Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 4: Διαίρεση ριζικών εκφράσεων
• Μέθοδος 2 από 4: Προσδιορισμός της ριζικής έκφρασης
• Μέθοδος 3 από 4: Πολλαπλασιασμός τετραγωνικών ριζών
• Μέθοδος 4 από 4: Διαίρεση με διωνυμία τετραγωνικής ρίζας
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Ο διαχωρισμός των τετραγωνικών ριζών απλοποιεί το κλάσμα. Η κατοχή τετραγωνικών ριζών περιπλέκει λίγο τη λύση, αλλά ορισμένοι κανόνες διευκολύνουν σχετικά την εργασία με κλάσματα. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι οι παράγοντες χωρίζονται ανά παράγοντες και οι ριζικές εκφράσεις με ριζικές εκφράσεις. Επίσης, η τετραγωνική ρίζα μπορεί να είναι στον παρονομαστή.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 4: Διαίρεση ριζικών εκφράσεων

1. 1 Γράψτε το κλάσμα. Εάν η έκφραση δεν είναι κλάσμα, ξαναγράψτε την με αυτόν τον τρόπο. Αυτό διευκολύνει την παρακολούθηση της διαδικασίας διαίρεσης των τετραγωνικών ριζών. Θυμηθείτε ότι η οριζόντια γραμμή αντιπροσωπεύει το πρόσημο διαίρεσης.
   • Για παράδειγμα, με την έκφραση ${ displaystyle { sqrt {144}} div { sqrt {36}}}$, ξαναγράψτε το ως εξής: ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}$.
2. 2 Χρησιμοποιήστε ένα σημάδι ρίζας. Εάν τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής του κλάσματος έχουν τετραγωνικές ρίζες, γράψτε τις ριζικές τους εκφράσεις κάτω από ένα πρόσημο ρίζας για να απλοποιήσετε τη διαδικασία λύσης. Μια ριζική έκφραση είναι μια έκφραση (ή απλά ένας αριθμός) που βρίσκεται κάτω από το ριζικό πρόσημο.
   • Για παράδειγμα, το κλάσμα ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}$ μπορεί να γραφτεί ως εξής: ${ displaystyle { sqrt { frac {144} {36}}}}$.
3. 3 Χωρίστε τη ριζική έκφραση. Χωρίστε έναν αριθμό με έναν άλλο (ως συνήθως) και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από το ριζικό πρόσημο.
   • Για παράδειγμα, ${ displaystyle { frac {144} {36}} = 4}$, Έτσι: ${ displaystyle { sqrt { frac {144} {36}}} = { sqrt {4}}}$.
4. 4 Απλοποιώ ριζική έκφραση (εάν είναι απαραίτητο). Εάν η ριζική έκφραση ή ένας από τους παράγοντες της είναι ένα τέλειο τετράγωνο, απλοποιήστε αυτήν την έκφραση. Ένα πλήρες τετράγωνο είναι ένας αριθμός που είναι το τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού. Για παράδειγμα, το 25 είναι ένα τέλειο τετράγωνο γιατί ${ displaystyle 5 φορές 5 = 25}$.
   • Για παράδειγμα, το 4 είναι ένα τέλειο τετράγωνο επειδή ${ displaystyle 2 φορές 2 = 4}$... Ετσι:
     ${ displaystyle { sqrt {4}}}$
     ${ displaystyle = { sqrt {2 φορές 2}}}$
     ${ displaystyle = 2}$
     Ετσι: ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}} = { sqrt {4}} = 2}$.

Μέθοδος 2 από 4: Προσδιορισμός της ριζικής έκφρασης

1. 1 Γράψτε το κλάσμα. Εάν η έκφραση δεν είναι κλάσμα, ξαναγράψτε την με αυτόν τον τρόπο. Αυτό διευκολύνει την παρακολούθηση της διαδικασίας διαίρεσης των τετραγωνικών ριζών, ειδικά όταν λαμβάνουμε υπόψη μια ριζική έκφραση. Θυμηθείτε ότι η οριζόντια γραμμή αντιπροσωπεύει το πρόσημο διαίρεσης.
   • Για παράδειγμα, με την έκφραση ${ displaystyle { sqrt {8}} div { sqrt {36}}}$, ξαναγράψτε το ως εξής: ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}}}$.
2. 2 Απλώστε σε παράγοντες κάθε ριζικής έκφρασης. Ο αριθμός κάτω από το ριζικό πρόσημο παραγοντίζεται όπως κάθε ακέραιος αριθμός. Γράψτε τους παράγοντες κάτω από το σημάδι της ρίζας.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac { sqrt {2 times 2 times 2}} { sqrt {6 times 6}}}}$
3. 3 Απλοποιώ ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, βγάλτε τους συντελεστές, οι οποίοι είναι πλήρη τετράγωνα, κάτω από το σημάδι της ρίζας. Ένα πλήρες τετράγωνο είναι ένας αριθμός που είναι το τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού. Ο συντελεστής της ριζικής έκφρασης θα μετατραπεί σε παράγοντα πριν από το πρόσημο της ρίζας.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle { frac { sqrt {{ cancel {2 times 2 times}} 2}} { sqrt { cancel {6 times 6}}}}}$
     ${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$
     Ετσι, ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$
4. 4 Απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή (εκλογικεύστε τον παρονομαστή). Στα μαθηματικά, δεν συνηθίζεται να αφήνουμε τη ρίζα στον παρονομαστή. Εάν το κλάσμα έχει τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή, απαλλαγείτε από αυτό. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την τετραγωνική ρίζα από την οποία θέλετε να απαλλαγείτε.
   • Για παράδειγμα, δεδομένου του κλάσματος ${ displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}}}$, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά ${ displaystyle { sqrt {3}}}$για να απαλλαγούμε από τη ρίζα στον παρονομαστή:
     ${ displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}} times { frac { sqrt {3}} { sqrt {3}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {2}} times { sqrt {3}}} {{ sqrt {3}} times { sqrt {3}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {6}}} { sqrt {9}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {6}}} {3}}}$.
5. 5 Απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει (εάν είναι απαραίτητο). Μερικές φορές ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος περιέχουν αριθμούς που μπορούν να απλοποιηθούν (μειωθούν). Απλοποιήστε τους ακέραιους αριθμούς στον αριθμητή και τον παρονομαστή καθώς απλοποιείτε οποιοδήποτε κλάσμα.
   • Για παράδειγμα, ${ displaystyle { frac {2} {6}}}$ απλοποιεί σε ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$? έτσι ${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$ απλοποιεί σε ${ displaystyle { frac {1 { sqrt {2}}} {3}}}$ = ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {3}}}$.

Μέθοδος 3 από 4: Πολλαπλασιασμός τετραγωνικών ριζών

1. 1 Απλοποιήστε τους παράγοντες. Ο παράγοντας είναι ο αριθμός που προηγείται του σημείου ρίζας. Για να απλοποιήσετε τους παράγοντες, χωρίστε τους ή μειώστε τους (μην αγγίζετε ριζικές εκφράσεις).
   • Για παράδειγμα, με την έκφραση ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {32}}} {6 { sqrt {16}}}}}$, πρώτα απλοποιήστε ${ displaystyle { frac {4} {6}}}$... Ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να διαιρεθούν με 2. Έτσι, οι παράγοντες μπορούν να ακυρωθούν:${ displaystyle { frac {4} {6}} = { frac {2} {3}}}$.
2. 2 Απλοποιώ τετραγωνικές ρίζες. Εάν ο αριθμητής διαιρείται ομοιόμορφα με τον παρονομαστή, κάντε το. διαφορετικά, απλοποιήστε τη ριζική έκφραση όπως κάθε άλλη έκφραση.
   • Για παράδειγμα, το 32 διαιρείται ομοιόμορφα με το 16, οπότε:${ displaystyle { sqrt { frac {32} {16}}} = { sqrt {2}}}$
3. 3 Πολλαπλασιάστε τους απλοποιημένους παράγοντες με απλοποιημένες ρίζες. Θυμηθείτε ότι είναι καλύτερο να μην αφήσετε τη ρίζα στον παρονομαστή, οπότε πολλαπλασιάστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτήν τη ρίζα.
   • Για παράδειγμα, ${ displaystyle { frac {2} {3}} times { sqrt {2}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}}}$.
4. 4 Απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή εάν είναι απαραίτητο (εξορθολογίστε τον παρονομαστή). Στα μαθηματικά, δεν συνηθίζεται να αφήνουμε τη ρίζα στον παρονομαστή.Επομένως, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την τετραγωνική ρίζα από την οποία θέλετε να απαλλαγείτε.
   • Για παράδειγμα, δεδομένου του κλάσματος ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά ${ displaystyle { sqrt {7}}}$για να απαλλαγούμε από τη ρίζα στον παρονομαστή:
     ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} { sqrt {7}}} times { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {3}} times { sqrt {7}}} {{ sqrt {7}} times { sqrt {7}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {21}}} { sqrt {49}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {21}}} {7}}}$

Μέθοδος 4 από 4: Διαίρεση με διωνυμία τετραγωνικής ρίζας

1. 1 Καθορίστε ότι ο παρονομαστής περιέχει ένα διωνυμικό (διωνυμικό). Ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης (έκφραση ή αριθμός κάτω από τη γραμμή). Ένα διωνυμικό (διωνυμικό) είναι μια έκφραση που περιλαμβάνει δύο μονοώνυμα. Αυτή η μέθοδος ισχύει μόνο όταν το πρόβλημα περιέχει διωνυμικό τετραγωνικής ρίζας.
   • Για παράδειγμα, δεδομένου του κλάσματος ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}$, ο παρονομαστής περιέχει ένα διωνυμικό, επειδή η έκφραση ${ displaystyle 5 + { sqrt {2}}}$ περιλαμβάνει δύο μονοώνυμα.
2. 2 Βρείτε την έκφραση συζευγμένη στο διωνυμικό. Ένα συζυγές διωνυμικό είναι ένα διώνυμο με τα ίδια μονοώνυμα, αλλά με το αντίθετο πρόσημο μεταξύ τους. Ο πολλαπλασιασμός συζευγμένων διωνυμικών θα απαλλαγεί από τη ρίζα στον παρονομαστή.
   • Για παράδειγμα, ${ displaystyle 5 + { sqrt {2}}}$ και ${ displaystyle 5 - { sqrt {2}}}$ είναι συζευγμένα διώνυμα επειδή περιλαμβάνουν τα ίδια μονοώνυμα, αλλά με αντίθετα σημεία μεταξύ τους.
3. 3 Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το διωνυμικό συζυγές στο διωνυμικό στον παρονομαστή. Αυτό θα απαλλαγεί από την τετραγωνική ρίζα, επειδή το γινόμενο των συζυγών διωνύμων είναι ίσο με τη διαφορά των τετραγώνων κάθε διωνυμικού όρου. Δηλ ${ displaystyle (a -b) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$.
   • Για παράδειγμα:
     ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {1 (5 - { sqrt {2}})} {(5 + { sqrt {2}}) (5 - { sqrt {2}})}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 - { sqrt {2}}} {(5 ^ {2} - ({ sqrt {2}}) ^ {2}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 + { sqrt {2}}} {25-2}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 + { sqrt {2}}} {23}}}$
     Ετσι, ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}} = { frac {5 + { sqrt {2}}} {23}}}$.

Συμβουλές

• Πολλοί υπολογιστές γνωρίζουν πώς να λειτουργούν με κλάσματα. Εισαγάγετε τον αριθμό στον αριθμητή, πατήστε το πλήκτρο κλάσματος και, στη συνέχεια, εισαγάγετε τον αριθμό στον παρονομαστή. Πατήστε "=" και η αριθμομηχανή θα απλοποιήσει (μειώσει) αυτόματα το κλάσμα.
• Όταν εργάζεστε με τετραγωνικές ρίζες, είναι καλύτερο να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ένα ακατάλληλο κλάσμα.
• Σε αντίθεση με την πρόσθεση και την αφαίρεση των ριζών, κατά τη διαίρεσή τους, οι ριζικές εκφράσεις δεν μπορούν να απλοποιηθούν (λόγω πλήρων τετραγώνων). Στην πραγματικότητα, είναι συχνά καλύτερο να μην το κάνετε καθόλου.

Προειδοποιήσεις

• Ποτέ μην αφήνετε τη ρίζα στον παρονομαστή ενός κλάσματος - απλοποιήστε ή εξορθολογίστε το.
• Το δεκαδικό κλάσμα και ο μικτός αριθμός δεν τοποθετούνται μπροστά από τη ρίζα. Μετατρέψτε τα σε κλάσματα και στη συνέχεια απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει.
• Μην γράψετε το δεκαδικό στον παρονομαστή ή τον αριθμητή ενός κλάσματος. αλλιώς, παίρνετε ένα κλάσμα σε ένα κλάσμα.
• Εάν ο παρονομαστής περιέχει το άθροισμα ή τη διαφορά δύο μονοθεμάτων, πολλαπλασιάστε αυτόν τον κάδο με το συζυγές του διωνυμικό για να απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή.