Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέθοδος 1 από 4: Υπολογίστε τη συνδιακύμανση με το χέρι χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο
• Μέθοδος 3 από 4: Χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών συνδιακύμανσης
• Μέθοδος 4 από 4: Ερμηνεία των αποτελεσμάτων της συνδιακύμανσης
• Προειδοποιήσεις

Η συνδιακύμανση είναι ένας στατιστικός υπολογισμός που καθιστά τη σχέση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων πιο διαφανή. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι οι ανθρωπολόγοι μελετούν το ύψος και το βάρος ενός πληθυσμού σε μια συγκεκριμένη κουλτούρα. Για κάθε άτομο στη μελέτη, το ύψος και το βάρος μπορούν να εμφανιστούν με ένα ζευγάρι δεδομένων (x, y). Αυτές οι τιμές μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε έναν τυποποιημένο τύπο για τον υπολογισμό της σχέσης συνδιακύμανσης. Αυτό το άρθρο εξηγεί πρώτα τους υπολογισμούς για τον προσδιορισμό της συνδιακύμανσης ενός συνόλου δεδομένων. Στη συνέχεια, θα συζητηθούν δύο άλλοι αυτοματοποιημένοι τρόποι προσδιορισμού του αποτελέσματος.

Για να πας

Μέθοδος 1 από 4: Υπολογίστε τη συνδιακύμανση με το χέρι χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο

1. Μάθετε τον τυποποιημένο τύπο συνδιακύμανσης και τα μέρη του. Ο τυπικός τύπος για τον υπολογισμό της συνδιακύμανσης είναι ${ displaystyle Sigma (x_ {i} -x _ { text {avg}}) (y_ {i} -y _ { text {avg}}) / (n-1)}$Κατασκευάστε τον πίνακα δεδομένων σας. Πριν ξεκινήσετε, είναι χρήσιμο να συλλέξετε τα δεδομένα σας. Δημιουργήστε έναν πίνακα που αποτελείται από πέντε στήλες. Πρέπει να δηλώσετε κάθε στήλη ως εξής:
   • ${ displaystyle x}$Υπολογίστε τον μέσο όρο των σημείων x δεδομένων. Αυτό το σύνολο δεδομένων δείγματος περιέχει 9 αριθμούς. Για να βρείτε το μέσο όρο, προσθέστε τα μαζί και διαιρέστε το άθροισμα με 9. Αυτό δίνει το αποτέλεσμα 1 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 + 12 + 2 + 4 = 44. Όταν το διαιρέσετε με το 9, παίρνετε το μέσο όρο 4.89. Αυτή είναι η τιμή που θα χρησιμοποιήσετε ως x (μέσος όρος) για τους προσεχείς υπολογισμούς.
   • Υπολογίστε τον μέσο όρο των σημείων δεδομένων y. Αυτή η στήλη y πρέπει επίσης να αποτελείται από 9 σημεία δεδομένων που συμπίπτουν με τα σημεία δεδομένων x. Προσδιορίστε τον μέσο όρο αυτών. Για αυτό το σύνολο δειγμάτων δεδομένων, αυτό γίνεται 8 + 6 + 9 + 4 + 3 + 3 + 2 + 7 + 7 = 49. Διαιρέστε αυτό το σύνολο με 9 για να λάβετε μέσο όρο 5,44. Θα χρησιμοποιήσετε το 5,44 ως την τιμή y (μέσος όρος) για τους επερχόμενους υπολογισμούς.
   • Υπολογίστε τις τιμές (ΧΕγώ−Χμέσος όρος){ displaystyle (x_ {i} -x _ { text {avg}})}Υπολογίστε τις τιμές (γΕγώ−γμέσος όρος){ displaystyle (y_ {i} -y _ { text {avg}})}Υπολογίστε τα προϊόντα για κάθε σειρά δεδομένων. Συμπληρώνετε τις σειρές της τελευταίας στήλης πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς που υπολογίσατε στις δύο προηγούμενες στήλες του ${ displaystyle (x_ {i} -x _ { text {avg}})}$Βρείτε το άθροισμα των τιμών στην τελευταία στήλη. Εδώ μπαίνει το σύμβολο Σ. Αφού κάνετε όλους τους υπολογισμούς μέχρι τώρα, προσθέστε τα αποτελέσματα μαζί. Για αυτό το δείγμα συνόλου δεδομένων, θα πρέπει τώρα να έχετε εννέα τιμές στην τελευταία στήλη. Προσθέστε αυτούς τους εννέα αριθμούς μαζί. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στο εάν ένας αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός.
     • Το άθροισμα αυτού του δείγματος συνόλου δεδομένων θα πρέπει να προσθέσει έως -64,57. Γράψτε αυτό το σύνολο στο κενό στο κάτω μέρος της στήλης. Αυτή είναι η τιμή του αριθμητή του τυπικού τύπου συνδιακύμανσης.
   • Υπολογίστε τον παρονομαστή του τύπου συνδιακύμανσης. Ο αριθμητής του τυπικού τύπου συνδιακύμανσης είναι η τιμή που μόλις υπολογίσατε. Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύεται από το (n-1) και είναι μικρότερος από τον αριθμό των ζευγών των δεδομένων στο σύνολο δεδομένων σας.
     • Σε αυτό το παράδειγμα προβλήματος, υπάρχουν εννέα ζεύγη δεδομένων, οπότε το n είναι 9. Επομένως, η τιμή του (n-1) είναι ίση με 8.
   • Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Το τελευταίο βήμα στον υπολογισμό της συνδιακύμανσης είναι να διαιρέσετε τον αριθμητή, ${ displaystyle Sigma (x_ {i} -x _ { text {avg}}) (y_ {i} -y _ { text {avg}})}$Παρατηρήστε ποιοι είναι οι επαναλαμβανόμενοι υπολογισμοί. Το Covariance είναι ένας υπολογισμός που πρέπει να κάνετε με το χέρι μερικές φορές για να καταλάβετε τη σημασία του αποτελέσματος. Ωστόσο, εάν πρόκειται να χρησιμοποιείτε συνήθη συνήθεια για την ερμηνεία δεδομένων, τότε χρειάζεστε έναν πιο γρήγορο και πιο αυτοματοποιημένο τρόπο για να λάβετε τα αποτελέσματα. Μέχρι τώρα μπορεί να έχετε παρατηρήσει ότι με το σχετικά μικρό σύνολο δεδομένων με μόλις εννέα ζεύγη δεδομένων, οι υπολογισμοί αποτελούνταν από δύο μέσα, δεκαοκτώ ξεχωριστές αφαιρέσεις, εννέα πολλαπλασιασμούς, μία προσθήκη και τέλος μια άλλη διαίρεση. Αυτοί είναι 31 σχετικά μικροί υπολογισμοί για να βρούμε τη λύση. Στην πορεία διατρέχετε τον κίνδυνο να χάσετε αρνητικά σημάδια ή να αντιγράψετε εσφαλμένα τα αποτελέσματα, έτσι ώστε η απάντηση να μην είναι πλέον σωστή.
   • Δημιουργήστε ένα φύλλο εργασίας για τον υπολογισμό της συνδιακύμανσης. Εάν είστε εξοικειωμένοι με το Excel (ή άλλο πρόγραμμα υπολογισμού), μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε έναν πίνακα για τον προσδιορισμό της συνδιακύμανσης. Επισημάνετε τις επικεφαλίδες των πέντε στηλών όπως κάνατε για τους υπολογισμούς με το χέρι: x, y, (x (i) -x (avg)), (y (i) -y (avg)) και Product.
     • Για να απλοποιήσετε την ονομασία, καλέστε την τρίτη στήλη όπως "διαφορά x" και την τέταρτη στήλη "διαφορά y", αρκεί να θυμάστε την έννοια των δεδομένων.
     • Εάν ο πίνακας ξεκινά στην επάνω αριστερή γωνία του φύλλου εργασίας, το κελί A1 θα φέρει την ένδειξη x, ενώ οι άλλες ετικέτες συνεχίζουν μέχρι το κελί E1.
   • Εισαγάγετε τα σημεία δεδομένων. Εισαγάγετε τις τιμές δεδομένων στις δύο στήλες x και y. Θυμηθείτε ότι η σειρά των σημείων δεδομένων έχει σημασία, επομένως πρέπει να αντιστοιχίσετε κάθε y με την αντίστοιχη τιμή του x.
     • Οι τιμές x ξεκινούν στο κελί A2 και συνεχίζουν μέχρι τον αριθμό των σημείων δεδομένων που χρειάζεστε.
     • Οι τιμές y ξεκινούν από το κελί B2 και συνεχίζονται μέχρι τον αριθμό των σημείων δεδομένων που χρειάζεστε.
   • Προσδιορίστε τα μέσα των τιμών x και y. Το Excel υπολογίζει τους μέσους όρους πολύ γρήγορα. Στο πρώτο κενό κελί κάτω από κάθε στήλη δεδομένων, πληκτρολογήστε τον τύπο = ΜΕΣΟ (A2: A ___). Συμπληρώστε τον κενό χώρο με τον αριθμό του κελιού που αντιστοιχεί στο τελευταίο σημείο δεδομένων σας.
     • Για παράδειγμα, εάν έχετε 100 σημεία δεδομένων, τα κελιά A2 έως A101 είναι γεμάτα, οπότε στο κελί πληκτρολογείτε = AVERAGE (A2: A101).
     • Για τα δεδομένα y, πληκτρολογήστε τον τύπο = ΜΕΣΟ (B2: B101).
     • Να θυμάστε ότι ένας τύπος στο Excel ξεκινά με ένα σύμβολο "=".
   • Πληκτρολογήστε τον τύπο για τη στήλη (x (i) -x (avg)). Στο κελί C2, εισαγάγετε τον τύπο για τον υπολογισμό της πρώτης αφαίρεσης. Αυτός ο τύπος γίνεται: = A2 -___. Συμπληρώστε τον κενό χώρο με τη διεύθυνση κελιού που περιέχει τη μέση τιμή των δεδομένων x.
     • Για παράδειγμα, από τα 100 σημεία δεδομένων, ο μέσος όρος θα είναι στο κελί A103, οπότε ο τύπος σας γίνεται: = A2-A103.
   • Επαναλάβετε τον τύπο για τα σημεία δεδομένων (y (i) -y (avg)). Ακολουθώντας το ίδιο παράδειγμα, μπαίνει στο κελί D2. Ο τύπος γίνεται: = B2-B103.
   • Πληκτρολογήστε τον τύπο για τη στήλη "Προϊόν". Στην πέμπτη στήλη, πληκτρολογήστε στο κελί E2 τον τύπο για τον υπολογισμό του προϊόντος των δύο προηγούμενων κελιών. Αυτό γίνεται τότε: = C2 * D2.
   • Αντιγράψτε τους τύπους για να συμπληρώσετε τον πίνακα. Μέχρι τώρα, έχετε προγραμματίσει μόνο τα πρώτα σημεία δεδομένων στη σειρά 2. Χρησιμοποιώντας το ποντίκι σας, σημειώστε τα κελιά C2, D2 και E2. Τοποθετήστε τον κέρσορα στο μικρό πλαίσιο στην κάτω δεξιά γωνία μέχρι να εμφανιστεί ένα σύμβολο συν. Κάντε κλικ και κρατήστε πατημένο το κουμπί του ποντικιού και σύρετε το ποντίκι προς τα κάτω για να επεκτείνετε την επιλογή και να γεμίσετε ολόκληρο τον πίνακα δεδομένων. Αυτό το βήμα θα αντιγράψει αυτόματα τους τρεις τύπους από τα κελιά C2, D2 και E2 σε ολόκληρο τον πίνακα. Ο πίνακας πρέπει να συμπληρώνεται αυτόματα με όλους τους υπολογισμούς.
   • Προγραμματίστε το άθροισμα της τελευταίας στήλης. Χρειάζεστε το άθροισμα των στοιχείων στη στήλη "Προϊόν". Στο κενό κελί ακριβώς κάτω από το τελευταίο σημείο δεδομένων σε αυτήν τη στήλη, πληκτρολογήστε τον τύπο: = SUM (E2: E ___). Συμπληρώστε τον κενό χώρο με τη διεύθυνση κελιού του τελευταίου σημείου δεδομένων.
     • Στο παράδειγμα με 100 σημεία δεδομένων, αυτός ο τύπος μπαίνει στο κελί E103. Τύπος: = SUM (E2: E102).
   • Προσδιορίστε τη συνδιακύμανση. Μπορείτε επίσης να κάνετε το Excel να εκτελέσει τον τελικό υπολογισμό για εσάς. Ο τελευταίος υπολογισμός στο κελί E103 στο παράδειγμά μας αντιπροσωπεύει τον αριθμητή του τύπου συνδιακύμανσης. Ακριβώς κάτω από αυτό το κελί, πληκτρολογήστε τον τύπο: = E103 / ___. Γεμίστε τον κενό χώρο με τον αριθμό των σημείων δεδομένων που έχετε. Στο παράδειγμά μας, αυτό είναι 100. Το αποτέλεσμα είναι η συνδιακύμανση των δεδομένων σας.

Μέθοδος 3 από 4: Χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών συνδιακύμανσης

1. Αναζήτηση στο διαδίκτυο για υπολογιστές συνδιακύμανσης. Διάφορα σχολεία, εταιρείες ή άλλες πηγές διαθέτουν ιστότοπους που υπολογίζουν τις τιμές συνδιακύμανσης πολύ εύκολα για εσάς. Χρησιμοποιήστε τον όρο αναζήτησης "covariance calculator" σε μια μηχανή αναζήτησης.
2. Εισαγάγετε τα στοιχεία σας. Διαβάστε προσεκτικά τις οδηγίες στον ιστότοπο για να βεβαιωθείτε ότι έχετε εισαγάγει τις πληροφορίες σωστά. Είναι σημαντικό τα ζεύγη δεδομένων σας να διατηρούνται σε τάξη, διαφορετικά το αποτέλεσμα που δημιουργείται θα είναι λανθασμένη συνδιακύμανση. Οι ιστότοποι έχουν διαφορετικά στυλ εισαγωγής δεδομένων.
   • Για παράδειγμα, στον ιστότοπο http://ncalculators.com/statistics/covariance-calculator.htm, υπάρχει ένα οριζόντιο πλαίσιο για την εισαγωγή των τιμών x και ένα δεύτερο οριζόντιο πλαίσιο για την εισαγωγή των τιμών y. Πρέπει να εισαγάγετε τα δεδομένα σας διαχωρισμένα με κόμματα. Έτσι, το σύνολο δεδομένων x που υπολογίστηκε νωρίτερα σε αυτό το άρθρο θα πρέπει στη συνέχεια να εισαχθεί ως 1,3,2,5,8,7,12,2,4. Τα δεδομένα y ως 8,6,9,4,3,3,2,7,7.
   • Σε έναν άλλο ιστότοπο, https://www.thecalculator.co/math/Covariance-Calculator-705.html, θα σας ζητηθεί να εισαγάγετε τα δεδομένα x στο πρώτο πλαίσιο. Τα δεδομένα εισάγονται κάθετα, με ένα στοιχείο ανά γραμμή. Επομένως, η καταχώριση σε αυτόν τον ιστότοπο μοιάζει με:
   • 1
   • 3
   • 2
   • 5
   • 8
   • 7
   • 12
   • 2
   • 4
3. Υπολογίστε τα αποτελέσματά σας. Το ελκυστικό πράγμα για αυτούς τους διαδικτυακούς υπολογισμούς είναι ότι μετά την εισαγωγή των δεδομένων, συνήθως πρέπει μόνο να κάνετε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός" και τα αποτελέσματα θα εμφανιστούν αυτόματα. Οι περισσότεροι ιστότοποι θα σας παρέχουν τους ενδιάμεσους υπολογισμούς των x (avg), y (avg) και n.

Μέθοδος 4 από 4: Ερμηνεία των αποτελεσμάτων της συνδιακύμανσης

1. Ψάξτε για μια θετική ή αρνητική σχέση. Η συνδιακύμανση είναι ένας μεμονωμένος στατιστικός αριθμός που δείχνει τη σχέση μεταξύ ενός συνόλου δεδομένων και ενός άλλου. Στο παράδειγμα που αναφέρεται στην εισαγωγή, μετράται το ύψος και το βάρος. Θα περιμένατε ότι καθώς οι άνθρωποι μεγαλώνουν, το βάρος τους θα αυξηθεί, οδηγώντας σε μια θετική άποψη συνδιακύμανσης. Ένα άλλο παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι συλλέγονται δεδομένα που υποδεικνύουν τον αριθμό ωρών που κάποιος ασκεί γκολφ και το σκορ που επιτυγχάνει. Σε αυτήν την περίπτωση αναμένετε αρνητική συνδιακύμανση, που σημαίνει ότι καθώς ο αριθμός των ωρών προπόνησης αυξάνεται, η βαθμολογία του γκολφ θα μειωθεί. (Στο γκολφ, το χαμηλότερο σκορ είναι καλύτερο).
   • Εξετάστε το σύνολο δειγμάτων δεδομένων που υπολογίστηκε παραπάνω. Η προκύπτουσα συνδιακύμανση είναι -8.07. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι καθώς οι τιμές x αυξάνονται, οι τιμές y τείνουν να μειώνονται. Μπορείτε να δείτε ότι αυτό ισχύει ας κοιτάξουμε μερικές από τις τιμές. Για παράδειγμα, οι τιμές x των 1 και 2 αντιστοιχούν στις τιμές y των 7, 8 και 9. Οι τιμές x των 8 και 12 συνδέονται με τις τιμές y των 3 και 2, αντίστοιχα .
2. Ερμηνεύστε το μέγεθος της συνδιακύμανσης. Εάν ο αριθμός της βαθμολογίας συνδιακύμανσης είναι μεγάλος, είτε ένας μεγάλος θετικός αριθμός είτε ένας μεγάλος αρνητικός αριθμός, τότε μπορείτε να το ερμηνεύσετε ως δύο στοιχεία δεδομένων που συνδέονται έντονα, είτε με θετικό είτε με αρνητικό τρόπο.
   • Η συνδιακύμανση -8.07 του δείγματος συνόλου δεδομένων είναι αρκετά μεγάλη. Σημειώστε ότι τα δεδομένα κυμαίνονται από 1 έως 12. Έτσι, το 8 είναι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός. Αυτό δείχνει μια αρκετά ισχυρή σχέση μεταξύ των συνόλων δεδομένων x και y.
3. Κατανοήστε την έλλειψη σχέσης. Εάν το αποτέλεσμά σας είναι συνδιακύμανση ίσο ή πολύ κοντά στο 0, μπορείτε να συμπεράνετε ότι τα σημεία δεδομένων δεν σχετίζονται. Δηλαδή, μια αύξηση σε μια τιμή μπορεί, αλλά δεν χρειάζεται να οδηγήσει σε αύξηση της άλλης. Οι δύο όροι συνδέονται σχεδόν τυχαία.
   • Ας υποθέσουμε ότι συσχετίζετε τα μεγέθη παπουτσιών με τους βαθμούς των εξετάσεων. Επειδή υπάρχουν τόσοι πολλοί παράγοντες που επηρεάζουν τους βαθμούς εξετάσεων ενός μαθητή, μπορεί να αναμένεται βαθμολογία συνδιακύμανσης κοντά στο 0. Αυτό δείχνει ότι δεν υπάρχει σχεδόν καμία σχέση μεταξύ των δύο τιμών.
4. Δείτε τη σχέση γραφικά. Για να κατανοήσετε οπτικά τη συνδιακύμανση, μπορείτε να σχεδιάσετε τα σημεία δεδομένων σας σε ένα γράφημα x, y. Όταν το κάνετε αυτό, θα πρέπει να δείτε πολύ εύκολα ότι τα σημεία, ενώ δεν είναι ακριβώς σε ευθεία γραμμή, τείνουν να πλησιάζουν ένα σύμπλεγμα σε μια διαγώνια γραμμή από πάνω αριστερά προς τα κάτω δεξιά. Αυτή είναι η περιγραφή μιας αρνητικής συνδιακύμανσης. Μπορείτε επίσης να δείτε ότι η τιμή της συνδιακύμανσης ισούται με -8,07. Αυτός είναι αρκετά μεγάλος αριθμός σε σύγκριση με τα σημεία δεδομένων. Ο υψηλός αριθμός υποδηλώνει ότι η συνδιακύμανση είναι αρκετά ισχυρή, την οποία μπορείτε να συναγάγετε από το γραμμικό σχήμα των σημείων δεδομένων.
   • Για να το διαβάσετε ξανά, διαβάστε άρθρα σχετικά με τη σχεδίαση σημείων σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο wikiHow.

Προειδοποιήσεις

• Η Covariance έχει περιορισμένη εφαρμογή στα στατιστικά. Είναι συχνά ένα βήμα προς τον υπολογισμό των συντελεστών συσχέτισης ή άλλων εννοιών. Προσέξτε τις υπερβολικά τολμηρές ερμηνείες που βασίζονται στη βαθμολογία συνδιακύμανσης.