Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 4: Υπολογισμός του Συντελεστή Συσχέτισης Χειροκίνητα
• Μέθοδος 2 από 4: Χρήση διαδικτυακών υπολογιστών για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης
• Μέθοδος 3 από 4: Χρήση αριθμομηχανής γραφικών παραστάσεων
• Μέθοδος 4 από 4: Εξηγήσεις βασικών εννοιών
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Ο συντελεστής συσχέτισης (ή συντελεστής γραμμικής συσχέτισης) συμβολίζεται ως "r" (σε σπάνιες περιπτώσεις ως "ρ") και χαρακτηρίζει τη γραμμική συσχέτιση (δηλαδή τη σχέση που δίνεται από κάποια τιμή και κατεύθυνση) δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Η τιμή του συντελεστή βρίσκεται μεταξύ -1 και +1, δηλαδή ο συσχετισμός μπορεί να είναι θετικός και αρνητικός. Εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι -1, υπάρχει ένας τέλειος αρνητικός συσχετισμός. αν ο συντελεστής συσχέτισης είναι +1, υπάρχει τέλειος θετικός συσχετισμός. Διαφορετικά, υπάρχει μια θετική συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών, μια αρνητική συσχέτιση ή καμία συσχέτιση. Ο συντελεστής συσχέτισης μπορεί να υπολογιστεί χειροκίνητα, με δωρεάν διαδικτυακές αριθμομηχανές ή με έναν καλό υπολογιστή γραφικής παράστασης.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 4: Υπολογισμός του Συντελεστή Συσχέτισης Χειροκίνητα

1. 1 Συλλέξτε δεδομένα. Πριν ξεκινήσετε τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης, μελετήστε αυτά τα ζεύγη αριθμών. Καλύτερα να τα γράψετε σε έναν πίνακα που μπορεί να τοποθετηθεί κάθετα ή οριζόντια. Προσθέστε ετικέτα σε κάθε γραμμή ή στήλη με "x" και "y".
   • Για παράδειγμα, δίνονται τέσσερα ζεύγη τιμών (αριθμών) των μεταβλητών "x" και "y". Μπορείτε να δημιουργήσετε τον ακόλουθο πίνακα:
     • x || y
     • 1 || 1
     • 2 || 3
     • 4 || 5
     • 5 || 7
2. 2 Να υπολογίσετε την αριθμητική μέση τιμή "x". Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε όλες τις τιμές x και, στη συνέχεια, διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών.
   • Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν τέσσερις τιμές για τη μεταβλητή "x". Για να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο "x", προσθέστε αυτές τις τιμές και, στη συνέχεια, διαιρέστε το άθροισμα με 4. Οι υπολογισμοί γράφονται ως εξής:
   • ${ displaystyle mu _ {x} = (1 + 2 + 4 + 5) / 4}$
   • ${ displaystyle mu _ {x} = 12/4}$
   • ${ displaystyle mu _ {x} = 3}$
3. 3 Βρείτε τον αριθμητικό μέσο "y". Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τα ίδια βήματα, δηλαδή προσθέστε όλες τις τιμές y και, στη συνέχεια, διαιρέστε το άθροισμα με τον αριθμό των τιμών.
   • Στο παράδειγμά μας, δίνονται τέσσερις τιμές της μεταβλητής "y". Προσθέστε αυτές τις τιμές και, στη συνέχεια, διαιρέστε το άθροισμα με 4. Οι υπολογισμοί θα γραφτούν ως εξής:
   • ${ displaystyle mu _ {y} = (1 + 3 + 5 + 7) / 4}$
   • ${ displaystyle mu _ {y} = 16/4}$
   • ${ displaystyle mu _ {y} = 4}$
4. 4 Υπολογίστε την τυπική απόκλιση "x". Αφού υπολογίσετε τα μέσα των "x" και "y", βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις αυτών των μεταβλητών. Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {n-1}} Sigma (x- mu _ {x}) ^ {2}}}}$
   • Στο παράδειγμά μας, οι υπολογισμοί θα γραφτούν ως εξής:
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {4-1}} * ((1-3) ^ {2} + (2-3) ^ {2} + ( 4-3) ^ {2} + (5-3) ^ {2})}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (4 + 1 + 1 + 4)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (10)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt { frac {10} {3}}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = 1,83}$
5. 5 Υπολογίστε την τυπική απόκλιση "y". Ακολουθήστε τα βήματα που περιγράφονται στο προηγούμενο βήμα. Χρησιμοποιήστε τον ίδιο τύπο, αλλά συνδέστε τις τιμές y.
   • Στο παράδειγμά μας, οι υπολογισμοί θα γραφτούν ως εξής:
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt {{ frac {1} {4-1}} * ((1-4) ^ {2} + (3-4) ^ {2} + ( 5-4) ^ {2} + (7-4) ^ {2})}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (9 + 1 + 1 + 9)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (20)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt { frac {20} {3}}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = 2,58}$
6. 6 Γράψτε τον βασικό τύπο για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης. Αυτός ο τύπος περιλαμβάνει τα μέσα, τις τυπικές αποκλίσεις και τον αριθμό (n) ζευγαριών αριθμών και των δύο μεταβλητών. Ο συντελεστής συσχέτισης συμβολίζεται ως "r" (σε σπάνιες περιπτώσεις ως "ρ"). Αυτό το άρθρο χρησιμοποιεί έναν τύπο για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης Pearson.
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {n-1}} right) Sigma left ({ frac {x- mu _ {x}} { sigma _ {x}} } δεξιά) * αριστερά ({ frac {y- mu _ {y}} { sigma _ {y}}} right)}$
   • Εδώ και σε άλλες πηγές, οι ποσότητες μπορούν να συμβολιστούν με διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, ορισμένοι τύποι περιέχουν "ρ" και "σ", ενώ άλλοι περιέχουν "r" και "s". Ορισμένα σχολικά βιβλία δίνουν διαφορετικούς τύπους, αλλά είναι μαθηματικά αντίστοιχα με τον παραπάνω τύπο.
7. 7 Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης. Έχετε υπολογίσει τα μέσα και τις τυπικές αποκλίσεις και των δύο μεταβλητών, οπότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης. Θυμηθείτε ότι "n" είναι ο αριθμός των ζευγών τιμών και για τις δύο μεταβλητές. Άλλες τιμές έχουν υπολογιστεί νωρίτερα.
   • Στο παράδειγμά μας, οι υπολογισμοί θα γραφτούν ως εξής:
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {n-1}} right) Sigma left ({ frac {x- mu _ {x}} { sigma _ {x}} } δεξιά) * αριστερά ({ frac {y- mu _ {y}} { sigma _ {y}}} right)}$
   • ${ displaystyle rho = αριστερά ({ frac {1} {3}} δεξιά) *}$[${ displaystyle left ({ frac {1-3} {1.83}} right) * left ({ frac {1-4} {2.58}} right) + left ({ frac {2 -3} {1.83}} δεξιά) * αριστερά ({ frac {3-4} {2.58}} δεξιά)}$
        ${ displaystyle + left ({ frac {4-3} {1.83}} right) * left ({ frac {5-4} {2.58}} right) + left ({ frac { 5-3} {1.83}} δεξιά) * αριστερά ({ frac {7-4} {2.58}} δεξιά)}$]
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {3}} right) * left ({ frac {6 + 1 + 1 + 6} {4.721}} right)}$
   • ${ displaystyle rho = αριστερά ({ frac {1} {3}} δεξιά) * 2.965}$
   • ${ displaystyle rho = αριστερά ({ frac {2,965} {3}} δεξιά)}$
   • ${ displaystyle rho = 0.988}$
8. 8 Αναλύστε το αποτέλεσμα. Στο παράδειγμά μας, ο συντελεστής συσχέτισης είναι 0,988. Αυτή η τιμή με κάποιο τρόπο χαρακτηρίζει ένα δεδομένο σύνολο ζευγών αριθμών. Δώστε προσοχή στο πρόσημο και το μέγεθος της τιμής.
   • Δεδομένου ότι η τιμή του συντελεστή συσχέτισης είναι θετική, υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών "x" και "y". Δηλαδή, καθώς αυξάνεται η τιμή του "x", αυξάνεται και η τιμή του "y".
   • Δεδομένου ότι η τιμή του συντελεστή συσχέτισης είναι πολύ κοντά στο +1, οι τιμές των μεταβλητών "x" και "y" συσχετίζονται σε μεγάλο βαθμό. Εάν βάλετε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων, θα βρίσκονται κοντά σε κάποια ευθεία.

Μέθοδος 2 από 4: Χρήση διαδικτυακών υπολογιστών για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης

1. 1 Βρείτε μια αριθμομηχανή στο Διαδίκτυο για να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης. Αυτός ο συντελεστής υπολογίζεται συχνά στα στατιστικά. Εάν υπάρχουν πολλά ζεύγη αριθμών, είναι σχεδόν αδύνατο να υπολογιστεί ο συντελεστής συσχέτισης με το χέρι. Επομένως, υπάρχουν ηλεκτρονικοί υπολογιστές για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης. Σε μια μηχανή αναζήτησης, εισαγάγετε "αριθμομηχανή συντελεστή συσχέτισης" (χωρίς εισαγωγικά).
2. 2 Εισαγάγετε δεδομένα. Ελέγξτε τις οδηγίες στον ιστότοπο για να εισαγάγετε τα σωστά δεδομένα (ζεύγη αριθμών). Είναι επιτακτική ανάγκη να εισαγάγετε τα κατάλληλα ζεύγη αριθμών. Διαφορετικά, θα έχετε λάθος αποτέλεσμα. Θυμηθείτε ότι διαφορετικοί ιστότοποι έχουν διαφορετικές μορφές εισόδου.
   • Για παράδειγμα, στη διεύθυνση http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm, οι τιμές των μεταβλητών x και y εισάγονται σε δύο οριζόντιες γραμμές. Οι τιμές διαχωρίζονται με κόμματα. Δηλαδή, στο παράδειγμά μας, οι τιμές "x" εισάγονται ως εξής: 1,2,4,5 και οι τιμές "y" ως εξής: 1,3,5,7.
   • Σε έναν άλλο ιστότοπο, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/, τα δεδομένα εισάγονται κάθετα. σε αυτή την περίπτωση, μην συγχέετε τα αντίστοιχα ζεύγη αριθμών.
3. 3 Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης. Αφού εισαγάγετε τα δεδομένα, απλώς κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός", "Υπολογισμός" ή παρόμοιο κουμπί για να λάβετε το αποτέλεσμα.

Μέθοδος 3 από 4: Χρήση αριθμομηχανής γραφικών παραστάσεων

1. 1 Εισαγάγετε δεδομένα. Πάρτε μια αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων, μεταβείτε στη λειτουργία στατιστικού υπολογισμού και επιλέξτε την εντολή "Επεξεργασία".
   • Διαφορετικοί υπολογιστές απαιτούν διαφορετικά πλήκτρα για να πατηθούν. Αυτό το άρθρο συζητά την αριθμομηχανή Texas Instruments TI-86.
   • Πατήστε [2η] - Stat (πάνω από το πλήκτρο +) για να μπείτε στη λειτουργία στατιστικού υπολογισμού. Στη συνέχεια, πατήστε F2 - Edit.
2. 2 Διαγράψτε τα προηγούμενα αποθηκευμένα δεδομένα. Οι περισσότεροι υπολογιστές διατηρούν τα στατιστικά στοιχεία που εισάγετε μέχρι να τα διαγράψετε. Για να αποφύγετε τη σύγχυση παλιών δεδομένων με νέα, διαγράψτε πρώτα όλες τις αποθηκευμένες πληροφορίες.
   • Χρησιμοποιήστε τα πλήκτρα βέλους για να μετακινήσετε τον κέρσορα και να επισημάνετε την επικεφαλίδα 'xStat'. Στη συνέχεια, πατήστε Εκκαθάριση και Εισαγωγή για να διαγράψετε όλες τις τιμές που έχουν εισαχθεί στη στήλη xStat.
   • Χρησιμοποιήστε τα πλήκτρα βέλους για να επισημάνετε την επικεφαλίδα "yStat". Στη συνέχεια, πατήστε Εκκαθάριση και Εισαγωγή για να διαγράψετε όλες τις τιμές που έχουν εισαχθεί στη στήλη yStat.
3. 3 Εισαγάγετε τα αρχικά δεδομένα. Χρησιμοποιήστε τα πλήκτρα βέλους για να μετακινήσετε τον κέρσορα στο πρώτο κελί κάτω από την επικεφαλίδα "xStat". Εισαγάγετε την πρώτη τιμή και πατήστε Enter. Στο κάτω μέρος της οθόνης εμφανίζεται η ένδειξη "xStat (1) = __", με την εισαγόμενη τιμή να αντικαθιστά ένα κενό. Αφού πατήσετε Enter, η εισαγόμενη τιμή θα εμφανιστεί στον πίνακα και ο δρομέας θα μετακινηθεί στην επόμενη γραμμή. αυτό θα εμφανίσει "xStat (2) = __" στο κάτω μέρος της οθόνης.
   • Εισαγάγετε όλες τις τιμές για τη μεταβλητή "x".
   • Αφού εισαγάγετε όλες τις τιμές για το x, χρησιμοποιήστε τα βέλη για να μεταβείτε στη στήλη yStat και εισαγάγετε τις τιμές για y.
   • Αφού εισαγάγετε όλα τα ζεύγη αριθμών, πατήστε Έξοδος για να καθαρίσετε την οθόνη και να βγείτε από τη λειτουργία συνάθροισης.
4. 4 Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης. Χαρακτηρίζει πόσο κοντά είναι τα δεδομένα σε μια συγκεκριμένη ευθεία. Ο υπολογιστής γραφικών μπορεί να προσδιορίσει γρήγορα την κατάλληλη ευθεία και να υπολογίσει τον συντελεστή συσχέτισης.
   • Κάντε κλικ στο Stat - Calc. Στο TI -86, πατήστε [2ο] - [Stat] - [F1].
   • Επιλέξτε τη συνάρτηση Γραμμικής παλινδρόμησης. Στο TI-86, πατήστε [F3] που φέρει την ένδειξη "LinR". Στην οθόνη θα εμφανιστεί η γραμμή "LinR _" με έναν δρομέα που αναβοσβήνει.
   • Τώρα εισάγετε τα ονόματα δύο μεταβλητών: xStat και yStat.
     • Στο TI-86, ανοίξτε τη λίστα με τα ονόματα. για να το κάνετε αυτό, πατήστε [2η] - [Λίστα] - [F3].
     • Οι διαθέσιμες μεταβλητές εμφανίζονται στην κάτω γραμμή της οθόνης. Επιλέξτε [xStat] (πιθανότατα πρέπει να πατήσετε F1 ή F2 για να το κάνετε αυτό), εισαγάγετε ένα κόμμα και, στη συνέχεια, επιλέξτε [yStat].
     • Πατήστε Enter για να επεξεργαστείτε τα δεδομένα που καταχωρίσατε.
5. 5 Αναλύστε τα αποτελέσματά σας. Πατώντας Enter, η οθόνη θα εμφανίσει τις ακόλουθες πληροφορίες:
   • ${ displaystyle y = a + bx}$: αυτή είναι η συνάρτηση που περιγράφει τη γραμμή. Λάβετε υπόψη ότι η συνάρτηση δεν είναι γραμμένη σε τυπική μορφή (y = kx + b).
   • ${ displaystyle a =}$... Αυτή είναι η συντεταγμένη y της τομής της ευθείας με τον άξονα y.
   • ${ displaystyle b =}$... Αυτή είναι η κλίση της γραμμής.
   • ${ displaystyle { text {corr}} =}$... Αυτός είναι ο συντελεστής συσχέτισης.
   • ${ displaystyle n =}$... Αυτός είναι ο αριθμός των ζευγών αριθμών που χρησιμοποιήθηκαν στους υπολογισμούς.

Μέθοδος 4 από 4: Εξηγήσεις βασικών εννοιών

1. 1 Κατανοήστε την έννοια του συσχετισμού. Ο συσχετισμός είναι η στατιστική σχέση μεταξύ δύο μεγεθών. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι μια αριθμητική τιμή που μπορεί να υπολογιστεί για οποιαδήποτε δύο σύνολα δεδομένων. Η τιμή του συντελεστή συσχέτισης βρίσκεται πάντα στο εύρος από -1 έως +1 και χαρακτηρίζει το βαθμό σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών.
   • Για παράδειγμα, δεδομένου του ύψους και της ηλικίας των παιδιών (περίπου 12 ετών). Πιθανότατα, θα υπάρχει ισχυρός θετικός συσχετισμός, επειδή τα παιδιά ψηλώνουν με την ηλικία.
   • Ένα παράδειγμα αρνητικής συσχέτισης: δευτερόλεπτα ποινής και χρόνος που δαπανάται στην προπόνηση διαθλόνων, δηλαδή, όσο περισσότερο προπονείται ένας αθλητής, τόσο λιγότερα δευτερόλεπτα πέναλτι θα δοθούν.
   • Τέλος, μερικές φορές υπάρχει πολύ μικρή συσχέτιση (θετική ή αρνητική), όπως μεταξύ του μεγέθους του παπουτσιού και των μαθηματικών βαθμολογιών.
2. 2 Θυμηθείτε πώς να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο. Για να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο (ή μέσο), πρέπει να βρείτε το άθροισμα όλων αυτών των τιμών και, στη συνέχεια, να το διαιρέσετε με τον αριθμό των τιμών. Θυμηθείτε ότι ο αριθμητικός μέσος όρος είναι απαραίτητος για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης.
   • Η μέση τιμή μιας μεταβλητής υποδεικνύεται με ένα γράμμα με μια οριζόντια γραμμή πάνω από αυτήν. Για παράδειγμα, στην περίπτωση των μεταβλητών "x" και "y", οι μέσες τιμές τους συμβολίζονται ως εξής: x̅ και y̅. Ο μέσος όρος συμβολίζεται μερικές φορές με το ελληνικό γράμμα "μ" (mu). Για να γράψετε τον αριθμητικό μέσο των τιμών της μεταβλητής "x", χρησιμοποιήστε τον συμβολισμό μ_Χ ή μ (x).
   • Για παράδειγμα, με τις ακόλουθες τιμές για τη μεταβλητή "x": 1,2,5,6,9,10. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των τιμών υπολογίζεται ως εξής:
     • ${ displaystyle mu _ {x} = (1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10) / 6}$
     • ${ displaystyle mu _ {x} = 33/6}$
     • ${ displaystyle mu _ {x} = 5,5}$
3. 3 Σημειώστε τη σημασία της τυπικής απόκλισης. Στα στατιστικά, η τυπική απόκλιση χαρακτηρίζει το βαθμό στον οποίο οι αριθμοί είναι διάσπαρτοι σε σχέση με το μέσο όρο τους. Εάν η τυπική απόκλιση είναι μικρή, οι αριθμοί είναι κοντά στο μέσο όρο. εάν η τυπική απόκλιση είναι μεγάλη, οι αριθμοί απέχουν πολύ από το μέσο όρο.
   • Η τυπική απόκλιση υποδεικνύεται με το γράμμα "s" ή το ελληνικό γράμμα "σ" (σίγμα). Έτσι, η τυπική απόκλιση των τιμών της μεταβλητής "x" συμβολίζεται ως εξής: s_Χ ή σ_Χ.
4. 4 Θυμηθείτε το σύμβολο για τη λειτουργία άθροισης. Το σύμβολο άθροισης είναι ένα από τα πιο κοινά σύμβολα στα μαθηματικά και δείχνει το άθροισμα των τιμών. Αυτό το σύμβολο είναι το ελληνικό γράμμα "Σ" (κεφαλαίο σίγμα).
   • Για παράδειγμα, εάν δοθούν οι ακόλουθες τιμές της μεταβλητής "x": 1,2,5,6,9,10, τότε Σx σημαίνει:
     • 1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10 = 33.

Συμβουλές

• Ο συντελεστής συσχέτισης ονομάζεται μερικές φορές "συντελεστής συσχέτισης Pearson" από τον προγραμματιστή του Carl Pearson.
• Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής συσχέτισης είναι μεγαλύτερος από 0,8 (θετικός ή αρνητικός), υπάρχει ισχυρός συσχετισμός. εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι μικρότερος από 0,5 (θετικός ή αρνητικός), παρατηρείται ασθενής συσχέτιση.

Προειδοποιήσεις

• Ο συσχετισμός χαρακτηρίζει τη σχέση μεταξύ των τιμών δύο μεταβλητών. Αλλά θυμηθείτε ότι ο συσχετισμός δεν έχει καμία σχέση με την αιτιώδη συνάφεια. Για παράδειγμα, αν συγκρίνετε το ύψος και το μέγεθος του παπουτσιού των ανθρώπων, είναι πιθανό να βρείτε μια ισχυρή θετική συσχέτιση. Γενικά, όσο πιο ψηλό είναι το άτομο, τόσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του παπουτσιού. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η αύξηση του ύψους οδηγεί σε αυτόματη αύξηση του μεγέθους των παπουτσιών ή ότι τα μεγαλύτερα πόδια θα οδηγήσουν σε ταχύτερη ανάπτυξη. Αυτές οι ποσότητες είναι απλά αλληλένδετες.