχουν την ίδια συντεταγμένη x, y. Εδώ τέμνονται δύο γραμμές. Και οι δύο εξισώσεις έχουν μόνο y στην αριστερή πλευρά, οπότε η δεξιά τους πλευρά θα είναι η ίδια. Γράψτε μια νέα εξίσωση για να το δείξετε αυτό.
   • Για παράδειγμα: Γνωρίζουμε και επομένως.

3. 

   
   
   Λύστε για το x. Η νέα εξίσωση έχει μόνο μία μεταβλητή x. Η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας την αλγεβρική μέθοδο σημαίνει να κάνετε τα ίδια μαθηματικά και στις δύο πλευρές. Μετατρέψτε όλους τους όρους με x σε μια πλευρά της εξίσωσης και μετά μετατρέψτε σε x = __. (Εάν δεν μπορείτε, μετακινηθείτε προς τα κάτω στο τέλος αυτής της ενότητας).
   • Για παράδειγμα:
   • Προσθήκη σε δύο πλευρές:
   • Αφαιρέστε το 3 από τις δύο πλευρές:
   • Χωρίστε τις δύο πλευρές με 3:
   • .

4. 

   
   
   Χρησιμοποιήστε την τιμή x για να βρείτε y. Επιλέξτε την εξίσωση μιας από τις δύο γραμμές. Συνδέστε την τιμή του x που βρέθηκε σε αυτήν την εξίσωση. Λύστε για y με αριθμητική μέθοδο.
   • Για παράδειγμα: και

5. 

   Ελέγξτε το αποτέλεσμα. Πρέπει να αντικαταστήσετε την τιμή x στην άλλη εξίσωση για να δείτε εάν έχετε το ίδιο αποτέλεσμα. Εάν έχετε διαφορετική τιμή y, τότε πρέπει να ελέγξετε την εργασία σας.
   • Για παράδειγμα: και
   • Έτσι έχουμε την ίδια τιμή του y. Η λύση δεν έχει σφάλματα.

6. 

   Γράψτε ένα ζευγάρι συντεταγμένων x, y της τομής. Βρήκατε τώρα ένα ζεύγος συντεταγμένων x και y όπου τέμνονται δύο γραμμές. Γράψτε αυτό το σημείο σε ζεύγη συντεταγμένων, με την τιμή x να προηγείται.
   • Για παράδειγμα: και
   • Οι δύο γραμμές τέμνονται στο (3,6).

7. 

   Χειρισμός ασυνήθιστων περιπτώσεων. Ορισμένες εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν για να βρείτε το x. Αυτό δεν είναι απαραίτητα το λάθος σας. Οι εξισώσεις των ζευγών γραμμών μπορούν να έχουν μια ασυνήθιστη λύση στις ακόλουθες δύο περιπτώσεις:
   • Εάν οι δύο γραμμές είναι παράλληλες, δεν τέμνονται. Οι όροι x θα καταργηθούν και η εξίσωση θα απλοποιηθεί σε μια ψευδή δήλωση (για παράδειγμα). Γράψτε την απάντηση ως "οι δύο γραμμές δεν τέμνονται"ή"δεν υπάρχει πραγματική λύση’.
   • Εάν δύο εξισώσεις αντιπροσωπεύουν την ίδια γραμμή, "τέμνονται" σε όλα τα σημεία. Οι όροι x θα εξαλειφθούν και η εξίσωση θα απλοποιηθεί σε μια πραγματική (για παράδειγμα) δήλωση. Γράψτε την απάντηση ως "οι δύο γραμμές αλληλεπικαλύπτονται’.
   διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 2: Μαθηματικά προβλήματα με τετραγωνικές εξισώσεις

1. 

   Αναγνώριση τετραγωνικών εξισώσεων. Σε μια τετραγωνική εξίσωση, μία ή περισσότερες μεταβλητές θα έχουν ισχύ (ή) και καμία μεταβλητή δεν έχει υψηλότερες δυνάμεις. Οι γραφικές παραστάσεις αυτών των εξισώσεων είναι καμπύλες, ώστε να μπορούν να κόψουν τη γραμμή σε 0, 1 ή 2 σημεία. Αυτή η ενότητα σας καθοδηγεί στην εύρεση αυτών των διασταυρώσεων στο πρόβλημα.
   • Επέκταση εξισώσεων από παρενθέσεις για να ελέγξετε εάν είναι τετραγωνικές. Για παράδειγμα, υπάρχει μια τετραγωνική φόρμα επειδή επεκτείνεται σε
   • Έχουν εξισώσεις κύκλων και ελλείψεων και τα δυο όρος και. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτές τις ειδικές περιπτώσεις, ανατρέξτε στις παρακάτω συμβουλές.

2. 

   Γράψτε εξισώσεις σύμφωνα με το y. Εάν είναι απαραίτητο, αλλάξτε κάθε εξίσωση έτσι ώστε μόνο το y να βρίσκεται στη μία πλευρά του ίσου σημείου.
   • Για παράδειγμα: Βρείτε τη διασταύρωση και.
   • Ξαναγράψτε την τετραγωνική εξίσωση y:
   • και.
   • Αυτό το παράδειγμα έχει μια τετραγωνική εξίσωση και μια γραμμική εξίσωση. Τα προβλήματα με δύο τετραγωνικές εξισώσεις επιλύονται επίσης.

3. 

   Συνδυάστε δύο εξισώσεις για να ακυρώσετε το y. Αφού μετατρέψετε δύο εξισώσεις σε y, οι πλευρές χωρίς y θα είναι ίσες.
   • Για παράδειγμα: και

4. 

   Μεταμορφώστε τη νέα εξίσωση έτσι ώστε η μία πλευρά να είναι μηδέν. Χρησιμοποιήστε την αλγεβρική μέθοδο για να μετατρέψετε όλους τους όρους σε μία πλευρά. Άρα το πρόβλημα είναι έτοιμο να λυθεί στο επόμενο βήμα.
   • Για παράδειγμα:
   • Αφαιρέστε το x από τις δύο πλευρές:
   • Αφαιρέστε 7 από δύο πλευρές:

5. 

   Λύστε τετραγωνικές εξισώσεις. Αφού μεταβείτε στην εξίσωση μηδέν, έχετε τρεις λύσεις και εξαρτάται από εσάς ποια θα επιλέξετε. Μπορείτε να μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε τον τετραγωνικό τύπο ή τη μέθοδο "τετράγωνο συμπλήρωμα" ή να δείτε τα ακόλουθα παραδείγματα παραγοντοποίησης:
   • Για παράδειγμα:
   • Ο σκοπός της παραγοντοποίησης είναι να βρεθούν δύο παράγοντες που, όταν πολλαπλασιαστούν, δημιουργούν μια εξίσωση. Ξεκινώντας με τον πρώτο όρο, γνωρίζουμε ότι μπορεί να αποσυντεθεί σε x και x. Γράψτε ως (x) (x) = 0.
   • Ο τελευταίος όρος είναι -6. Καταγράψτε κάθε ζεύγος παραγόντων που θα ήταν -6: ,,, και όταν πολλαπλασιαστούν.
   • Ο όρος στη μέση είναι x (μπορεί να γραφτεί ως 1x). Προσθέστε κάθε παράγοντα μαζί μέχρι να λάβετε αποτέλεσμα 1. Το ζεύγος παραγόντων είναι σωστό, διότι.
   • Εισαγάγετε αυτό το ζεύγος παραγόντων στα κενά στην απάντησή σας :.

6. 

   Σημειώστε ότι έχουμε δύο λύσεις x. Εάν το λύσετε πολύ γρήγορα, μπορεί να βρείτε μόνο μία λύση και να μην συνειδητοποιήσετε ότι υπάρχει μια δεύτερη λύση. Δείτε πώς μπορείτε να βρείτε δύο λύσεις x για τις γραμμές που τέμνουν δύο σημεία:
   • Για παράδειγμα (ανάλυση παράγοντα): Τέλος έχουμε την εξίσωση. Εάν οποιοσδήποτε παράγοντας είναι 0, τότε η εξίσωση ικανοποιείται. Μια λύση είναι →. Η άλλη λύση είναι →.
   • Για παράδειγμα (τύπος τετραγωνικής ρίζας ή τετράγωνο συμπλήρωμα): Εάν χρησιμοποιείτε έναν από αυτούς τους τρόπους για να επιλύσετε την εξίσωση, θα εμφανιστεί το σύμβολο τετραγωνικής ρίζας. Για παράδειγμα, η εξίσωση γίνεται. Να θυμάστε ότι ο αριθμός τετραγωνικής ρίζας μπορεί απλά να μετατραπεί σε δύο διαφορετικές λύσεις: και . Γράψτε δύο εξισώσεις για κάθε περίπτωση και λύστε για το αντίστοιχο x.

7. 

   Λύστε προβλήματα με μία ή καθόλου λύση. Δύο γραμμές που συναντώνται κάθε φορά έχουν μόνο μία διασταύρωση και δύο γραμμές που δεν αγγίζουν ποτέ δεν θα έχουν διασταύρωση. Δείτε πώς μπορείτε να πείτε:
   • Μία λύση: Το πρόβλημα μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο πανομοιότυπους παράγοντες ((x-1) (x-1) = 0). Κατά την αντικατάσταση του τετραγωνικού τύπου, ο όρος έχει τη ρίζα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να λύσετε μια εξίσωση.
   • Καμία πραγματική λύση: Κανένας παράγοντας δεν μπορεί να ικανοποιήσει την απαίτηση (άθροισμα με τον όρο στη μέση). Κατά την αντικατάσταση του τετραγωνικού τύπου, έχετε έναν αρνητικό αριθμό κάτω από την τετραγωνική ρίζα (για παράδειγμα). Γράψτε την απάντηση ως "καμία λύση".

8. 

   Αντικαταστήστε τις τιμές x στην αρχική εξίσωση. Αφού έχετε την τιμή x του σημείου τομής, αντικαταστήστε το με μία από τις αρχικές εξισώσεις. Λύστε για να βρείτε την τιμή του y. Εάν έχετε δύο τιμές x, επιλύστε δύο τιμές y.
   • Για παράδειγμα: Βρίσκουμε δύο λύσεις, και. Ούτως ή άλλως έχει την εξίσωση. Αντικαταστήστε και, στη συνέχεια, λύστε κάθε εξίσωση για να βρείτε και.

9. 

   Γράψτε συντεταγμένες σημείου. Τώρα γράψτε τις απαντήσεις σας ως συντεταγμένες σύμφωνα με τις τιμές x και y της τομής. Εάν έχετε δύο απαντήσεις, θυμηθείτε να γράψετε τις τιμές x και y σε ζεύγη.
   • Για παράδειγμα: Αν αντίθετα έχουμε, έτσι η τομή έχει συντεταγμένες (2, 9). Κάντε το ίδιο για τη δεύτερη λύση που θα δώσει τις συντεταγμένες της άλλης διασταύρωσης (-3, 4).
   διαφήμιση

Συμβουλή

• Οι εξισώσεις κύκλων και ελλείψεων έχουν έναν όρο και κάποια τάξη. Για να βρείτε τη διασταύρωση του κύκλου και της γραμμής, λύστε το x σε μια γραμμική εξίσωση. Αντικαταστήστε τη λύση με x στην εξίσωση κύκλου και θα έχετε ένα τετραγωνικό που είναι πιο εύκολο να επιλυθεί. Αυτά τα προβλήματα μπορούν να έχουν 0, 1 ή 2 λύσεις, όπως περιγράφεται στην παραπάνω μέθοδο.
• Ένας κύκλος και μια παραβολή (ή άλλα τετραγωνικά) μπορούν να έχουν 0, 1, 2, 3 ή 4 λύσεις. Βρείτε τη μεταβλητή με τη δύναμη του 2 και στις δύο εξισώσεις - ας πούμε x. Λύστε και αντικαταστήστε τη λύση σας στην άλλη εξίσωση. Λύστε για να λάβετε 0, 1 ή 2 λύσεις. Αντικαταστήστε κάθε λύση πίσω στην αρχική τετραγωνική εξίσωση για να λύσετε το x. Κάθε μία από αυτές τις εξισώσεις μπορεί να έχει 0, 1 ή 2 λύσεις.