Συντελεστής τετραγωνικών εξισώσεων

Βίντεο: Εξισώσεις - Πολλαπλασιασμός & Διαίρεση - Μέρος 2 (ΣΤ΄ τάξη)

Περιεχόμενο

Για να πας
Η αρχη
Μέθοδος 1 από 6: Δοκιμή και σφάλμα
Μέθοδος 2 από 6: Αποσύνθεση
Μέθοδος 3 από 6: Triple Play
Μέθοδος 4 από 6: Η διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων
Μέθοδος 5 από 6: Ο τύπος ABC
Μέθοδος 6 από 6: Χρήση αριθμομηχανής
Συμβουλές
Προειδοποιήσεις
Απαιτήσεις

Ένα πολυώνυμο περιέχει μια μεταβλητή (x) σε μια συγκεκριμένη ισχύ και αρκετούς όρους και / ή σταθερές. Για να συντελέσετε ένα πολυώνυμο, θα πρέπει να χωρίσετε την έκφραση σε μικρότερες εκφράσεις που πολλαπλασιάζονται μαζί. Αυτό απαιτεί ένα ορισμένο επίπεδο μαθηματικών και επομένως μπορεί να είναι δύσκολο να γίνει κατανοητό εάν δεν είστε ακόμη αρκετά μακριά.

Για να πας

Η αρχη

Η εξίσωση. Η τυπική μορφή για μια τετραγωνική εξίσωση είναι:

ax + bx + c = 0
Ξεκινήστε ρυθμίζοντας τους όρους στην εξίσωση από την υψηλότερη έως τη χαμηλότερη ισχύ. Για παράδειγμα, πάρτε:

6 + 6x + 13x = 0
Θα αναδιατάξουμε αυτήν την έκφραση, ώστε να γίνεται ευκολότερο να δουλέψουμε - απλά μετακινώντας τους όρους:

6x + 13x + 6 = 0
Βρείτε τους παράγοντες χρησιμοποιώντας μία από τις παρακάτω μεθόδους. Η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου θα έχει ως αποτέλεσμα δύο μικρότερες εκφράσεις που μπορούν να πολλαπλασιαστούν μαζί για να πάρουμε το αρχικό πολυώνυμο:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Σε αυτό το παράδειγμα, (2x +3) και (3x + 2) είναι παράγοντες από την αρχική έκφραση, 6x + 13x + 6.
Ελέγξτε τη δουλειά σας! Πολλαπλασιάστε τους παράγοντες που βρήκατε. Συνδυάστε τους ίδιους όρους και τελειώσατε. Αρχισε με:

(2x + 3) (3x + 2)
Ας το δοκιμάσουμε, πολλαπλασιάζοντας τους όρους χρησιμοποιώντας το EBBL (πρώτο - εξωτερικό - εσωτερικό - τελευταίο), το οποίο μας δίνει:

6x + 4x + 9x + 6
Τώρα προσθέτουμε 4x και 9x μαζί επειδή είναι ίσοι όροι. Γνωρίζουμε ότι οι παράγοντες είναι σωστοί επειδή παίρνουμε πίσω την εξίσωση που ξεκινήσαμε με:

6x + 13x + 6

Μέθοδος 1 από 6: Δοκιμή και σφάλμα

Εάν έχετε ένα αρκετά απλό πολυώνυμο, ίσως να μπορείτε να δείτε ποιοι είναι οι παράγοντες αμέσως. Για παράδειγμα, μετά από κάποια πρακτική, πολλοί μαθηματικοί μπορούν να δουν την έκφραση 4x + 4x + 1 έχει τους παράγοντες (2x + 1) και (2x + 1) απλώς και μόνο επειδή το έχουν δει πολλές φορές. (Προφανώς, αυτό δεν θα είναι τόσο εύκολο με πιο περίπλοκα πολυώνυμα.) Ας πάρουμε μια λιγότερο τυπική έκφραση για αυτό το παράδειγμα:

3x + 2x - 8

Γράψτε τους παράγοντες του ένα όρος και το ντο όρος. Χρησιμοποιήστε τη μορφή ax + bx + c = 0, αναγνωρίστε το ένα και ντο όρους και σημειώστε ποιοι παράγοντες υπάρχουν. Για 3x + 2x - 8, αυτό σημαίνει:

a = 3 και έχει 1 ζεύγος παραγόντων: 1 * 3
c = -8 και αυτό έχει 4 ζεύγη παραγόντων: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 και -1 * 8.
Γράψτε δύο ζεύγη παρενθέσεων με κενό διάστημα. Εδώ εισάγετε τις σταθερές κάθε έκφρασης:

(x) (x)
Γεμίστε το κενό πριν από τα x με έναν αριθμό πιθανών παραγόντων του ένα αξία. Για το ένα όρος στο παράδειγμά μας, 3x, υπάρχει μόνο 1 πιθανότητα:

(3x) (1x)
Συμπληρώστε τους 2 χώρους μετά τα x με μερικούς παράγοντες για τις σταθερές. Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε 8 και 1. Εισαγάγετε αυτό:

(3x8)(Χ1)
Προσδιορίστε ποια σημεία (συν ή πλην) πρέπει να βρίσκονται μεταξύ των μεταβλητών x και των αριθμών. Ανάλογα με τους χαρακτήρες της αρχικής έκφρασης, είναι δυνατόν να μάθετε ποιοι είναι οι χαρακτήρες των σταθερών. Ας πάρουμε τις δύο σταθερές από τους δύο παράγοντες η και κ να αναφέρω:

Εάν ax + bx + c τότε (x + h) (x + k)
Εάν ax - bx - c ή ax + bx - c τότε (x - h) (x + k)
Εάν ax - bx + c τότε (x - h) (x - k)
Στο παράδειγμά μας, 3x + 2x - 8, το σύμβολο είναι: (x - h) (x + k), το οποίο μας δίνει τους ακόλουθους δύο παράγοντες:

(3x + 8) και (x - 1)
Δοκιμάστε την επιλογή σας με τον πρώτο-εξωτερικό-εσωτερικό-τελευταίο πολλαπλασιασμό. Μια γρήγορη πρώτη δοκιμή για να δείτε αν ο μεσοπρόθεσμος όρος είναι τουλάχιστον η σωστή τιμή. Εάν όχι, τότε πιθανότατα έχετε το λάθος ντο επιλεγμένοι παράγοντες. Ας δοκιμάσουμε την απάντηση:

(3x + 8) (x - 1)
Με τον πολλαπλασιασμό έχουμε:

3x - 3x + 8x - 8
Απλοποιήστε αυτήν την έκφραση προσθέτοντας τους όρους όρου (-3x) και (8x) και λαμβάνουμε:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Τώρα γνωρίζουμε ότι λάβαμε λάθος παράγοντες:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Αλλάξτε τις επιλογές σας, εάν είναι απαραίτητο. Στο παράδειγμά μας, ας δοκιμάσουμε 2 και 4, αντί για 1 και 8:

(3x + 2) (x - 4)
Τώρα μας ντο όρος ίσο με -8, αλλά το εξωτερικό / εσωτερικό προϊόν του (3x * -4) και (2 * x) είναι -12x και 2x, το οποίο δεν είναι το σωστό σι όρος ή + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Αν χρειαστεί, αντιστρέψτε τη σειρά. Ας προσπαθήσουμε να γυρίσουμε τα 2 και 4:

(3x + 4) (x - 2)
Τώρα μας ντο όρος (4 * 2 = 8) και εξακολουθεί να είναι εντάξει, αλλά τα εξωτερικά / εσωτερικά προϊόντα είναι -6x και 4x. Όταν τα συνδυάζουμε παίρνουμε:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Τώρα πλησιάζουμε πολύ κοντά στο 2x όπου θέλουμε να είμαστε, αλλά το σημάδι δεν είναι ακόμη σωστό.
Ελέγξτε ξανά τους χαρακτήρες σας εάν είναι απαραίτητο. Διατηρούμε αυτήν την παραγγελία, αλλά την ανταλλάξουμε με το σύμβολο πλην:

(3x - 4) (x + 2)
Τώρα το ντο ο όρος εξακολουθεί να είναι εντάξει και τα εξωτερικά / εσωτερικά προϊόντα είναι τώρα (6x) και (-4x). Επειδή:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Βλέπουμε τώρα το θετικό 2x πίσω από το αρχικό πρόβλημα. Αυτοί πρέπει να είναι οι σωστοί παράγοντες.

Μέθοδος 2 από 6: Αποσύνθεση

Αυτή η μέθοδος δίνει όλους τους πιθανούς παράγοντες αυτής ένα και ντο όρους και τους χρησιμοποιεί για να ανακαλύψει ποιοι παράγοντες είναι σωστοί. Εάν οι αριθμοί είναι πολύ μεγάλοι ή η εικασία άλλων μεθόδων θα διαρκέσει πολύ, χρησιμοποιήστε αυτόν τον τρόπο. Ενα παράδειγμα:

6x + 13x + 6

Πολλαπλασιάστε το ένα όρος με το ντο όρος. Σε αυτό το παράδειγμα, ένα είναι 6 και ντο είναι επίσης 6.

6 * 6 = 36
Βρες το σι όρος με παραγοντοποίηση και δοκιμή. Ψάχνουμε για 2 αριθμούς που είναι παράγοντες ένα * ντο , και μαζί το σι όρος (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Αντικαταστήστε τους δύο αριθμούς που παίρνετε στην εξίσωση σας ως το άθροισμα του σι όρος. Ας κ και η για να αντιπροσωπεύσουμε τους 2 αριθμούς που έχουμε, 4 και 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Παράγοντα το πολυώνυμο με ομαδοποίηση. Οργανώστε την εξίσωση έτσι ώστε να μπορείτε να διαχωρίσετε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη από τους δύο πρώτους όρους και τους δύο τελευταίους όρους. Και οι δύο παράγοντες πρέπει να είναι οι ίδιοι. Προσθέστε τα GGD μαζί και τοποθετήστε τα σε παρένθεση, δίπλα στους παράγοντες. ως αποτέλεσμα έχετε τους δύο παράγοντες:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Μέθοδος 3 από 6: Triple Play

Παρόμοια με τη μέθοδο αποσύνθεσης. Η μέθοδος "triple play" εξετάζει τους πιθανούς παράγοντες του προϊόντος ένα και ντο και χρησιμοποιήστε το για να μάθετε τι σι πρέπει να είναι. Πάρτε την εξίσωση ως παράδειγμα:

8x + 10x + 2

Πολλαπλασιάστε το ένα όρος με το ντο όρος. Όπως και με τη μέθοδο αποσύνθεσης, το χρησιμοποιούμε για να προσδιορίσουμε τους υποψηφίους για το σι όρος. Σε αυτό το παράδειγμα: ένα είναι 8 και ντο είναι 2.

8 * 2 = 16
Βρείτε τους 2 αριθμούς με αυτόν τον αριθμό ως προϊόν και με άθροισμα ίσο με το σι όρος. Αυτό το βήμα είναι το ίδιο με τη μέθοδο αποσύνθεσης - δοκιμάζουμε υποψηφίους για τις σταθερές. Το προϊόν του ένα και ντο οι όροι είναι 16, και το ντο ο όρος είναι 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Πάρτε αυτούς τους 2 αριθμούς και αντικαταστήστε τους στη φόρμουλα "triple play". Πάρτε τους 2 αριθμούς από το προηγούμενο βήμα - ας τους πάρουμε η και κ καλέστε τους - και βάλτε τους στην έκφραση:

((ax + h) (ax + k)) / α

Με αυτό έχουμε:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Δείτε ποιος από τους δύο όρους μπορεί να διαιρεθεί πλήρως με τον παρονομαστή ένα. Σε αυτό το παράδειγμα, εξετάζουμε εάν (8x + 8) ή (8x + 2) μπορεί να διαιρεθεί με 8. (8x + 8) διαιρείται με 8, οπότε διαιρούμε αυτόν τον όρο με ένα και αφήνουμε το άλλο ανεπηρέαστο.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Ο όρος που έχουμε κρατήσει εδώ είναι αυτός που παραμένει μετά τη διαίρεση με το ένα όρος: (x + 1)
Πάρτε τον καλύτερο κοινό διαιρέτη (gcd) από τους δύο ή και τους δύο όρους, εάν είναι δυνατόν. Σε αυτό το παράδειγμα βλέπουμε ότι ο δεύτερος όρος έχει gcd 2, επειδή 8x + 2 = 2 (4x + 1). Συνδυάστε αυτήν την απάντηση με τον όρο που ανακαλύψατε στο προηγούμενο βήμα. Αυτοί είναι οι παράγοντες της σύγκρισής σας.

2 (x + 1) (4x + 1)

Μέθοδος 4 από 6: Η διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων

Μπορείτε να αναγνωρίσετε ορισμένους συντελεστές σε ένα πολυώνυμο ως "τετράγωνα" ή επίσης ως προϊόν 2 πανομοιότυπων αριθμών. Αν καταλάβετε ποια είναι τα τετράγωνα, ενδέχεται να είστε σε θέση να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα πολύ πιο γρήγορα. Παίρνουμε την εξίσωση:

27x - 12 = 0

Αφαιρέστε το gcd από την εξίσωση, εάν είναι δυνατόν. Σε αυτήν την περίπτωση βλέπουμε ότι τα 27 και 12 είναι και τα δύο διαιρούμενα με το 3, έτσι μπορούμε να τα τοποθετήσουμε ξεχωριστά:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Προσδιορίστε εάν οι συντελεστές της εξίσωσης σας είναι τετράγωνα. Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε τη ρίζα των όρων. (Σημειώστε ότι παραλείψαμε τα σύμβολα μείον - επειδή αυτοί οι αριθμοί είναι τετράγωνα, μπορεί να είναι το προϊόν 2 αρνητικών αριθμών)

9x = 3x * 3x και 4 = 2 * 2
Χρησιμοποιώντας την τετραγωνική ρίζα που έχετε καθορίσει, μπορείτε τώρα να γράψετε τους παράγοντες. Παίρνουμε το ένα και ντο τιμές από το προηγούμενο βήμα: ένα = 9 και ντο = 4, έτσι οι ρίζες αυτού είναι: - √ένα = 3 και √ντο = 2. Αυτοί είναι οι συντελεστές των παραγοντοποιημένων εκφράσεων:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Μέθοδος 5 από 6: Ο τύπος ABC

Εάν δεν φαίνεται να λειτουργεί τίποτα και δεν μπορείτε να λύσετε την εξίσωση, χρησιμοποιήστε τον τύπο abc. Πάρτε το ακόλουθο παράδειγμα:

x + 4x + 1 = 0

Εισαγάγετε τις αντίστοιχες τιμές στον τύπο abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2α
Τώρα έχουμε την έκφραση:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Λύστε για το x. Θα πρέπει τώρα να λάβετε 2 τιμές για το x. Αυτά είναι:

x = -2 + √ (3) ή x = -2 - √ (3)
Χρησιμοποιήστε τις τιμές του x για να προσδιορίσετε τους παράγοντες. Εισαγάγετε τις τιμές x που λαμβάνονται στις δύο εξισώσεις ως σταθερές. Αυτοί είναι οι παράγοντες σας. Αν απαντήσουμε στα δύο η και κ γράφουμε τους δύο παράγοντες ως εξής:

(x - h) (x - k)
Σε αυτήν την περίπτωση, η τελική απάντηση είναι:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Μέθοδος 6 από 6: Χρήση αριθμομηχανής

Εάν επιτρέπεται (ή είναι υποχρεωτική) η χρήση αριθμομηχανής γραφημάτων, αυτό καθιστά το factoring πολύ πιο εύκολο, ειδικά για εξετάσεις και εξετάσεις. Οι ακόλουθες οδηγίες αφορούν μια αριθμομηχανή γραφικών TI. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση από το παράδειγμα:

y = x - x - 2

Εισαγάγετε την εξίσωση στον υπολογιστή σας. Θα χρησιμοποιείτε το εργαλείο επίλυσης εξισώσεων, γνωστό και ως οθόνη [Y =].
Σχεδιάστε την εξίσωση με την αριθμομηχανή. Μόλις εισαγάγετε την εξίσωση, πατήστε [ΓΡΑΦΗΜΑ - θα πρέπει τώρα να δείτε μια καμπύλη γραμμή, μια παραβολή ως γραφική αναπαράσταση της εξίσωσης σας (και είναι παραβολή επειδή ασχολούμαστε με ένα πολυώνυμο).
Βρείτε πού τέμνει η παραβολή με τον άξονα x. Δεδομένου ότι μια τετραγωνική εξίσωση γράφεται παραδοσιακά ως ax + bx + c = 0, αυτές είναι οι δύο τιμές x που κάνουν την εξίσωση μηδέν:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Εάν δεν μπορείτε να δείτε πού τέμνει η παραβολή με τον άξονα x, πατήστε [2] και μετά [TRACE]. Πατήστε [2] ή επιλέξτε "μηδέν". Μετακινήστε τον κέρσορα στα αριστερά μιας διασταύρωσης και πατήστε [ENTER]. Μετακινήστε τον κέρσορα στα δεξιά μιας διασταύρωσης και πατήστε [ENTER]. Μετακινήστε τον κέρσορα όσο το δυνατόν πιο κοντά στο σημείο διασταύρωσης και πατήστε [ENTER]. Η αριθμομηχανή θα δείξει την τιμή x. Κάντε αυτό και για την άλλη διασταύρωση.
Εισαγάγετε τις τιμές x που λάβατε στις δύο παραστατικές παραστάσεις. Εάν λάβουμε τις δύο τιμές x η και κ ως όρος, η έκφραση που χρησιμοποιούμε μοιάζει με αυτήν:

(x - h) (x - k) = 0
Έτσι, οι δύο παράγοντες μας γίνονται:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Συμβουλές

Εάν έχετε συνυπολογίσει το πολυώνυμο με τον τύπο abc και η απάντησή σας περιέχει ρίζες, μπορείτε να μετατρέψετε τις τιμές x σε κλάσματα για να τις ελέγξετε.
Εάν ένας όρος δεν έχει συντελεστή πριν, τότε ο συντελεστής ισούται με 1, π.χ. x = 1x.
Εάν έχετε μια αριθμομηχανή TI-84, υπάρχει ένα πρόγραμμα που ονομάζεται SOLVER που μπορεί να λύσει μια τετραγωνική εξίσωση για εσάς. Επιλύει επίσης πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού.
Μετά από πολλή εξάσκηση, θα μπορείτε τελικά να λύσετε πολυώνυμα από καρδιάς. Αλλά για να είσαι στην ασφαλή πλευρά είναι καλύτερο να τα γράφεις πάντα.
Εάν δεν υπάρχει όρος, ο συντελεστής είναι μηδέν. Τότε μπορεί να είναι χρήσιμο να ξαναγράψετε την εξίσωση. Π.χ. x + 6 = x + 0x + 6.

Προειδοποιήσεις

Εάν μαθαίνετε αυτήν την έννοια στην τάξη των μαθηματικών, δώστε προσοχή σε αυτό που ο δάσκαλος εξηγεί και μην χρησιμοποιείτε μόνο τη δική σας αγαπημένη μέθοδο. Μπορεί να σας ζητηθεί να χρησιμοποιήσετε μια συγκεκριμένη μέθοδο για μια δοκιμή, ή ενδέχεται να μην επιτρέπονται υπολογιστές γραφημάτων.