Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 3: Κατανοήστε τη δήλωση προβλήματος
• Μέθοδος 2 από 3: Διατυπώστε την απόδειξη
• Μέθοδος 3 από 3: Γράψτε τα στοιχεία
• Συμβουλές

Η εύρεση μιας μαθηματικής απόδειξης μπορεί να είναι μια αποθαρρυντική εργασία, αλλά η γνώση των μαθηματικών και η συγγραφή της απόδειξης θα σας βοηθήσουν. Δυστυχώς, δεν υπάρχουν γρήγορες και εύκολες μέθοδοι για να μάθετε πώς να λύνετε μαθηματικά προβλήματα. Είναι απαραίτητο να μελετήσετε σωστά το θέμα και να θυμηθείτε τα βασικά θεωρήματα και ορισμούς που θα σας φανούν χρήσιμοι όταν αποδεικνύετε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό αξίωμα. Μελετήστε παραδείγματα μαθηματικών αποδείξεων και εξασκηθείτε στον εαυτό σας για να σας βοηθήσει να βελτιώσετε τις ικανότητές σας.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Κατανοήστε τη δήλωση προβλήματος

1. 1 Καθορίστε τι θέλετε να βρείτε. Το πρώτο βήμα είναι να καταλάβουμε τι ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί. Μεταξύ άλλων, αυτό θα καθορίσει την τελευταία δήλωση στην απόδειξή σας. Σε αυτό το στάδιο, θα πρέπει επίσης να κάνετε ορισμένες υποθέσεις εντός των οποίων θα εργαστείτε. Για να κατανοήσετε καλύτερα το πρόβλημα και να ξεκινήσετε την επίλυσή του, μάθετε τι χρειάζεστε για να αποδείξετε και κάντε τις απαραίτητες υποθέσεις.
2. 2 Σχεδιάστε ένα σχέδιο. Κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, μερικές φορές είναι χρήσιμο να τα απεικονίζουμε με τη μορφή εικόνας ή διαγράμματος. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στην περίπτωση γεωμετρικών προβλημάτων - το σχέδιο βοηθά στην απεικόνιση της κατάστασης και διευκολύνει σημαντικά την αναζήτηση λύσης.
   • Κατά τη δημιουργία μιας εικόνας ή διαγράμματος, χρησιμοποιήστε τα δεδομένα που παρέχονται στην κατάσταση. Σημειώστε τις γνωστές και άγνωστες ποσότητες στο σχήμα.
   • Το σχέδιο θα σας διευκολύνει να βρείτε τα αποδεικτικά στοιχεία.
3. 3 Μελέτη αποδείξεων παρόμοιων θεωρημάτων. Εάν δεν μπορείτε να βρείτε μια λύση αμέσως, βρείτε παρόμοια θεωρήματα και δείτε πώς αποδεικνύονται.
   • Σημειώστε ότι πρέπει να αιτιολογήσετε για κάθε βήμα της απόδειξης. Δείτε πώς αποδεικνύονται διάφορα θεωρήματα στο Διαδίκτυο ή στα εγχειρίδια μαθηματικών.
4. 4 Κανε ερωτησεις. Δεν πειράζει αν δεν καταφέρετε να βρείτε αποδείξεις αμέσως.Εάν δεν είστε σαφείς για κάτι, ρωτήστε το δάσκαλο ή τους συμμαθητές σας για αυτό. Perhapsσως οι σύντροφοί σας έχουν τις ίδιες ερωτήσεις και μπορείτε να τις λύσετε μαζί. Είναι καλύτερα να κάνετε μερικές ερωτήσεις παρά να προσπαθήσετε και να βρείτε ανεπιτυχώς αποδείξεις ξανά και ξανά.
   • Πηγαίνετε στο δάσκαλο μετά τα μαθήματα και μάθετε τυχόν ασαφείς ερωτήσεις.

Μέθοδος 2 από 3: Διατυπώστε την απόδειξη

1. 1 Διατυπώστε μια μαθηματική απόδειξη. Μια μαθηματική απόδειξη είναι μια ακολουθία δηλώσεων που υποστηρίζονται από θεωρήματα και ορισμούς που αποδεικνύει ένα μαθηματικό αξίωμα. Οι αποδείξεις είναι ο μόνος τρόπος για να προσδιοριστεί εάν μια πρόταση είναι μαθηματικά σωστή.
   • Η ικανότητα καταγραφής μαθηματικών αποδείξεων μαρτυρεί τη βαθιά κατανόηση του προβλήματος και την κατοχή των απαραίτητων εργαλείων (λέματα, θεωρήματα και ορισμοί).
   • Η αυστηρή απόδειξη μπορεί να σας βοηθήσει να ρίξετε μια νέα ματιά στα μαθηματικά και να νιώσετε τη γοητεία τους. Προσπαθήστε να αποδείξετε μια δήλωση για να πάρετε μια ιδέα για μαθηματικές μεθόδους.
2. 2 Εξετάστε το κοινό σας. Πριν ξεκινήσετε να καταγράφετε αποδεικτικά στοιχεία, θα πρέπει να σκεφτείτε για ποιον πρόκειται και να λάβετε υπόψη το επίπεδο γνώσεων αυτών των ανθρώπων. Εάν καταγράψετε στοιχεία για περαιτέρω δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό, θα είναι διαφορετικό από όταν κάνετε σχολική εργασία.
   • Η γνώση του κοινού -στόχου σας θα σας επιτρέψει να καταγράψετε τα στοιχεία ενώ εκπαιδεύετε τους αναγνώστες σας να τα κατανοήσουν.
3. 3 Καθορίστε τον τύπο της απόδειξης. Υπάρχουν διάφοροι τύποι μαθηματικών αποδείξεων και η επιλογή μιας συγκεκριμένης μορφής εξαρτάται από το κοινό -στόχο και το πρόβλημα που λύνεται. Εάν δεν είστε σίγουροι ποιο είδος να επιλέξετε, επικοινωνήστε με τον δάσκαλό σας. Στο λύκειο, απαιτείται απόδειξη δύο στηλών.
   • Όταν γράφετε αποδεικτικά στοιχεία σε δύο στήλες, η μία καταγράφει τα αρχικά δεδομένα και δηλώσεις και η δεύτερη - τα αντίστοιχα στοιχεία αυτών των δηλώσεων. Αυτή η μορφή σημειογραφίας χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.
   • Σε λιγότερο επίσημο τρόπο γραφής στοιχείων, χρησιμοποιούνται γραμματικά σωστές κατασκευές και λιγότερα σύμβολα. Σε υψηλότερα επίπεδα, αυτός είναι ο συμβολισμός που πρέπει να χρησιμοποιηθεί.
4. 4 Σχεδιάστε την απόδειξη σε δύο στήλες. Αυτή η φόρμα βοηθά στην οργάνωση των σκέψεων και στην επίλυση με συνέπεια του προβλήματος. Χωρίστε τη σελίδα στο μισό με μια κάθετη γραμμή και γράψτε τα αρχικά σας δεδομένα και τις δηλώσεις που ακολουθούν από αυτήν στην αριστερή πλευρά. Γράψτε τους αντίστοιχους ορισμούς και θεωρήματα στη δεξιά πλευρά κάθε πρότασης.
   • Για παράδειγμα:
   • οι γωνίες Α και Β είναι παρακείμενες - δεδομένες.
   • η γωνία ABC είναι πεπλατυσμένη - ορίζει μια επίπεδη γωνία.
   • η γωνία ABC είναι 180 ° - καθορίζει μια ευθεία.
   • γωνία A + γωνία B = γωνία ABC - ο κανόνας για την προσθήκη γωνιών.
   • γωνία Α + γωνία Β = 180 ° - αντικατάσταση.
   • η γωνία Α είναι συμπληρωματική της γωνίας Β - ορισμός πρόσθετων γωνιών.
   • Q.E.D.
5. 5 Γράψτε την απόδειξη δύο στηλών ως άτυπη απόδειξη. Χρησιμοποιήστε μια καταχώριση δύο στηλών ως βάση και γράψτε την απόδειξη σε συντομότερη μορφή με λιγότερα σύμβολα και συντομογραφίες.
   • Για παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι οι γωνίες Α και Β είναι παρακείμενες. Σύμφωνα με την υπόθεση, αυτές οι γωνίες αλληλοσυμπληρώνονται. Όταν γειτνιάζουν, η γωνία Α και η γωνία Β σχηματίζουν μια ευθεία. Εάν οι πλευρές της γωνίας σχηματίζουν ευθεία, η γωνία είναι 180 °. Προσθέστε τις γωνίες Α και Β για να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή ABC. Έτσι, το άθροισμα των γωνιών Α και Β είναι 180 °, δηλαδή αυτές οι γωνίες είναι συμπληρωματικές. Q.E.D.

Μέθοδος 3 από 3: Γράψτε τα στοιχεία

1. 1 Μάθετε τη γλώσσα των αποδείξεων. Οι τυπικές δηλώσεις και φράσεις χρησιμοποιούνται για τη συγγραφή μαθηματικών αποδείξεων. Πρέπει να μάθετε αυτές τις φράσεις και να ξέρετε πώς να τις χρησιμοποιείτε.
   • Η φράση "Αν Α, τότε Β" σημαίνει ότι εάν η πρόταση Α είναι αληθής, τότε η δήλωση Β πρέπει επίσης να είναι αληθής.
   • "Α αν και μόνο αν Β" σημαίνει ότι οι προτάσεις Α και Β είναι αληθείς ή ψευδείς ταυτόχρονα. Αυτή η κατασκευή ισοδυναμεί με δύο ταυτόχρονες δηλώσεις: "Εάν το Α, τότε το Β" και το "Αν το Α αποτύχει, τότε το Β δεν ισχύει".
   • Το "A only if B" ισοδυναμεί με "If B, then A", οπότε αυτή η κατασκευή δεν είναι συνηθισμένη. Ωστόσο, είναι απαραίτητο να το θυμόμαστε.
   • Κατά την καταγραφή στοιχείων, προσπαθήστε να χρησιμοποιήσετε το "εμείς" αντί για την προσωπική αντωνυμία "εγώ".
2. 2 Γράψτε όλα τα αρχικά δεδομένα. Κατά τη σύνταξη μιας απόδειξης, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να καθορίσετε και να γράψετε όλα όσα δίνονται στο πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχετε μπροστά στα μάτια σας όλα τα αρχικά δεδομένα, βάσει των οποίων είναι απαραίτητο να λάβετε μια απόφαση. Διαβάστε προσεκτικά τη δήλωση προβλήματος και σημειώστε όλα όσα δίνονται σε αυτήν.
   • Για παράδειγμα: αποδείξτε ότι δύο γειτονικές γωνίες (γωνία Α και γωνία Β) αλληλοσυμπληρώνονται.
   • Δίνεται: παρακείμενες γωνίες Α και Β.
   • Αποδείξτε: η γωνία Α είναι συμπληρωματική της γωνίας Β.
3. 3 Ορίστε όλες τις μεταβλητές. Εκτός από την καταγραφή των αρχικών δεδομένων, είναι επίσης χρήσιμο να γράψετε τις υπόλοιπες μεταβλητές. Για να διευκολύνετε τον αναγνώστη, γράψτε τις μεταβλητές στην αρχή της απόδειξης. Εάν δεν ορίζονται μεταβλητές, ο αναγνώστης μπορεί να μπερδευτεί και να μην καταλάβει την απόδειξή σας.
   • Μην χρησιμοποιείτε προηγουμένως απροσδιόριστες μεταβλητές κατά τη διάρκεια της απόδειξης.
   • Για παράδειγμα: στο πρόβλημα που εξετάστηκε παραπάνω, οι μεταβλητές είναι οι τιμές των γωνιών Α και Β.
4. 4 Προσπαθήστε να βρείτε την απόδειξη με αντίστροφη σειρά. Πολλά προβλήματα λύνονται ευκολότερα με αντίστροφη σειρά. Ξεκινήστε με αυτό που πρέπει να αποδείξετε και σκεφτείτε πώς μπορείτε να συνδέσετε τα συμπεράσματα με την αρχική κατάσταση.
   • Διαβάστε ξανά τα βήματα έναρξης και λήξης και δείτε αν είναι παρόμοια μεταξύ τους. Όταν το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τις αρχικές συνθήκες, ορισμούς και παρόμοιες αποδείξεις από άλλα προβλήματα.
   • Κάντε ερωτήσεις στον εαυτό σας και προχωρήστε μπροστά. Για να αποδείξετε μεμονωμένες δηλώσεις, αναρωτηθείτε: "Γιατί συμβαίνει αυτό;" - και: "Μπορεί να είναι λάθος;"
   • Θυμηθείτε να γράψετε τα μεμονωμένα βήματα διαδοχικά μέχρι να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα.
   • Για παράδειγμα: εάν οι γωνίες Α και Β είναι συμπληρωματικές, το άθροισμά τους πρέπει να είναι 180 °. Σύμφωνα με τον ορισμό των γειτονικών γωνιών, οι γωνίες Α και Β σχηματίζουν ευθεία γραμμή ΑΒΓ. Δεδομένου ότι η γραμμή σχηματίζει γωνία 180 °, οι γωνίες Α και Β προσθέτουν έως και 180 °.
5. 5 Τακτοποιήστε τα μεμονωμένα βήματα της απόδειξης έτσι ώστε να είναι συνεπή και λογική. Ξεκινήστε από την αρχή και προχωρήστε μέχρι μια αποδεδειγμένη διατριβή. Ενώ μερικές φορές είναι χρήσιμο να ξεκινήσετε στο τέλος της αναζήτησης αποδεικτικών στοιχείων, πρέπει να ακολουθήσετε τη σωστή σειρά κατά τη σύνταξή του. Οι ξεχωριστές θέσεις πρέπει να ακολουθούν η μία μετά την άλλη, έτσι ώστε η απόδειξη να είναι λογική και να μην δημιουργεί αμφιβολίες.
   • Αρχικά, εξετάστε τις παραδοχές που έγιναν.
   • Επιβεβαιώστε τις δηλώσεις που έγιναν με απλά και απλά βήματα, έτσι ώστε ο αναγνώστης να μην έχει αμφιβολίες για την ορθότητα τους.
   • Μερικές φορές πρέπει να ξαναγράψετε την απόδειξη περισσότερες από μία φορές. Συνεχίστε να ομαδοποιείτε τις δηλώσεις και τα στοιχεία τους μέχρι να φτάσετε στην πιο λογική δομή.
   • Για παράδειγμα: ας ξεκινήσουμε από την αρχή.
     • Οι γωνίες Α και Β είναι γειτονικές.
     • Οι πλευρές της γωνίας ABC σχηματίζουν μια ευθεία.
     • Η γωνία ABC είναι 180 °.
     • Γωνία Α + Γωνία Β = Γωνία ΑΒΓ.
     • Γωνία Α + Γωνία Β = Γωνία 180 °.
     • Η γωνία Α είναι συμπληρωματική της γωνίας Β.
6. 6 Μην χρησιμοποιείτε βέλη και συντομογραφίες στην απόδειξη. Διάφορες συντομογραφίες και σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο προσχέδιο, αλλά μην τις συμπεριλάβετε στο τελικό σχέδιο, καθώς αυτό μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στους αναγνώστες. Χρησιμοποιήστε λέξεις όπως "επομένως" και "τότε" αντ 'αυτού.
   • Ως εξαιρέσεις, επιτρέπονται κατανοητές συντομογραφίες, για παράδειγμα, «δηλ. ε. " (δηλαδή), ωστόσο χρησιμοποιήστε τα κατάλληλα.
7. 7 Υποστηρίξτε κάθε διατριβή με ένα θεώρημα, νόμο ή ορισμό. Η απόδειξη πρέπει να είναι άψογη. Δεν μπορείτε να κάνετε ατεκμηρίωτες δηλώσεις. Δείτε πώς δημιουργούνται οι αποδείξεις για προβλήματα παρόμοια με τα δικά σας.
   • Δοκιμάστε να εφαρμόσετε τα αποδεικτικά στοιχεία που βρίσκετε σε περιπτώσεις όπου δεν πρέπει να είναι αληθινά και δείτε αν είναι. Εάν η απόδειξη είναι έγκυρη σε τέτοιες περιπτώσεις, ελέγξτε πού κάνατε λάθος.
   • Οι αποδείξεις γεωμετρικών προβλημάτων γράφονται συχνά σε δύο στήλες. Οι ισχυρισμοί γράφονται στα δεξιά και οι αποδείξεις τους δίνονται στα αριστερά. Ταυτόχρονα, σε δημοσιεύσεις, συντάσσονται μαθηματικές αποδείξεις με τη μορφή παραγράφων με την κατάλληλη γραμματική.
8. 8 Τελειώστε τις αποδείξεις με τη φράση "όπως απαιτείται για απόδειξη". Στο τέλος της απόδειξης, πρέπει να υπάρχει μια αποδεδειγμένη διατριβή. Μετά από αυτό, πρέπει να γράψετε "αυτό που απαιτήθηκε για να αποδειχθεί" (συντομογραφία ως "η. Κ.λπ." ή ένα σύμβολο με τη μορφή ενός γεμισμένου τετραγώνου) - αυτό σημαίνει ότι η απόδειξη είναι πλήρης.
   • Στα λατινικά, η φράση "αυτό που απαιτήθηκε για να αποδειχθεί" αντιστοιχεί στη συντομογραφία Q.E.D. (quod erat demonstrandum, δηλαδή «αυτό που απαιτήθηκε για να προβληθεί»).
   • Εάν έχετε αμφιβολίες για την ορθότητα της απόδειξης, γράψτε μερικές φράσεις για το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξατε και γιατί είναι σημαντικό.

Συμβουλές

• Όλες οι πληροφορίες που παρέχονται στα αποδεικτικά στοιχεία πρέπει να εξυπηρετούν την επίτευξη του αναφερόμενου στόχου. Μην συμπεριλάβετε αυτό που μπορείτε να κάνετε χωρίς την απόδειξή σας.