Αναλύστε τις τετραγωνικές εξισώσεις σε παράγοντες - Συμβουλές

Βίντεο: Πολυωνυμικές Εξισώσεις (3ου 4ου και μεγαλύτερου βαθμού)

Περιεχόμενο

Βήματα
Συμβουλή
Ο, τι χρειάζεσαι

Στα μαθηματικά, παραγοντική ανάλυση είναι να βρείτε αριθμούς ή εκφράσεις με το προϊόν ενός δεδομένου αριθμού ή εξίσωσης. Η ανάλυση παραγόντων είναι μια χρήσιμη ικανότητα για μάθηση για την επίλυση βασικών αλγεβρικών προβλημάτων: η ικανότητα να παραγοντοποιηθεί καλά είναι σχεδόν κρίσιμη όταν πρόκειται για εργασία. με αλγεβρικές εξισώσεις ή άλλες πολυωνυμικές μορφές. Η ανάλυση παραγόντων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μείωση των αλγεβρικών εκφράσεων, κάνοντας το πρόβλημα απλούστερο. Χάρη σε αυτό, μπορείτε ακόμη και να εξαλείψετε ορισμένες πιθανές απαντήσεις πολύ πιο γρήγορα από την επίλυση με το χέρι.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Αναλύστε αριθμούς και βασικές αλγεβρικές εκφράσεις σε παράγοντες

Κατανοήστε τον ορισμό της ανάλυσης παραγόντων κατά την εφαρμογή σε μεμονωμένους αριθμούς. Αν και εννοιολογικά απλό, στην πράξη, η εφαρμογή σύνθετων εξισώσεων μπορεί να είναι αρκετά δύσκολη. Επομένως, η ευκολότερη εννοιολογική προσέγγιση ανάλυσης παραγόντων είναι να ξεκινήσετε από μεμονωμένους αριθμούς και μετά να προχωρήσετε σε απλές εξισώσεις πριν προχωρήσετε σε πιο προηγμένες εφαρμογές. Παράγοντας για έναν δεδομένο αριθμό είναι αριθμοί με το προϊόν του ίδιου αριθμού. Για παράδειγμα, τα 1, 12, 2, 6, 3 και 4 είναι συντελεστές 12, επειδή τα 1 × 12, 2 × 6 και 3 × 4 είναι όλα ίσα με 12.
- Με άλλα λόγια, οι παράγοντες ενός δεδομένου αριθμού είναι αριθμοί ειναι χωρισμενο με αυτόν τον αριθμό.
- Μπορείτε να βρείτε τον πλήρη συντελεστή των 60; Ο αριθμός 60 χρησιμοποιείται για πολλούς διαφορετικούς σκοπούς (λεπτά σε μια ώρα, δευτερόλεπτα σε ένα λεπτό, κ.λπ.) επειδή διαιρείται με πολλούς αριθμούς.
  - Ο αριθμός 60 έχει τους ακόλουθους παράγοντες: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 και 60.
Κατανοήστε ότι οι εκφράσεις που περιέχουν μεταβλητές μπορούν επίσης να παραγοντοποιηθούν. Εκτός από ανεξάρτητους αριθμούς, οι μεταβλητές με αριθμητικούς συντελεστές μπορούν επίσης να λαμβάνονται υπόψη. Για να γίνει αυτό, απλά πρέπει να βρούμε τους παράγοντες του συντελεστή της μεταβλητής. Η γνώση του τρόπου παραγοντοποίησης της ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμη για τον απλό μετασχηματισμό αλγεβρικών εξισώσεων που περιέχουν μεταβλητές.
- Για παράδειγμα, το 12x μπορεί να ξαναγραφεί ώστε να είναι αποτελέσματα 12 και x. Είναι δυνατό να γράψετε 12x ως 3 (4x), 2 (6x), κ.λπ. και να χρησιμοποιήσετε όποιο παράγοντα ταιριάζει καλύτερα στην προβλεπόμενη χρήση του 12.
  - Μπορείτε ακόμη και να φτάσετε μέχρι την ανάλυση 12x πολλές φορές. Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται να σταματήσετε στα 3 (4x) ή 2 (6x) - μπορούμε να αναλύσουμε 4x και 6x για να πάρουμε 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) αντίστοιχα. Αυτός ο τύπος είναι ισοδύναμος.
Εφαρμόστε συσχετιστικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού για παραγοντοποίηση αλγεβρικών εξισώσεων. Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις σας για την ανάλυση τόσο των ανεξάρτητων αριθμών όσο και των συντελεστών σε παράγοντες, μπορείτε να απλοποιήσετε απλές αλγεβρικές εξισώσεις με την εύρεση κοινών παραγόντων των αριθμών και των μεταβλητών που περιλαμβάνονται στην εξίσωση. Συχνά, για να είναι όσο πιο απλή γίνεται η εξίσωση, θα προσπαθήσουμε να βρούμε τον καλύτερο κοινό διαιρέτη. Αυτός ο απλός μετασχηματισμός είναι δυνατός χάρη στη συσχετιστική φύση του πολλαπλασιασμού - για κάθε αριθμό a, b και c, έχουμε: a (b + c) = ab + ac.
- Ας εξετάσουμε το παρακάτω παράδειγμα προβλήματος. Για να συντελέσουμε την αλγεβρική εξίσωση 12x + 6 σε έναν παράγοντα, πρώτα, βρίσκουμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των 12x και 6. 6 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός από τον οποίο μπορούν να διαιρεθούν και οι 12x και 6, έτσι μπορούμε απλά να μετασχηματίσουμε μειώστε την εξίσωση σε 6 (2x + 1).
- Η ίδια διαδικασία ισχύει για εξισώσεις που φέρουν αρνητικά σημάδια και κλάσματα. Για παράδειγμα, το x / 2 + 4 μπορεί απλά να μετατραπεί σε 1/2 (x + 8) και το -7x + -21 μπορεί να αποσυντεθεί σε -7 (x + 3).
διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 3: Ανάλυση τετραγωνικών εξισώσεων σε παράγοντες

Βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση είναι σε τετραγωνική μορφή (ax + bx + c = 0). Η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή ax + bx + c = 0, όπου a, b, και c είναι σταθερές και a είναι μη μηδέν (σημειώστε ότι a ενδέχεται ισούται με 1 ή -1). Εάν η εξίσωση μιας μεταβλητής (x) περιέχει έναν ή περισσότερους όρους που περιέχουν το τετράγωνο του x, μπορείτε συνήθως να μετατρέψετε τη βασική αλγεβρική εξίσωση σε μηδενική πλευρά του σημείου και να αφήσετε τσεκούρι, και ούτω καθεξής. στην άλλη πλευρά.
- Για παράδειγμα, η αλγεβρική εξίσωση 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 μπορεί να μειωθεί σε x + 6x + 9 = 0, που είναι μια τετραγωνική μορφή.
- Εξισώσεις όπου το x έχει υψηλότερο εκθέτη, όπως x, x και ούτω καθεξής. δεν μπορεί να είναι τετραγωνικό. Είναι τετραγωνικά, τεταρτοταγή, ... εκτός εάν η εξίσωση μπορεί να μειωθεί με την εξάλειψη όρων που περιέχουν τις δυνάμεις των 3 ή περισσότερων του x.
Με τετραγωνικές εξισώσεις, όταν a = 1, αποσυντίθεται σε (x + d) (x + e), όπου d × e = c και d + e = b. Αν η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x + bx + c = 0 (με άλλα λόγια, εάν ο συντελεστής x = 1), υπάρχει πιθανότητα (αλλά όχι βέβαιος) ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν σχετικά γρήγορο υπολογισμό. είναι απλό να ληφθεί υπόψη αυτή η εξίσωση. Βρείτε δύο αριθμούς ίσους με c και το άθροισμα ισούται με β. Μόλις βρείτε τα d και e, αντικαταστήστε τα με την ακόλουθη έκφραση: (x + d) (x + e). Όταν πολλαπλασιάζονται μαζί, αυτά τα δύο στοιχεία μας δίνουν την παραπάνω τετραγωνική εξίσωση - με άλλα λόγια, είναι παράγοντες της εξίσωσης.
- Πάρτε για παράδειγμα την τετραγωνική εξίσωση x + 5x + 6 = 0. 3 και 2 έχουν ένα προϊόν 6 και ταυτόχρονα, έχουν συνολικά 5. Επομένως, μπορούμε απλώς να μετατρέψουμε την εξίσωση σε (x + 3) ( x + 2).
- Αυτή η βασική γρήγορη επιδιόρθωση θα είναι λίγο διαφορετική όταν η ίδια η εξίσωση είναι λίγο διαφορετική:
  - Αν η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x-bx + c, η απάντησή σας θα έχει τη μορφή: (x - _) (x - _).
  - Εάν έχει τη μορφή x + bx + c, η απάντησή σας θα είναι: (x + _) (x + _).
  - Εάν είναι σε x-bx-c, η απάντησή σας θα έχει τη μορφή (x + _) (x - _).
- Σημείωση: σε διαστήματα μπορεί να είναι κλάσματα ή δεκαδικά. Για παράδειγμα, η εξίσωση x + (21/2) x + 5 = 0 αποσυντίθεται σε (x + 10) (x + 1/2).
Εάν είναι δυνατόν, εκτελέστε ανάλυση παράγοντα με δοκιμή. Είτε το πιστεύετε είτε όχι, με την απλή τετραγωνική εξίσωση, μία από τις αποδεκτές μεθόδους παραγοντοποίησης είναι απλά να κοιτάξετε το πρόβλημα και στη συνέχεια να σταθμίσετε όλες τις πιθανές απαντήσεις έως ότου σωστή απάντηση. Είναι επίσης γνωστό ως μέθοδος δοκιμής.Εάν η εξίσωση έχει τη μορφή ax + bx + c και a> 1, η παραγοντοποίησή σας θα έχει τη μορφή (dx +/- _) (ex +/- _), όπου τα d και e είναι σταθερές το άλλο δεν είναι ίσο με ένα. d ή e (ή και τα δύο) ενδέχεται ισούται με 1, αν και δεν είναι απαραίτητα. Αν και τα δύο είναι 1, θα χρησιμοποιούσατε βασικά τη γρήγορη εργασία που φαίνεται παραπάνω.
- Εξετάστε το παρακάτω παράδειγμα προβλήματος. Με την πρώτη ματιά, 3x - 8x + 4 φαίνεται αρκετά εκφοβιστικό. Ωστόσο, μόλις συνειδητοποιήσετε ότι το 3 έχει μόνο δύο παράγοντες (3 και 1), το πρόβλημα γίνεται ευκολότερο επειδή γνωρίζουμε ότι η απάντηση πρέπει να έχει τη μορφή (3x +/- _) (x +/- _). Σε αυτήν την περίπτωση, η αντικατάσταση -2 και με τα δύο κενά δίνει τη σωστή απάντηση. -2 × 3x = -6x και -2 × x = -2x. -6x και -2x συνολικά ίσο με -8x. -2 × -2 = 4, επομένως, φαίνεται ότι τα στοιχεία που αναλύονται σε παρένθεση μας δίνουν την αρχική εξίσωση.
Λύστε το πρόβλημα συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν γρήγορα και εύκολα χρησιμοποιώντας μια ειδική αλγεβρική ταυτότητα. Οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση της μορφής x + 2xh + h = (x + h). Επομένως, εάν στην εξίσωση, το b είναι διπλάσια της τετραγωνικής ρίζας του c, η εξίσωση μπορεί να αποσυντεθεί σε (x + (sqrt (c))).
- Για παράδειγμα, η εξίσωση x + 6x + 9 θα λειτουργούσε για αυτήν τη φόρμα. 3 ισούται με 9 και 3 × 2 ισούται με 6. Έτσι γνωρίζουμε ότι η μορφή παραγοντοποίησης αυτής της εξίσωσης είναι (x + 3) (x + 3) ή (x + 3).
Λύστε τετραγωνικές εξισώσεις με παράγοντες. Είτε έτσι είτε αλλιώς, όταν η τετραγωνική έκφραση έχει παραγοντοποιηθεί, μπορείτε να βρείτε μια πιθανή απάντηση στην τιμή του x δίνοντας σε κάθε παράγοντα μηδέν και λύνοντάς τον. Δεδομένου ότι ψάχνετε την τιμή του x έτσι ώστε η εξίσωση να είναι μηδέν, οποιοδήποτε x που προκαλεί μηδενικό παράγοντα θα είναι μια πιθανή λύση για αυτήν την εξίσωση.
- Επιστροφή στην εξίσωση x + 5x + 6 = 0. Αυτό αποσυντίθεται σε (x + 3) (x + 2) = 0. Όταν ένας παράγοντας είναι μηδέν, ολόκληρη η εξίσωση γίνεται μηδέν. Πιθανές λύσεις του x είναι οι αριθμοί που κάνουν (x + 3) και (x + 2) ίσο με 0, -3 και -2, αντίστοιχα.
Ελέγξτε τις απαντήσεις σας - μερικές μπορεί να είναι εξωτικές! Όταν βρείτε πιθανές λύσεις του x, αντικαταστήστε τις με την αρχική εξίσωση για να προσδιορίσετε αν είναι σωστές ή όχι. Μερικές φορές, η απάντηση το βρίσκει κανένα πρόβλημα προκαλεί την αρχική εξίσωση μηδέν όταν αντικατασταθεί. Καλούμε αυτές τις λύσεις Εξωτικός και να τα εξαλείψουμε.
- Ας αντικαταστήσουμε -2 και -3 για x + 5x + 6 = 0. Πρώτον, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ναι, το -2 είναι μια έγκυρη λύση της εξίσωσης.
- Τώρα, ας δοκιμάσουμε με -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Αυτό ισχύει επίσης και ως εκ τούτου, το -3 είναι επίσης μια έγκυρη λύση της εξίσωσης.
διαφήμιση

Μέθοδος 3 από 3: Αναλύστε άλλους τύπους εξισώσεων σε παράγοντες

Εάν η εξίσωση είναι στη μορφή a-b, αποσυνθέστε την σε (a + b) (a-b). Η εξίσωση δύο μεταβλητών αναλύεται διαφορετικά από τη θεμελιώδη τετραγωνική εξίσωση. Οποιαδήποτε εξίσωση a-b στην οποία τα a και b είναι μη μηδενικά θα αποσυντεθεί σε (a + b) (a-b).
- Για παράδειγμα, η εξίσωση 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Εάν η εξίσωση έχει τη μορφή a + 2ab + b, αποσυνθέστε την σε (a + b). Σημειώστε ότι εάν το trinomial έχει τη μορφή a-2ab + b, η μορφή παραγοντοποίησης θα διαφέρει ελαφρώς: (a-b).
- Οι εξισώσεις 4x + 8xy + 4y μπορούν να ξαναγραφούν ως 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Τώρα βλέπουμε ότι είναι στη σωστή μορφή και μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι η μορφή παραγοντοποίησης αυτής της εξίσωσης είναι (2x + 2y).
Εάν η εξίσωση είναι στη μορφή a-b, αποσυνθέστε την σε (a-b) (a + ab + b). Τέλος, πρέπει να ειπωθεί ότι οι κυβικές εξισώσεις και ακόμη οι εξισώσεις υψηλότερης τάξης μπορούν να παραγοντοποιηθούν. Ωστόσο, η διαδικασία ανάλυσης θα γίνει γρήγορα απίστευτα περίπλοκη.
- Για παράδειγμα, 8x - 27y αποσυντίθεται σε (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
διαφήμιση

Συμβουλή

a-b μπορεί να παραγοντοποιηθεί και a + b δεν μπορεί.
Θυμηθείτε πώς να συντελέσετε σταθερές - μπορεί να βοηθήσει.
Δώστε προσοχή στα κλάσματα κατά τη διαδικασία παραγοντοποίησης, χειριστείτε τα σωστά και κατάλληλα.
Με την τρίαινα x + bx + (b / 2), η παραγοντοποίησή της θα ήταν (x + (b / 2)) (ενδέχεται να συναντήσετε αυτήν την κατάσταση κατά την ολοκλήρωση του τετραγώνου)
Να θυμάστε ότι a0 = 0 (ιδιότητα πολλαπλασιασμένη επί μηδέν).