Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή

Σε αντίθεση με μια ευθεία γραμμή, ο συντελεστής κλίσης (κλίση) αλλάζει συνεχώς καθώς κινείται κατά μήκος της καμπύλης. Ο Λογισμός δίνει την ιδέα ότι κάθε σημείο στο γράφημα μπορεί να εκφραστεί ως συντελεστής γωνίας ή "στιγμιαίος ρυθμός αλλαγής". Η εφαπτόμενη γραμμή σε ένα σημείο είναι μια γραμμή που έχει τον ίδιο γωνιακό συντελεστή και διέρχεται από το ίδιο σημείο. Για να βρείτε μια εξίσωση εφαπτομένης γραμμής, πρέπει να ξέρετε πώς να αντλήσετε την αρχική εξίσωση.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Βρείτε την εξίσωση για την εφαπτομένη γραμμή

1. 

   Λειτουργίες γραφήματος και εφαπτόμενες γραμμές (αυτό το βήμα είναι προαιρετικό, αλλά συνιστάται). Το γράφημα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πιο εύκολα το πρόβλημα και να ελέγξετε αν η απάντηση είναι λογική ή όχι. Σχεδιάστε γραφήματα συναρτήσεων σε χαρτί πλέγματος, χρησιμοποιήστε την επιστημονική αριθμομηχανή με λειτουργία γραφήματος για αναφορά, εάν χρειάζεται. Σχεδιάστε μια εφαπτομενική γραμμή μέσα από ένα δεδομένο σημείο (Να θυμάστε ότι η εφαπτόμενη γραμμή διέρχεται από αυτό το σημείο και έχει την ίδια κλίση με το γράφημα εκεί).
   • Παράδειγμα 1: Σχεδιάζοντας μια παραβολή. Σχεδιάστε μια εφαπτομένη γραμμή μέσω του σημείου (-6, -1).
     Ακόμα κι αν δεν γνωρίζετε την εφαπτομένη εξίσωση, μπορείτε ακόμα να δείτε ότι η κλίση της είναι αρνητική και η τεταγμένη είναι αρνητική (πολύ κάτω από την παραβολική κορυφή με την τεταγμένη του -5.5). Εάν η τελική απάντηση που βρέθηκε δεν ταιριάζει με αυτές τις λεπτομέρειες, πρέπει να υπάρχει σφάλμα στον υπολογισμό σας και πρέπει να ελέγξετε ξανά.

2. 

   
   
   Αποκτήστε το πρώτο παράγωγο για να βρείτε την εξίσωση κλίση της εφαπτομένης γραμμής. Με τη συνάρτηση f (x), το πρώτο παράγωγο f '(x) αντιπροσωπεύει την εξίσωση για την κλίση της εφαπτομένης γραμμής σε οποιοδήποτε σημείο στο f (x). Υπάρχουν πολλοί τρόποι λήψης παραγώγων. Εδώ είναι ένα απλό παράδειγμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα ισχύος:
   • Παράδειγμα 1 (συνέχεια): Το γράφημα δίνεται από μια συνάρτηση.
     Υπενθύμιση του κανόνα ισχύος κατά τη λήψη παραγώγου:.
     Το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης = f '(x) = (2) (0,5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. Αντικαταστήστε το x με οποιαδήποτε τιμή a, η εξίσωση θα μας δώσει την κλίση της συνάρτησης εφαπτομένης γραμμής f (x) στο σημείο x = a.

3. 

   
   
   Εισαγάγετε την τιμή x του υπό εξέταση σημείου. Διαβάστε το πρόβλημα για να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου για να βρείτε την εφαπτομένη. Εισαγάγετε τη συντεταγμένη αυτού του σημείου στο f '(x). Το ληφθέν αποτέλεσμα είναι η κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο παραπάνω σημείο.
   • Παράδειγμα 1 (συνέχεια): Το σημείο που αναφέρεται στο άρθρο είναι (-6, -1). Χρησιμοποιώντας διαγώνια -6 τάση στο f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     Η κλίση της εφαπτομένης είναι -3.

4. 

   
   
   Γράψτε μια εξίσωση για μια εφαπτομένη γραμμή με τη μορφή μιας ευθείας γραμμής γνωρίζοντας τον συντελεστή της γωνίας και ενός σημείου σε αυτήν. Αυτή η γραμμική εξίσωση γράφεται ως. Μέσα, Μ είναι η κλίση και είναι ένα σημείο στην εφαπτομένη. Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να γράψετε μια εφαπτομένη εξίσωση σε αυτήν τη φόρμα.
   • Παράδειγμα 1 (συνέχεια):
     Η κλίση της εφαπτομένης είναι -3, έτσι:
     Η εφαπτόμενη γραμμή διέρχεται από το σημείο (-6, -1), οπότε η τελική εξίσωση είναι:
     Εν ολίγοις, μπορούμε:
     

5. 

   Γραφική επιβεβαίωση. Εάν έχετε αριθμομηχανή γραφημάτων, σχεδιάστε την αρχική συνάρτηση και τη γραμμή εφαπτομένης για να ελέγξετε αν η απάντηση είναι σωστή. Εάν κάνετε υπολογισμούς σε χαρτί, χρησιμοποιήστε γραφήματα που σχεδιάστηκαν νωρίτερα για να βεβαιωθείτε ότι δεν υπάρχουν εμφανή σφάλματα στην απάντησή σας.
   • Παράδειγμα 1 (συνέχεια): Το αρχικό σχέδιο δείχνει ότι η εφαπτομένη έχει αρνητικούς συντελεστές γωνίας και η μετατόπιση είναι πολύ κάτω από -5,5. Η εφαπτομένη εξίσωση που μόλις βρέθηκε είναι y = -3x -19, που σημαίνει ότι -3 είναι η κλίση της γωνίας και -19 είναι η τεταγμένη.

6. 

   Δοκιμάστε να λύσετε ένα πιο δύσκολο πρόβλημα. Περνάμε πάλι όλα τα παραπάνω βήματα.Σε αυτό το σημείο, ο στόχος είναι να βρεθεί η εφαπτομένη γραμμή στο x = 2:
   • Βρείτε το πρώτο παράγωγο χρησιμοποιώντας τον κανόνα ισχύος :. Αυτή η συνάρτηση θα μας δώσει την κλίση της εφαπτομένης.
   • Για x = 2, βρείτε. Αυτή είναι η κλίση στο x = 2.
   • Σημειώστε ότι αυτή τη φορά, δεν έχουμε σημείο και μόνο η συντεταγμένη x. Για να βρείτε τη συντεταγμένη y, αντικαταστήστε το x = 2 στην αρχική συνάρτηση :. Το σκορ είναι (2.27).
   • Γράψτε μια εξίσωση για μια εφαπτομένη γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο και καθορίζοντας τον συντελεστή της γωνίας:
     
     Εάν είναι απαραίτητο, μειώστε σε y = 25x - 23.
   διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 2: Επίλυση σχετικών προβλημάτων

1. 

   Βρείτε το άκρο στο γράφημα. Είναι τα σημεία στα οποία το γράφημα πλησιάζει ένα τοπικό μέγιστο (ένα σημείο υψηλότερο από τα γειτονικά σημεία και στις δύο πλευρές) ή ένα τοπικό ελάχιστο (χαμηλότερο από τα γειτονικά σημεία και στις δύο πλευρές). Η εφαπτόμενη γραμμή έχει πάντα μηδενικό συντελεστή σε αυτά τα σημεία (οριζόντια γραμμή). Ωστόσο, ο συντελεστής της γωνίας δεν αρκεί για να συμπεράνουμε ότι είναι το ακραίο σημείο. Δείτε πώς μπορείτε να τα βρείτε:
   • Πάρτε το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης για να πάρετε f '(x), την κλίση της κλίσης της εφαπτομένης γραμμής.
   • Λύστε την εξίσωση f '(x) = 0 για να βρείτε το ακραίο σημείο δυνητικός.
   • Λαμβάνοντας το τετραγωνικό παράγωγο για να πάρουμε f '(x), η εξίσωση μας λέει το ρυθμό αλλαγής της κλίσης της εφαπτομένης γραμμής.
   • Σε κάθε πιθανό άκρο, αλλάξτε τη συντεταγμένη ένα σε f '' (x). Εάν το f '(a) είναι θετικό, έχουμε ένα τοπικό ελάχιστο ένα. Εάν το f '(a) είναι αρνητικό, έχουμε ένα τοπικό μέγιστο σημείο. Εάν το f '(a) είναι 0, δεν θα είναι το ακραίο, είναι ένα σημείο καμπής.
   • Εάν το μέγιστο ή το ελάχιστο επιτευχθεί στις ένα, βρείτε f (a) για να προσδιορίσετε τη διασταύρωση.

2. 

   Βρείτε τις εξισώσεις του κανονικού. Η «κανονική» γραμμή μιας καμπύλης σε ένα δεδομένο σημείο διέρχεται από αυτό το σημείο και είναι κάθετη προς την εφαπτομένη. Για να βρείτε την εξίσωση για το κανονικό, χρησιμοποιήστε τα εξής: (κλίση του κανονικού) (κλίση του κανονικού) = -1 όταν περνούν το ίδιο σημείο στο γράφημα. ΕΙΔΙΚΑ:
   • Βρείτε f '(x), την κλίση της εφαπτομένης γραμμής.
   • Εάν σε ένα δεδομένο σημείο, έχουμε x = ένα: βρείτε f '(a) για να προσδιορίσετε την κλίση σε αυτό το σημείο.
   • Υπολογίστε για να βρείτε τον συντελεστή του κανονικού.
   • Γράψτε την εξίσωση για την κάθετη γνώση των συντελεστών της γωνίας και ενός σημείου που περνά.
   διαφήμιση

Συμβουλή

• Εάν είναι απαραίτητο, ξαναγράψτε την αρχική εξίσωση σε τυπική μορφή: f (x) = ... ή y = ...