Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέρος 1 από 3: Τα βασικά της ανάλυσης
• Μέρος 2 από 3: Κατανόηση παραγώγων
• Μέρος 3 από 3: Κατανοήστε τα ολοκληρώματα
• Συμβουλές

Η ανάλυση (ονομάζεται επίσης λογισμός) είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που εστιάζεται σε όρια, συναρτήσεις, παράγωγα, ολοκληρώματα και άπειρες σειρές. Αυτό το μάθημα καλύπτει πολλά μαθηματικά και βασίζεται σε πολλούς από τους τύπους και τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στη φυσική και τη μηχανική. Θα χρειαστεί πιθανώς να έχετε αρκετά χρόνια μαθηματικά στο γυμνάσιο για να κατανοήσετε σωστά την ανάλυση, αλλά αυτό το άρθρο θα σας κάνει να ξεκινήσετε να μαθαίνετε να αναγνωρίζετε τις βασικές έννοιες καθώς και μια καλύτερη κατανόηση της θεωρίας.

Για να πας

Μέρος 1 από 3: Τα βασικά της ανάλυσης

1. Η ανάλυση είναι η μελέτη για το πώς αλλάζουν τα πράγματα. Η ανάλυση είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που εξετάζει αριθμούς και γραφήματα, που συνήθως λαμβάνονται από δεδομένα πραγματικού κόσμου και εξηγεί πώς αλλάζουν. Αν και αυτό μπορεί να μην φαίνεται πολύ χρήσιμο στην αρχή, η ανάλυση είναι ένας από τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους κλάδους των μαθηματικών. Φανταστείτε να έχετε τα εργαλεία για να σας πω πόσο γρήγορα αναπτύσσεται η επιχείρησή σας ανά πάσα στιγμή, ή πώς να χαρτογραφήσετε την πορεία ενός διαστημικού σκάφους και πόσο γρήγορα εξαντλείται το καύσιμό της. Η ανάλυση είναι ένα σημαντικό εργαλείο στη μηχανική, τα οικονομικά, τις στατιστικές, τη χημεία και τη φυσική και έχει συμβάλει σε πολλές εφευρέσεις και ανακαλύψεις.
2. Οι συναρτήσεις είναι σχέσεις μεταξύ δύο αριθμών και χρησιμοποιούνται για χαρτογράφηση σχέσεων. Είναι κανόνες για τη σχέση μεταξύ αριθμών και οι μαθηματικοί τους χρησιμοποιούν για τη δημιουργία γραφημάτων. Σε μια συνάρτηση, κάθε είσοδος έχει ακριβώς ένα αποτέλεσμα. Για παράδειγμα: στο ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Σκεφτείτε την έννοια του απείρου. Το άπειρο είναι η συνεχής επανάληψη μιας διαδικασίας. Δεν είναι ένα συγκεκριμένο μέρος (δεν μπορείτε να πάτε στο άπειρο), αλλά μάλλον η συμπεριφορά ενός αριθμού ή εξίσωσης, εάν γίνει για πάντα. Αυτό είναι σημαντικό για τη μελέτη της αλλαγής: μπορεί να θέλετε να μάθετε πόσο γρήγορα κινείται το αυτοκίνητό σας ανά πάσα στιγμή, αλλά είναι πόσο γρήγορα κινείται το αυτοκίνητό σας κατά τη διάρκεια του τρέχοντος δευτερολέπτου; Μιλιδευτερόλεπτο? Νανοδευτερόλεπτο? Μπορείτε να βρείτε απίστευτα μικρότερα κομμάτια του χρόνου να είναι ακόμη πιο ακριβή, και τότε έρχεται η ανάλυση.
3. Κατανοήστε την έννοια των ορίων. Ένα όριο σας λέει τι συμβαίνει όταν κάτι φτάνει στο άπειρο. Πάρτε τον αριθμό 1 και διαιρέστε τον με 2. Συνεχίστε να διαιρείτε με 2 ξανά και ξανά. 1 γίνεται 1/2 και στη συνέχεια 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, κ.λπ. Κάθε φορά που ο αριθμός γίνεται όλο και μικρότερος, "πλησιέστερα" στο μηδέν. Αλλά πού σταματά; Πόσες φορές πρέπει να διαιρέσετε το 1 με το 2 για να πάρετε το μηδέν; Αντί να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, στην ανάλυση ορίζετε ένα όριο Σε αυτήν την περίπτωση, το όριο είναι.
   • Τα όρια είναι το πιο εύκολο να οπτικοποιήσετε σε ένα γράφημα - για παράδειγμα, υπάρχουν σημεία που αγγίζει σχεδόν ένα γράφημα, αλλά ποτέ δεν είναι αρκετά;
   • Τα όρια μπορεί να είναι αριθμός, άπειρα ή ακόμη και ανύπαρκτα. Για παράδειγμα, με την ακολουθία προσθήκης 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... και αυτό συνεχίζεται επ 'αόριστον, ο τελικός αριθμός γίνεται απεριόριστα μεγάλος. Το όριο γίνεται άπειρο.
4. Διαβάστε τις βασικές μαθηματικές έννοιες της άλγεβρας, της τριγωνομετρίας και των βασικών μαθηματικών. Η ανάλυση βασίζεται σε πολλά από τα μαθηματικά που έχετε μάθει στο παρελθόν. Η καλή ενημέρωση για όλα τα θέματα καθιστά πολύ πιο εύκολο να μάθετε και να κατανοήσετε την ανάλυση. Ορισμένα θέματα που πρέπει να αναλυθούν είναι:
   • Αλγεβρα. Πρέπει να κατανοήσετε τις διαφορετικές διαδικασίες και να είστε σε θέση να επιλύσετε εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων με πολλαπλές μεταβλητές. Κατανοήστε τα βασικά των συλλογών. Εξασκηθείτε στη δημιουργία γραφημάτων.
   • Γεωμετρία. Η γεωμετρία είναι η μελέτη των σχημάτων. Θα πρέπει να έχετε βασικές γνώσεις για τρίγωνα, ορθογώνια και κύκλους και πώς να υπολογίζετε πράγματα όπως η περίμετρος και η περιοχή. Κατανοήστε τις γωνίες, τις γραμμές και τις συντεταγμένες
   • Τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των κύκλων και των δεξιών τριγώνων. Μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε τριγωνομετρικές ταυτότητες, γραφήματα, συναρτήσεις και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
5. Αγοράστε μια αριθμομηχανή γραφημάτων. Η ανάλυση δεν είναι εύκολη στην κατανόηση χωρίς να βλέπεις τι κάνεις. Οι αριθμομηχανές γραφικών κάνουν τις λειτουργίες οπτικές, ώστε να μπορείτε να κατανοήσετε καλύτερα τις εξισώσεις που αντιμετωπίζετε. Συχνά, τα όρια εμφανίζονται επίσης στην οθόνη και τα παράγωγα και οι συναρτήσεις υπολογίζονται αυτόματα.
   • Πολλά smartphone και tablet σήμερα προσφέρουν φθηνές αλλά αποτελεσματικές εφαρμογές γραφικών αν δεν θέλετε ή δεν μπορείτε να αγοράσετε μια αριθμομηχανή γραφικών.

Μέρος 2 από 3: Κατανόηση παραγώγων

1. Η ανάλυση χρησιμοποιείται για τη μελέτη της «αλλαγής σε μια συγκεκριμένη στιγμή». Το να γνωρίζετε γιατί κάτι αλλάζει σε μια ακριβή στιγμή είναι ο πυρήνας της ανάλυσης. Για παράδειγμα, η ανάλυση δεν σας δίνει μόνο την ταχύτητα ενός αυτοκινήτου, αλλά και πόσο αλλάζει αυτή η ταχύτητα ανά πάσα στιγμή. Αυτή είναι μια από τις απλούστερες χρήσεις της ανάλυσης, αλλά πολύ σημαντική. Φανταστείτε πόσο σημαντικές είναι αυτές οι πληροφορίες στον καθορισμό της ταχύτητας που απαιτείται για να φτάσετε ένα διαστημόπλοιο στο φεγγάρι!
   • Ο καθορισμός της αλλαγής σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή έχει διαφοροποιούν. Η διαφοροποίηση είναι ο πρώτος από τους δύο κύριους κλάδους ανάλυσης.
2. Χρησιμοποιήστε παράγωγα για να καταλάβετε πώς αλλάζουν τα πράγματα σε μια δεδομένη στιγμή. Ένα «παράγωγο» είναι μια ωραία λέξη για κάτι που συχνά κάνει τους μαθητές νευρικούς. Ωστόσο, η ίδια η έννοια δεν είναι τόσο δύσκολη στην κατανόηση - σημαίνει απλώς "πόσο γρήγορα κάτι αλλάζει". Τα παράγωγα που θα συναντήσετε περισσότερο στην καθημερινή ζωή έχουν να κάνουν με την ταχύτητα. Ωστόσο, συνήθως δεν το αποκαλείτε "παράγωγο της ταχύτητας", αλλά απλώς "επιτάχυνση".
   • Η επιτάχυνση είναι ένα παράγωγο - σας λέει πόσο γρήγορα κάτι επιταχύνεται ή επιβραδύνεται ή πώς αλλάζει η ταχύτητά του.
3. Να γνωρίζετε ότι ο ρυθμός αλλαγής ισούται με την κλίση μεταξύ δύο σημείων. Αυτή είναι μια από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις της ανάλυσης. Ο ρυθμός μεταβολής μεταξύ δύο σημείων είναι ίσος με την κλίση της γραμμής μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Σκεφτείτε απλώς μια απλή γραμμή, όπως αυτή της εξίσωσης ${ displaystyle y = 3x.}$Να γνωρίζετε ότι μπορείτε να προσδιορίσετε την κλίση των καμπυλών γραμμών. Ο προσδιορισμός της κλίσης μιας ευθείας γραμμής είναι σχετικά εύκολος: πόσες αλλαγές ${ displaystyle y}$Εάν θέλετε να υπολογίσετε την αλλαγή με μεγαλύτερη ακρίβεια, βεβαιωθείτε ότι τα σημεία είναι πιο κοντά μεταξύ τους. Όσο πιο κοντά επιλέγετε τα δύο σημεία, τόσο πιο ακριβής είναι η απάντησή σας. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να μάθετε πόσο επιταχύνεται το αυτοκίνητό σας όταν πατάτε το γκάζι. Δεν θέλετε να μετρήσετε την αλλαγή ταχύτητας μεταξύ του σπιτιού σας και του σούπερ μάρκετ, αλλά η αλλαγή ταχύτητας από τη στιγμή που χτυπάτε το γκάζι. Όσο πιο κοντά γίνεται η ανάγνωσή σας σε αυτό το δευτερόλεπτο, τόσο πιο ακριβής είναι ο υπολογισμός της αλλαγής.
   • Για παράδειγμα, οι επιστήμονες ερευνούν πόσο γρήγορα εξαφανίζονται ορισμένα είδη για να τα σώσουν. Ωστόσο, περισσότερα ζώα πεθαίνουν το χειμώνα από ό, τι το καλοκαίρι, οπότε δεν είναι χρήσιμο να μελετήσετε τον ρυθμό αλλαγής καθ 'όλη τη διάρκεια του έτους - είναι καλύτερα να προσδιορίσετε τον ρυθμό αλλαγής σε μικρότερη περίοδο, όπως από την 1η Ιουλίου έως την 1η Αυγούστου.
4. Χρησιμοποιήστε απείρως σύντομες γραμμές για να προσδιορίσετε τον "στιγμιαίο ρυθμό αλλαγής" ή να βρείτε το παράγωγο. Αυτό είναι όπου η ανάλυση συχνά γίνεται λίγο συγκεχυμένη, αλλά αυτό είναι στην πραγματικότητα το αποτέλεσμα δύο απλών γεγονότων. Πρώτα απ 'όλα, γνωρίζετε ότι η κλίση μιας γραμμής ισούται με το πόσο γρήγορα αλλάζει αυτή η γραμμή. Δεύτερον, γνωρίζετε ότι όσο πιο κοντά τα σημεία της γραμμής είναι το ένα στο άλλο, τόσο πιο ακριβής θα γίνει η ανάγνωση. Αλλά πώς βρίσκετε το ρυθμό αλλαγής σε ένα δεδομένο σημείο εάν η κλίση είναι η σχέση μεταξύ δύο σημείων; Η απάντηση: Επιλέγετε δύο σημεία που είναι απείρως κοντά μεταξύ τους.
   • Σκεφτείτε το παράδειγμα όπου συνεχίζετε να διαιρείτε 1 με 2, παίρνοντας έτσι 1/2, 1/4, 1/8 κ.λπ. Έτσι στο τέλος πλησιάζετε στο μηδέν και η απάντηση είναι "σχεδόν μηδέν". Τα σημεία είναι τόσο κοντά το ένα στο άλλο που είναι "σχεδόν ισοδύναμα μεταξύ τους". Αυτή είναι η φύση των παραγώγων.
5. Μάθετε πώς να προσδιορίζετε διάφορα παράγωγα. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές τεχνικές για την εύρεση ενός παραγώγου ανάλογα με την εξίσωση, αλλά οι περισσότερες από αυτές έχουν νόημα εάν έχετε απομνημονεύσει τα βασικά των παραγώγων παραπάνω. Όλα τα παράγωγα είναι ένας τρόπος εύρεσης της κλίσης μιας "άπειρης" γραμμής. Τώρα που γνωρίζετε περισσότερα για τη θεωρία παραγώγων, μεγάλο μέρος της δουλειάς είναι να βρείτε τις απαντήσεις.
6. Βρείτε τις παραγόμενες εξισώσεις για να προβλέψετε το ρυθμό αλλαγής ανά πάσα στιγμή. Είναι χρήσιμο να χρησιμοποιείτε παράγωγα για τον προσδιορισμό του ρυθμού αλλαγής ανά πάσα στιγμή, αλλά η ομορφιά της ανάλυσης είναι ότι μπορείτε να δημιουργήσετε ένα νέο μοντέλο για οποιαδήποτε λειτουργία. Το παράγωγο του ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Αν δυσκολεύεστε να το καταλάβετε, προσπαθήστε να θυμηθείτε τα πραγματικά παραδείγματα παραγώγων. Το απλούστερο παράδειγμα βασίζεται στην ταχύτητα, η οποία περιλαμβάνει πολλά διαφορετικά παράγωγα που συναντούμε καθημερινά. Μην ξεχάσεις: ένα παράγωγο είναι ένα μέτρο του πόσο γρήγορα κάτι αλλάζει. Σκεφτείτε ένα απλό πείραμα. Περάστε ένα μάρμαρο σε ένα τραπέζι και μετράτε πόσο μακριά κινείται και πόσο γρήγορα κάθε φορά. Τώρα φανταστείτε ότι το κυλιόμενο μάρμαρο ακολουθεί μια γραμμή σε ένα γράφημα - χρησιμοποιείτε παράγωγα για να μετρήσετε τις στιγμιαίες αλλαγές ανά πάσα στιγμή σε αυτήν τη γραμμή.
   • Πόσο γρήγορα κινείται το μάρμαρο; Σε ποια ταχύτητα αλλάζει η θέση (ή παράγωγο) του κινούμενου μαρμάρου; Αυτό το ονομάζουμε "ταχύτητα".
   • Περιστρέψτε το μάρμαρο σε μια πλαγιά και παρατηρήστε πώς αλλάζει η ταχύτητα. Ποιος είναι ο ρυθμός αλλαγής, ή παράγωγο, της ταχύτητας του μαρμάρου; Αυτό το παράγωγο είναι αυτό που αποκαλούμε «επιτάχυνση».
   • Τυλίξτε το μάρμαρο κατά μήκος ενός κυματιστού στίβου, όπως ένα τρενάκι. Σε ποιο βαθμό το μάρμαρο κερδίζει ταχύτητα όταν κυλάει και σε ποιο βαθμό το μάρμαρο επιβραδύνεται προς τα πάνω; Πόσο γρήγορα πηγαίνει το μάρμαρο όταν βρίσκεται στο μισό του πρώτου λόφου; Αυτός είναι ο στιγμιαίος ρυθμός αλλαγής ή το παράγωγο αυτού του μαρμάρου σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο.

Μέρος 3 από 3: Κατανοήστε τα ολοκληρώματα

1. Να γνωρίζετε ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ανάλυση για να βρείτε πολύπλοκες περιοχές και τόμους. Με την ανάλυση μπορείτε να μετρήσετε πολύπλοκα σχήματα που διαφορετικά είναι δύσκολο να μετρηθούν. Εξετάστε, για παράδειγμα, το πρόβλημα που θέλετε να μάθετε πόσο νερό περιέχει μια μεγάλη, ακανόνιστα σχηματισμένη λίμνη - είναι αδύνατο να μετρήσετε κάθε λίτρο νερού ξεχωριστά ή να χρησιμοποιήσετε ένα χάρακα για να μετρήσετε το σχήμα της λίμνης. Με την ανάλυση μπορείτε να μελετήσετε πώς αλλάζουν οι άκρες της λίμνης και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε αυτές τις πληροφορίες για να μάθετε πόση ποσότητα νερού περιέχει.
   • Δημιουργία γεωμετρικών μοντέλων και μελέτη των τόμων ενσωματώνουν. Ο ολοκληρωμένος λογισμός είναι ο δεύτερος σημαντικός κλάδος ανάλυσης.
2. Να γνωρίζετε ότι η ολοκλήρωση είναι η περιοχή κάτω από ένα γράφημα. Η ολοκλήρωση χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του χώρου κάτω από μια γραμμή, η οποία σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή των παράξενων ή ακανόνιστων σχημάτων. Πάρτε την εξίσωση ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Να γνωρίζετε ότι πρέπει να επιλέξετε μια περιοχή για ενσωμάτωση. Δεν μπορείτε απλά να ενσωματώσετε μια ολόκληρη λειτουργία. Για παράδειγμα, ${ displaystyle y = x}$Σκεφτείτε πώς να υπολογίσετε την περιοχή ενός ορθογωνίου. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια επίπεδη γραμμή πάνω από ένα γράφημα, όπως ${ displaystyle y = 4.}$Γνωρίστε ότι στον ακέραιο λογισμό προστίθενται πολλά μικρά ορθογώνια για να βρείτε την περιοχή μιας περιοχής. Όταν μεγεθύνετε μια καμπύλη πάρα πολύ, φαίνεται ότι είναι μια ευθεία γραμμή. Το βλέπετε αυτό κάθε μέρα - δεν μπορείτε να αντιληφθείτε την καμπυλότητα της γης επειδή είστε τόσο κοντά στην επιφάνεια της γης. Η ολοκλήρωση δημιουργεί έναν άπειρο αριθμό μικρών ορθογωνίων κάτω από μια καμπύλη που είναι τόσο μικρές που βασικά είναι επίπεδες, επιτρέποντάς σας να τις μετρήσετε. Όλα αυτά τα ορθογώνια που προστίθενται μαζί σχηματίζουν την περιοχή της περιοχής κάτω από μια καμπύλη.
   • Ας υποθέσουμε ότι προσθέτετε πολλά μικρά τμήματα κάτω από το γράφημα και αυτό είναι το πλάτος κάθε τμήματος σχεδόν είναι μηδέν.
3. Μάθετε πώς να διαβάζετε και να γράφετε σωστά τα ολοκληρώματα. Τα ολοκληρωμένα αποτελούνται από 4 μέρη. Ένα τυπικό ακέραιο μοιάζει με αυτό:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Μάθετε περισσότερα σχετικά με την εύρεση ολοκληρωμένων στοιχείων. Η ενσωμάτωση διατίθεται σε πολλές μορφές και πρέπει να μάθετε πολλούς διαφορετικούς τύπους για να ενσωματώσετε κάθε λειτουργία. Ωστόσο, όλοι ακολουθούν τις αρχές που περιγράφονται παραπάνω: η ολοκλήρωση είναι το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού πραγμάτων.
   • Ενσωμάτωση με αντικατάσταση.
   • Υπολογίστε αόριστα ολοκληρώματα.
   • Ενσωμάτωση με κοινή χρήση.
4. Να γνωρίζετε ότι η ολοκλήρωση είναι το αντίστροφο της διαφοροποίησης και το αντίστροφο. Αυτός είναι ένας κανόνας ανάλυσης που είναι τόσο σημαντικός που έχει το δικό του όνομα: το κύριο θεώρημα του ολοκληρωμένου υπολογισμού.Δεδομένου ότι η ολοκλήρωση και η διαφοροποίηση συνδέονται τόσο στενά, ένας συνδυασμός και των δύο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του ρυθμού αλλαγής, επιτάχυνσης, ταχύτητας, θέσης, κίνησης κ.λπ., ανεξάρτητα από τις πληροφορίες που έχετε.
   • Για παράδειγμα, να θυμάστε ότι το παράγωγο της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση, οπότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ταχύτητα για να βρείτε την επιτάχυνση. Αλλά αν γνωρίζετε μόνο την επιτάχυνση κάτι (όπως αντικείμενα που πέφτουν λόγω της βαρύτητας), τότε μπορείτε να ενσωματώσετε για να ανακτήσετε την ταχύτητα!
5. Να γνωρίζετε ότι με την ενσωμάτωση μπορείτε επίσης να ελέγχετε την ένταση των τρισδιάστατων αντικειμένων. Η περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος είναι ένας τρόπος δημιουργίας τρισδιάστατων στερεών. Φανταστείτε ένα νόμισμα να περιστρέφεται στο τραπέζι - παρατηρήστε πώς το κέρμα φαίνεται να έχει τη μορφή μιας σφαίρας καθώς περιστρέφεται. Αυτή η ιδέα σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε την ένταση σύμφωνα με μια διαδικασία γνωστή ως "ένταση με περιστροφή".
   • Αυτό σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τον όγκο οποιουδήποτε στερεού, αρκεί να έχετε μια συνάρτηση που την αντιπροσωπεύει. Για παράδειγμα, μπορείτε να δημιουργήσετε μια συνάρτηση που παρακολουθεί τον πυθμένα μιας λίμνης και στη συνέχεια να την χρησιμοποιήσετε για να προσδιορίσετε τον όγκο της λίμνης ή πόση ποσότητα νερού περιέχει.

Συμβουλές

• Η εξάσκηση κάνει τέλεια, έτσι κάνουν τις ασκήσεις στο βιβλίο σας - ακόμη και αυτές που ο δάσκαλός σας δεν έχει δώσει - και ελέγξτε τις απαντήσεις σας για να σας βοηθήσουν να κατανοήσετε καλύτερα τις έννοιες.
• Εάν δεν μπορείτε να βρείτε μια λύση, ρωτήστε τον δάσκαλό σας.