Περιεχόμενο

• Για να πας
• Μέρος 1 από 4: Σχεδίαση της μήτρας
• Μέρος 2 από 4: Εκμάθηση των λειτουργιών για την επίλυση ενός συστήματος με μια μήτρα
• Μέρος 3 από 4: Συγχώνευση των βημάτων για την επίλυση του γαλαξία
• Μέρος 4 από 4: Έλεγχος της λύσης σας
• Συμβουλές

Ο πίνακας είναι ένας πολύ χρήσιμος τρόπος αναπαραγωγής αριθμών σε μορφή μπλοκ, τον οποίο μπορείτε στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Εάν έχετε μόνο δύο μεταβλητές, πιθανότατα θα χρησιμοποιήσετε μια διαφορετική μέθοδο. Διαβάστε σχετικά με αυτό στην επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων για παραδείγματα αυτών των άλλων μεθόδων. Αλλά αν έχετε τρεις ή περισσότερες μεταβλητές, ένας πίνακας είναι ιδανικός. Χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενους συνδυασμούς πολλαπλασιασμού και προσθήκης, μπορείτε συστηματικά να βρείτε μια λύση.

Για να πας

Μέρος 1 από 4: Σχεδίαση της μήτρας

1. Βεβαιωθείτε ότι έχετε επαρκή δεδομένα. Για να λάβετε μια μοναδική λύση για κάθε μεταβλητή σε ένα γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας μια μήτρα, πρέπει να έχετε τόσες εξισώσεις με τον αριθμό των μεταβλητών που προσπαθείτε να λύσετε. Για παράδειγμα: με τις μεταβλητές x, y και z χρειάζεστε τρεις εξισώσεις. Εάν έχετε τέσσερις μεταβλητές, χρειάζεστε τέσσερις εξισώσεις.
   • Εάν έχετε λιγότερες εξισώσεις από τον αριθμό των μεταβλητών, θα βρείτε ορισμένα όρια των μεταβλητών (όπως x = 3y και y = 2z), αλλά δεν μπορείτε να βρείτε μια ακριβή λύση. Για αυτό το άρθρο θα εργαστούμε μόνο για μια μοναδική λύση.
2. Γράψτε τις εξισώσεις σας στην τυπική φόρμα. Προτού μπορέσετε να βάλετε δεδομένα από τις εξισώσεις σε μια φόρμα matrix, γράφετε πρώτα κάθε εξίσωση σε τυπική μορφή. Η τυπική φόρμα για μια γραμμική εξίσωση είναι Ax + By + Cz = D, όπου τα κεφαλαία γράμματα είναι οι συντελεστές (αριθμοί) και ο τελευταίος αριθμός (D σε αυτό το παράδειγμα) βρίσκεται στα δεξιά του ίσου σημείου.
   • Εάν έχετε περισσότερες μεταβλητές, απλώς συνεχίστε τη γραμμή για όσο χρειάζεται. Για παράδειγμα, εάν προσπαθούσατε να λύσετε ένα σύστημα με έξι μεταβλητές, το προεπιλεγμένο σχήμα σας θα μοιάζει με Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. Σε αυτό το άρθρο θα επικεντρωθούμε σε συστήματα με μόνο τρεις μεταβλητές. Η επίλυση ενός μεγαλύτερου γαλαξία είναι ακριβώς η ίδια, αλλά χρειάζεται περισσότερος χρόνος και περισσότερα βήματα.
   • Σημειώστε ότι σε τυπική μορφή, οι λειτουργίες μεταξύ των όρων είναι πάντα μια προσθήκη. Εάν υπάρχει αφαίρεση στην εξίσωση σας, αντί για προσθήκη, θα πρέπει να το επεξεργαστείτε αργότερα κάνοντας τον συντελεστή σας αρνητικό. Για να γίνει πιο εύκολο να το θυμάστε, μπορείτε να ξαναγράψετε την εξίσωση και να προσθέσετε τη λειτουργία και να κάνετε τον συντελεστή αρνητικό. Για παράδειγμα, μπορείτε να ξαναγράψετε την εξίσωση 3x-2y + 4z = 1 ως 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Τοποθετήστε τους αριθμούς από το σύστημα εξισώσεων σε έναν πίνακα. Το matrix είναι μια ομάδα αριθμών, διατεταγμένων σε ένα είδος πίνακα, με τον οποίο θα εργαστούμε για την επίλυση του συστήματος. Περιέχει βασικά τα ίδια δεδομένα με τις ίδιες τις εξισώσεις, αλλά σε απλούστερη μορφή. Για να δημιουργήσετε τον πίνακα των εξισώσεων σας σε τυπική μορφή, απλώς αντιγράψτε τους συντελεστές και το αποτέλεσμα κάθε εξίσωσης σε μία μόνο σειρά και στοίβατε αυτές τις σειρές το ένα πάνω στο άλλο.
   • Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα σύστημα που αποτελείται από τις τρεις εξισώσεις 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 και x + y + z = 7. Η επάνω σειρά του πίνακα σας θα περιέχει τους αριθμούς 3, 1, -1, 9, καθώς αυτοί είναι οι συντελεστές και η λύση της πρώτης εξίσωσης. Σημειώστε ότι οποιαδήποτε μεταβλητή που δεν έχει συντελεστή θεωρείται ότι έχει συντελεστή 1. Η δεύτερη σειρά του πίνακα γίνεται 2, -2, 1, -3 και η τρίτη σειρά γίνεται 1, 1, 1, 7.
   • Βεβαιωθείτε ότι έχετε ευθυγραμμίσει τους συντελεστές x στην πρώτη στήλη, τους συντελεστές y στη δεύτερη, τους συντελεστές z στην τρίτη και τους όρους λύσης στην τέταρτη. Όταν τελειώσετε με τη μήτρα, αυτές οι στήλες θα είναι σημαντικές όταν γράφετε τη λύση σας.
4. Σχεδιάστε ένα μεγάλο τετράγωνο αγκύλη γύρω από ολόκληρη τη μήτρα σας. Κατά συνθήκη, μια μήτρα υποδεικνύεται από ένα ζευγάρι αγκύλες, [], γύρω από ολόκληρο το μπλοκ αριθμών. Οι αγκύλες δεν επηρεάζουν καθόλου τη λύση, αλλά δείχνουν ότι εργάζεστε με πίνακες. Ένας πίνακας μπορεί να αποτελείται από οποιονδήποτε αριθμό γραμμών και στηλών. Σε αυτό το άρθρο, θα χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις γύρω από όρους στη σειρά για να δείξουμε ότι ανήκουν μαζί.
5. Χρήση κοινού συμβολισμού. Όταν εργάζεστε με πίνακες, είναι σύνηθες να αναφέρεται στις σειρές με τη συντομογραφία R και στις στήλες με τη συντομογραφία C. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αριθμούς μαζί με αυτά τα γράμματα για να υποδείξετε μια συγκεκριμένη σειρά ή στήλη. Για παράδειγμα, για να υποδείξετε τη σειρά 1 ενός πίνακα, μπορείτε να γράψετε το R1. Στη συνέχεια, η σειρά 2 γίνεται R2.
   • Μπορείτε να υποδείξετε οποιαδήποτε συγκεκριμένη θέση σε έναν πίνακα χρησιμοποιώντας έναν συνδυασμό R και C. Για παράδειγμα, για να υποδείξετε έναν όρο στη δεύτερη σειρά, τρίτη στήλη, θα μπορούσατε να τον ονομάσετε R2C3.

Μέρος 2 από 4: Εκμάθηση των λειτουργιών για την επίλυση ενός συστήματος με μια μήτρα

1. Κατανοήστε το σχήμα της μήτρας διαλύματος. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε το σύστημα εξισώσεων σας, πρέπει να καταλάβετε τι πρόκειται να κάνετε με τη μήτρα. Σε αυτό το σημείο έχετε έναν πίνακα που μοιάζει με αυτό:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Εργάζεστε με έναν αριθμό βασικών λειτουργιών για τη δημιουργία του "matrix λύσης". Ο πίνακας λύσεων θα έχει την εξής μορφή:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 ε
   • 0 0 1 z
   • Σημειώστε ότι ο πίνακας αποτελείται από 1 σε διαγώνια γραμμή με 0 σε όλους τους άλλους χώρους εκτός από την τέταρτη στήλη. Οι αριθμοί στην τέταρτη στήλη είναι η λύση για τις μεταβλητές x, y και z.
2. Χρησιμοποιήστε κλιμακωτό πολλαπλασιασμό. Το πρώτο εργαλείο που έχετε στη διάθεσή σας για την επίλυση ενός συστήματος που χρησιμοποιεί μια μήτρα είναι ο κλιμακωτός πολλαπλασιασμός. Αυτός είναι απλά ένας όρος που σημαίνει ότι πολλαπλασιάζετε τα στοιχεία σε μια σειρά του πίνακα με έναν σταθερό αριθμό (όχι μια μεταβλητή). Όταν χρησιμοποιείτε κλιμακωτό πολλαπλασιασμό, λάβετε υπόψη ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ολόκληρης της σειράς με όποιο αριθμό επιλέξετε. Εάν ξεχάσετε τον πρώτο όρο και απλώς πολλαπλασιάσετε, θα πάρετε τη λάθος λύση. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο τον πίνακα ταυτόχρονα. Σε βαθμιαίο πολλαπλασιασμό, εργάζεστε μόνο σε μία σειρά κάθε φορά.
   • Είναι συνηθισμένο να χρησιμοποιείτε κλάσματα στον κλιματικό πολλαπλασιασμό, επειδή συχνά θέλετε να έχετε μια διαγώνια σειρά 1. Συνηθίστε να εργάζεστε με κλάσματα. Θα είναι επίσης ευκολότερο (για τα περισσότερα βήματα επίλυσης του πίνακα) να μπορείτε να γράψετε τα κλάσματά σας σε ακατάλληλη μορφή και, στη συνέχεια, να τα μετατρέψετε σε μικτούς αριθμούς για την τελική λύση. Επομένως, το νούμερο 1 2/3 είναι πιο εύκολο να δουλέψετε αν το γράψετε ως 5/3.
   • Για παράδειγμα, η πρώτη σειρά (R1) του προβλήματος παραδείγματος ξεκινά με τους όρους [3,1, -1,9]. Ο πίνακας διαλύματος πρέπει να περιέχει 1 στην πρώτη θέση της πρώτης σειράς. Για να "αλλάξετε" το 3 σε 1, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη τη σειρά με 1/3. Αυτό δημιουργεί το νέο R1 του [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Φροντίστε να αφήσετε τυχόν αρνητικά σημάδια όπου βρίσκονται.
3. Χρησιμοποιήστε προσθήκη σειράς ή αφαίρεση σειράς. Το δεύτερο εργαλείο που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είναι να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δύο σειρές του πίνακα. Για να δημιουργήσετε τους όρους 0 στον πίνακα λύσεων, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε αριθμούς για να φτάσετε στο 0. Για παράδειγμα, εάν το R1 είναι matrix [1,4,3,2] και το R2 είναι [1,3,5,8], τότε μπορείτε να αφαιρέσετε την πρώτη σειρά από τη δεύτερη σειρά και να δημιουργήσετε μια νέα σειρά [0, -1, 2.6], επειδή 1-1 = 0 (πρώτη στήλη), 3-4 = -1 (δεύτερη στήλη), 5-3 = 2 (τρίτη στήλη) και 8-2 = 6 (τέταρτη στήλη). Κατά την εκτέλεση προσθήκης γραμμής ή αφαίρεσης σειράς, ξαναγράψτε το νέο αποτέλεσμα αντί της γραμμής με την οποία ξεκινήσατε. Σε αυτήν την περίπτωση θα εξαγάγαμε τη σειρά 2 και θα εισαγάγαμε τη νέα σειρά [0, -1,2,6].
   • Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε συντομογραφία και να δηλώσετε αυτήν την ενέργεια ως R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Να θυμάστε ότι η προσθήκη και η αφαίρεση είναι ακριβώς αντίθετες μορφές της ίδιας λειτουργίας. Σκεφτείτε το ότι προσθέτετε δύο αριθμούς ή αφαιρώντας το αντίθετο. Για παράδειγμα, εάν ξεκινήσετε με την απλή εξίσωση 3-3 = 0, μπορείτε να το θεωρήσετε ως πρόβλημα προσθήκης 3 + (- 3) = 0. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Αυτό φαίνεται απλό, αλλά μερικές φορές είναι πιο εύκολο να εξετάσουμε ένα πρόβλημα με τη μία ή την άλλη μορφή. Απλά προσέξτε τα αρνητικά σας σημάδια.
4. Συνδυάστε την προσθήκη σειράς και τον κλιματικό πολλαπλασιασμό σε ένα βήμα. Δεν μπορείτε να περιμένετε τους όρους να ταιριάζουν πάντα, οπότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια απλή προσθήκη ή αφαίρεση για να δημιουργήσετε 0 στη μήτρα σας. Τις περισσότερες φορές θα πρέπει να προσθέσετε (ή να αφαιρέσετε) ένα πολλαπλάσιο από μια άλλη σειρά. Για να το κάνετε αυτό, πρώτα κάνετε τον κλιματικό πολλαπλασιασμό και, στη συνέχεια, προσθέστε το αποτέλεσμα στη γραμμή στόχου που προσπαθείτε να αλλάξετε.
   • Υποθέτω; ότι υπάρχει μια σειρά 1 του [1,1,2,6] και μια σειρά 2 του [2,3,1,1]. Θέλετε έναν όρο 0 στην πρώτη στήλη του R2. Δηλαδή, θέλετε να αλλάξετε το 2 σε 0. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αφαιρέσετε το 2. Μπορείτε να πάρετε ένα 2 πολλαπλασιάζοντας τη σειρά 1 με τον κλιματικό πολλαπλασιασμό 2 και, στη συνέχεια, αφαιρώντας την πρώτη σειρά από τη δεύτερη σειρά. Με λίγα λόγια, αυτό μπορεί να γραφτεί ως R2-2 * R1. Πρώτα, πολλαπλασιάστε το R1 με 2 για να πάρετε [2,2,4,12]. Στη συνέχεια, αφαιρέστε το από το R2 για να πάρετε [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Απλοποιήστε αυτό και το νέο R2 σας θα είναι [0,1, -3, -11].
5. Αντιγράψτε σειρές που παραμένουν αμετάβλητες καθώς εργάζεστε. Καθώς εργάζεστε στη μήτρα, θα αλλάζετε μία μόνο σειρά κάθε φορά, είτε με κλιμακωτό πολλαπλασιασμό, προσθήκη σειράς ή αφαίρεση σειράς ή με συνδυασμό βημάτων. Όταν αλλάζετε μια σειρά, φροντίστε να αντιγράψετε τις άλλες σειρές του πίνακα σας στην αρχική τους μορφή.
   • Ένα κοινό σφάλμα παρουσιάζεται κατά την εκτέλεση ενός συνδυασμένου βήματος πολλαπλασιασμού και προσθήκης σε μία κίνηση. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε το R1 από το R2 δύο φορές. Όταν πολλαπλασιάζετε το R1 με 2 για να κάνετε αυτό το βήμα, θυμηθείτε ότι το R1 δεν αλλάζει στη μήτρα. Κάνετε τον πολλαπλασιασμό μόνο για να αλλάξετε το R2. Πρώτα αντιγράψτε το R1 στην αρχική του μορφή και μετά κάντε την αλλαγή σε R2.
6. Πρώτη εργασία από πάνω προς τα κάτω. Για την επίλυση του συστήματος, εργάζεστε σε ένα πολύ οργανωμένο μοτίβο, ουσιαστικά "λύνοντας" έναν όρο του πίνακα κάθε φορά. Η ακολουθία για έναν πίνακα τριών μεταβλητών θα έχει την εξής μορφή:
   • 1. Δημιουργήστε ένα 1 στην πρώτη σειρά, πρώτη στήλη (R1C1).
   • 2. Κάντε ένα 0 στη δεύτερη σειρά, πρώτη στήλη (R2C1).
   • 3. Δημιουργήστε ένα 1 στη δεύτερη σειρά, δεύτερη στήλη (R2C2).
   • 4. Δημιουργήστε ένα 0 στην τρίτη σειρά, πρώτη στήλη (R3C1).
   • 5. Δημιουργήστε ένα 0 στην τρίτη σειρά, δεύτερη στήλη (R3C2).
   • 6. Δημιουργήστε ένα 1 στην τρίτη σειρά, τρίτη στήλη (R3C3).
7. Εργαστείτε από κάτω προς τα πάνω. Σε αυτό το σημείο, εάν κάνατε τα βήματα σωστά, είστε στη μέση της λύσης. Πρέπει να έχετε τη διαγώνια γραμμή του 1, με 0 κάτω από αυτήν. Οι αριθμοί στην τέταρτη στήλη δεν έχουν σημασία σε αυτό το σημείο. Τώρα εργάζεστε πίσω στην κορυφή ως εξής:
   • Δημιουργήστε ένα 0 στη δεύτερη σειρά, τρίτη στήλη (R2C3).
   • Δημιουργήστε ένα 0 στην πρώτη σειρά, τρίτη στήλη (R1C3).
   • Δημιουργήστε 0 στην πρώτη σειρά, δεύτερη στήλη (R1C2).
8. Ελέγξτε εάν έχετε δημιουργήσει τον πίνακα λύσεων. Εάν η εργασία σας είναι σωστή, έχετε δημιουργήσει τον πίνακα λύσης με 1 σε διαγώνια γραμμή R1C1, R2C2, R3C3 και 0 σε άλλες θέσεις των τριών πρώτων στηλών. Οι αριθμοί στην τέταρτη στήλη είναι οι λύσεις για το γραμμικό σας σύστημα.

Μέρος 3 από 4: Συγχώνευση των βημάτων για την επίλυση του γαλαξία

1. Ξεκινήστε με ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Για να εφαρμόσουμε αυτά τα βήματα, ας ξεκινήσουμε με το σύστημα που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 και x + y + z = 7. Εάν το γράψετε σε μια μήτρα, έχετε R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] και R3 = [1,1,1,7].
2. Δημιουργήστε 1 στην πρώτη θέση R1C1. Σημειώστε ότι το R1 ξεκινά με 3 σε αυτό το σημείο. Πρέπει να το αλλάξετε σε 1. Μπορείτε να το κάνετε αυτό με κλιμακωτό πολλαπλασιασμό, πολλαπλασιάζοντας και τους τέσσερις όρους του R1 επί 1/3. Στο συντομότερο γράμμα μπορείτε να γράψετε ως R1 * 1/3. Αυτό δίνει ένα νέο αποτέλεσμα για το R1 εάν R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Αντιγράψτε τα R2 και R2, αμετάβλητα, όταν R2 = [2, -2,1, -3] και R3 = [1,1,1,7].
   • Σημειώστε ότι ο πολλαπλασιασμός και ο διαχωρισμός είναι μόνο αντίστροφες συναρτήσεις του άλλου. Μπορούμε να πούμε ότι πολλαπλασιάζουμε με 1/3 ή διαιρώντας με 3, χωρίς να αλλάξουμε το αποτέλεσμα.
3. Δημιουργήστε ένα 0 στη δεύτερη σειρά, πρώτη στήλη (R2C1). Σε αυτό το σημείο, R2 = [2, -2,1, -3]. Για να πλησιάσετε τον πίνακα λύσεων, πρέπει να αλλάξετε τον πρώτο όρο από το 2 σε το 0. Μπορείτε να το κάνετε αφαιρώντας το διπλάσιο της τιμής του R1, καθώς το R1 ξεκινά με το 1. Σε στενή, η λειτουργία R2- 2 * R1. Θυμηθείτε, δεν αλλάζετε το R1, απλώς δουλέψτε με αυτό. Πρώτα, αντιγράψτε το R1 εάν R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Στη συνέχεια, εάν διπλασιάσετε κάθε όρο R1, θα λάβετε 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Τέλος, αφαιρέστε αυτό το αποτέλεσμα από το αρχικό R2 για να αποκτήσετε το νέο σας R2. Όρος εργασίας με όρο, αυτή η αφαίρεση γίνεται (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Απλοποιούμε αυτά στο νέο R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Σημειώστε ότι ο πρώτος όρος είναι 0 (όποιος κι αν ήταν ο στόχος σας).
   • Γράψτε τη σειρά 3 (η οποία δεν έχει αλλάξει) ως R3 = [1,1,1,7].
   • Να είστε προσεκτικοί όταν αφαιρείτε τους αρνητικούς αριθμούς για να βεβαιωθείτε ότι τα σημάδια παραμένουν σωστά.
   • Τώρα πρώτα ας αφήσουμε τα κλάσματα στην ακατάλληλη μορφή τους. Αυτό διευκολύνει τα επόμενα βήματα της λύσης. Μπορείτε να απλοποιήσετε τα κλάσματα στο τελευταίο βήμα του προβλήματος.
4. Δημιουργήστε ένα 1 στη δεύτερη σειρά, δεύτερη στήλη (R2C2). Για να συνεχίσετε να σχηματίζετε τη διαγώνια γραμμή του 1, πρέπει να μετατρέψετε τον δεύτερο όρο -8/3 σε 1. Κάντε αυτό πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη τη σειρά με την αμοιβαιότητα αυτού του αριθμού (-3/8). Συμβολικά, αυτό το βήμα είναι R2 * (- 3/8). Η προκύπτουσα δεύτερη σειρά είναι R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Σημειώστε ότι εάν το αριστερό μισό της σειράς αρχίζει να μοιάζει με το διάλυμα με τα 0 και 1, το δεξί μισό μπορεί να αρχίσει να φαίνεται άσχημο, με ακατάλληλα κλάσματα. Απλώς αφήστε τους για αυτό που είναι τώρα.
   • Μην ξεχάσετε να συνεχίσετε να αντιγράφετε τις ανέγγιχτες σειρές, έτσι R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] και R3 = [1,1,1,7].
5. Δημιουργήστε ένα 0 στην τρίτη σειρά, πρώτη στήλη (R3C1). Η εστίασή σας μετακινείται τώρα στην τρίτη σειρά, R3 = [1,1,1,7]. Για να κάνετε 0 στην πρώτη θέση, πρέπει να αφαιρέσετε το 1 από το 1 που βρίσκεται αυτήν τη στιγμή. Αν κοιτάξετε προς τα πάνω, υπάρχει 1 στην πρώτη θέση του R1. Επομένως, απλώς πρέπει να αφαιρέσετε το R1 από το R3 για να λάβετε το αποτέλεσμα που χρειάζεστε. Όρος εργασίας για όρο, αυτό γίνεται (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Αυτά τα τέσσερα mini-προβλήματα μπορούν στη συνέχεια να απλοποιηθούν στο νέο R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4].
   • Συνεχίστε να αντιγράφετε μαζί R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] και R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Θυμηθείτε ότι αλλάζετε μόνο μία σειρά κάθε φορά.
6. Δημιουργήστε ένα 0 στην τρίτη σειρά, δεύτερη στήλη (R3C2). Αυτή η τιμή είναι επί του παρόντος 2/3, αλλά πρέπει να μετατραπεί σε 0. Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι μπορείτε να αφαιρέσετε τις τιμές R1 με διπλάσιο, καθώς η αντίστοιχη στήλη του R1 περιέχει 1/3. Ωστόσο, εάν διπλασιάσετε και αφαιρέσετε όλες τις τιμές του R1, το 0 στην πρώτη στήλη του R3 αλλάζει, το οποίο δεν θέλετε. Αυτό θα ήταν ένα βήμα πίσω στη λύση σας. Πρέπει λοιπόν να δουλέψετε με κάποιο συνδυασμό R2. Η αφαίρεση 2/3 από το R2 δημιουργεί 0 στη δεύτερη στήλη, χωρίς να αλλάζει η πρώτη στήλη. Με λίγα λόγια, αυτό είναι R3-2 / 3 * R2. Οι μεμονωμένοι όροι γίνονται (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Η απλοποίηση έπειτα δίνει R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Δημιουργήστε 1 στην τρίτη σειρά, τρίτη στήλη (R3C3). Αυτός είναι ένας απλός πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο του αριθμού που λέει. Η τρέχουσα τιμή είναι 42/24, οπότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε επί 24/42 για να λάβετε την τιμή που θέλετε 1. Σημειώστε ότι οι δύο πρώτοι όροι είναι και οι δύο 0, οπότε τυχόν πολλαπλασιασμός παραμένει 0. Η νέα τιμή του R3 = [0,0,1,1].
   • Σημειώστε ότι τα κλάσματα που φαινόταν αρκετά περίπλοκα στο προηγούμενο βήμα έχουν ήδη αρχίσει να υποχωρούν.
   • Συνεχίστε με R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] και R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8].
   • Σημειώστε ότι σε αυτό το σημείο έχετε τη διαγώνιο του 1 για τον πίνακα λύσεων. Πρέπει μόνο να μετατρέψετε τρία στοιχεία του πίνακα σε 0s για να βρείτε τη λύση σας.
8. Δημιουργήστε ένα 0 στη δεύτερη σειρά, τρίτη στήλη. Το R2 είναι επί του παρόντος [0,1, -5 / 8,27 / 8], με τιμή -5/8 στην τρίτη στήλη. Πρέπει να το μετατρέψετε σε 0. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εκτελέσετε κάποια λειτουργία με το R3 που συνίσταται στην προσθήκη 5/8. Δεδομένου ότι η αντίστοιχη τρίτη στήλη του R3 είναι 1, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλες τις τιμές του R3 επί 5/8 και να προσθέσετε το αποτέλεσμα στο R2. Εν ολίγοις, αυτό είναι R2 + 5/8 * R3. Όρος για τον όρο αυτό είναι R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Αυτό μπορεί να απλοποιηθεί σε R2 = [0,1,0,4].
   • Στη συνέχεια, αντιγράψτε R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] και R3 = [0,0,1,1].
9. Δημιουργήστε ένα 0 στην πρώτη σειρά, τρίτη στήλη (R1C3). Η πρώτη σειρά είναι επί του παρόντος R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Πρέπει να μετατρέψετε το -1/3 στην τρίτη στήλη σε 0, χρησιμοποιώντας κάποιο συνδυασμό του R3. Δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε το R2, επειδή το 1 στη δεύτερη στήλη του R2 θα άλλαζε το R1 με λάθος τρόπο. Έτσι πολλαπλασιάζετε το R3 * 1/3 και προσθέτετε το αποτέλεσμα στο R1. Η σημείωση για αυτό είναι R1 + 1/3 * R3. Ο όρος για την επεξεργασία όρων οδηγεί σε R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Μπορείτε να το απλοποιήσετε σε ένα νέο R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Αντιγράψτε το αμετάβλητο R2 = [0,1,0,4] και R3 = [0,0,1,1].
10. Δημιουργήστε ένα 0 στην πρώτη σειρά, δεύτερη στήλη (R1C2). Εάν όλα γίνουν σωστά, αυτό θα πρέπει να είναι το τελευταίο βήμα. Πρέπει να μετατρέψετε το 1/3 στη δεύτερη στήλη σε 0. Μπορείτε να το πάρετε πολλαπλασιάζοντας και αφαιρώντας το R2 * 1/3. Εν συντομία, αυτό είναι R1-1 / 3 * R2. Το αποτέλεσμα είναι R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Η απλοποίηση έπειτα δίνει R1 = [1,0,0,2].
11. Αναζήτηση του πίνακα λύσης. Σε αυτό το σημείο, αν όλα πήγαν καλά, θα έχετε τις τρεις σειρές R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] και R3 = [0,0,1,1] πρέπει να έχω. Σημειώστε ότι εάν το γράψετε αυτό στη φόρμα matrix μπλοκ με τις σειρές η μία πάνω από την άλλη, έχετε διαγώνιο 1 με το 0 περαιτέρω, και οι λύσεις σας βρίσκονται στην τέταρτη στήλη. Ο πίνακας λύσεων πρέπει να έχει την εξής μορφή:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Κατανόηση της λύσης σας. Αφού μετατρέψετε τις γραμμικές εξισώσεις σε έναν πίνακα, τοποθετείτε τους συντελεστές x στην πρώτη στήλη, τους συντελεστές y στη δεύτερη στήλη, τους συντελεστές z στην τρίτη στήλη. Εάν θέλετε να ξαναγράψετε τον πίνακα σε εξισώσεις ξανά, αυτές οι τρεις γραμμές του πίνακα σημαίνουν πραγματικά τις τρεις εξισώσεις 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 και 0x + 0y + 1z = 1. Δεδομένου ότι μπορούμε να διαγράψουμε τους όρους 0 και να μην χρειαστεί να γράψουμε τους συντελεστές 1, αυτές οι τρεις εξισώσεις απλοποιούν τη λύση, x = 2, y = 4 και z = 1. Αυτή είναι η λύση στο σύστημά σας γραμμικών εξισώσεων.

Μέρος 4 από 4: Έλεγχος της λύσης σας

1. Συμπεριλάβετε τις λύσεις σε κάθε μεταβλητή σε κάθε εξίσωση. Είναι πάντα καλή ιδέα να ελέγχετε ότι η λύση σας είναι πραγματικά σωστή. Αυτό το κάνετε δοκιμάζοντας τα αποτελέσματά σας στις αρχικές εξισώσεις.
   • Οι αρχικές εξισώσεις για αυτό το πρόβλημα ήταν: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 και x + y + z = 7. Όταν αντικαθιστάτε τις μεταβλητές με τις τιμές που βρήκατε, λαμβάνετε 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 και 2 + 4 + 1 = 7.
2. Απλοποιήστε οποιαδήποτε σύγκριση. Εκτελέστε τις λειτουργίες σε κάθε εξίσωση σύμφωνα με τους βασικούς κανόνες των λειτουργιών. Η πρώτη εξίσωση απλοποιείται σε 6 + 4-1 = 9 ή 9 = 9. Η δεύτερη εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί σε 4-8 + 1 = -3 ή -3 = -3. Η τελευταία εξίσωση είναι απλά 7 = 7.
   • Δεδομένου ότι οποιαδήποτε εξίσωση απλοποιείται σε μια πραγματική δήλωση μαθηματικών, οι λύσεις σας είναι σωστές. Εάν κάποια από τις λύσεις είναι λανθασμένη, ελέγξτε ξανά την εργασία σας και αναζητήστε τυχόν σφάλματα. Μερικά κοινά λάθη συμβαίνουν όταν απαλλαγείτε από αρνητικά σημάδια στο δρόμο ή συγχέετε τον πολλαπλασιασμό και την προσθήκη κλασμάτων.
3. Γράψτε τις τελικές σας λύσεις. Για αυτό το δεδομένο πρόβλημα, η τελική λύση είναι x = 2, y = 4 και z = 1.

Συμβουλές

• Εάν το σύστημα εξισώσεων σας είναι πολύ περίπλοκο, με πολλές μεταβλητές, ίσως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή γραφημάτων αντί να κάνετε τη δουλειά με το χέρι. Για πληροφορίες σχετικά με αυτό, μπορείτε επίσης να συμβουλευτείτε το wikiHow.