Βρείτε το αντίστροφο της μήτρας 3x3 - Συμβουλές

Βίντεο: Εύρεση αντίστροφου 3x3 πίνακα (Παράδειγμα)

Περιεχόμενο

Βήματα
Συμβουλή
Προειδοποίηση

Η αντιστροφή χρησιμοποιείται συχνά στον λογισμό για την απλοποίηση προβληματικών προβλημάτων με άλλους τρόπους. Για παράδειγμα, είναι ευκολότερο να πολλαπλασιαστεί με το αντίστροφο ενός κλάσματος από το να το διαιρέσετε απευθείας με αυτόν τον αριθμό. Αυτό είναι το αντίστροφο. Ομοίως, επειδή δεν υπάρχουν σημάδια κλάσματος για τη μήτρα, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αντίστροφο πίνακα. Ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα ενός πίνακα 3x3 μπορεί να είναι πολύ κουραστικός, αλλά είναι ένα πρόβλημα που αξίζει να εξεταστεί. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε μια προηγμένη αριθμομηχανή γραφημάτων για να το κάνετε αυτό.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 3: Δημιουργήστε έναν πρόσθετο πίνακα για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα

Ελέγξτε τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας. Το πρώτο βήμα: βρείτε τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας. Εάν ο καθοριστής είναι 0, αυτό γίνεται: αυτή η μήτρα δεν είναι αναστρέψιμη. Ο καθοριστής μιας μήτρας M μπορεί να συμβολίζεται det (M).
- Για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα 3x3, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τον καθοριστικό του.
- Για να δείτε πώς να βρείτε τον καθοριστικό παράγοντα μιας μήτρας, ανατρέξτε στο άρθρο Εύρεση ορισμού μήτρας 3x3.
Πρωτότυπη μεταφορά μήτρας. Μεταφορά σημαίνει ανάκλαση της μήτρας στην κύρια διαγώνια, ή με άλλα λόγια, εναλλαγή του στοιχείου (i, j) και του στοιχείου (j, i). Κατά τη μεταφορά στοιχείων μιας μήτρας, η κύρια διαγώνια (τρέχει από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία) παραμένει σταθερή.
- Ένας άλλος τρόπος για να κατανοήσετε τη μεταφορά είναι ότι θα ξαναγράψετε τον πίνακα έτσι ώστε η πρώτη σειρά να γίνει η πρώτη στήλη, η μεσαία σειρά να γίνει η μεσαία στήλη και η τρίτη σειρά να γίνει η τρίτη στήλη. Παρατηρήστε τα χρωματικά στοιχεία στην παραπάνω εικόνα και παρατηρήστε τη νέα θέση των αριθμών.
Βρείτε τον καθοριστικό παράγοντα για κάθε υπο-μήτρα 2x2. Όλα τα στοιχεία της νέας μήτρας μετατόπισης 3x3 συνδέονται με μια αντίστοιχη μήτρα «υπο» 2x2. Για να βρείτε την υπο-μήτρα κάθε στοιχείου, επισημάνετε πρώτα τη σειρά και τη στήλη του πρώτου στοιχείου. Θα επισημανθούν και τα 5 στοιχεία. Τα υπόλοιπα τέσσερα στοιχεία σχηματίζουν την υπο-μήτρα.
- Στο παραπάνω παράδειγμα, εάν θέλετε να βρείτε μια υπο-μήτρα του στοιχείου στη σειρά δύο, στήλη ένα, επισημαίνετε πέντε μέρη λέξεων στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη. Τα υπόλοιπα τέσσερα στοιχεία είναι η αντίστοιχη υπο-μήτρα.
- Βρείτε τον καθοριστικό παράγοντα κάθε υπο-μήτρας πολλαπλασιάζοντας διαγώνια και αφαιρώντας δύο προϊόντα το ένα από το άλλο, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.
- Διαβάστε περισσότερα για να μάθετε περισσότερα σχετικά με τους υπο-πίνακες και τις χρήσεις τους.
Δημιουργήστε έναν πίνακα αλγεβρικών υποτμημάτων. Τοποθετήστε το αποτέλεσμα που αποκτήθηκε από το προηγούμενο βήμα σε έναν νέο πίνακα που αποτελείται από αλγεβρικές υποενότητες τοποθετώντας κάθε καθοριστικό υπο-μήτρα στην αντίστοιχη θέση στην αρχική μήτρα. Έτσι, ο καθοριστής που υπολογίζεται από το στοιχείο (1,1) της αρχικής μήτρας θα τοποθετηθεί στη θέση (1,1). Στη συνέχεια, θα πρέπει να αλλάξετε το σύμβολο αντικατάστασης αυτού του νέου πίνακα σύμφωνα με τον πίνακα αναφοράς που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.
- Κατά τον προσδιορισμό του σημείου, διατηρείται το σήμα του πρώτου μορίου του οδηγού. Το σύμβολο του δεύτερου στοιχείου αντιστρέφεται. Το σύμβολο του τρίτου στοιχείου διατηρείται. Συνεχίστε έτσι για το υπόλοιπο της μήτρας. Σημειώστε ότι το σύμβολο (+) ή (-) στο γράφημα αναφοράς δεν υποδεικνύει ότι μέχρι το τέλος, το στοιχείο θα φέρει θετικό ή αρνητικό σύμβολο. Δείχνουν μόνο ότι τα στοιχεία θα διατηρηθούν ανέπαφα (+) ή θα αλλάξουν με (-).
- Ανατρέξτε στα βασικά του πίνακα για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τα αλγεβρικά προσαρτήματα.
- Το τελικό αποτέλεσμα που έχουμε σε αυτό το βήμα είναι ο συμπληρωματικός πίνακας του αρχικού πίνακα. Ορισμένες φορές ονομάζεται επίσης συζευγμένη μήτρα και ονομάζεται Adj (M).
Διαιρέστε όλα τα στοιχεία της μήτρας συμπληρώματος με τον καθοριστικό παράγοντα. Χρησιμοποιήστε τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας M που υπολογίσατε στο πρώτο βήμα (για να ελέγξετε εάν η μήτρα είναι αναστρέψιμη). Τώρα διαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με αυτήν την τιμή. Βάλτε το πηλίκο κάθε διαίρεσης στη θέση του αρχικού στοιχείου και παίρνουμε τον αντίστροφο πίνακα του αρχικού πίνακα.
- Ο πίνακας δείγματος που παρουσιάζεται στην εικόνα έχει καθοριστικό παράγοντα 1. Επομένως, όταν διαιρούμε κάθε στοιχείο της συμπληρωματικής μήτρας από τον καθοριστικό παράγοντα, αποκτούμε τον εαυτό του (δεν θα είστε πάντα τόσο τυχεροί). .
- Αντί να διαιρείται, κάποια τεκμηρίωση δείχνει αυτό το βήμα πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του M με 1 / det (M). Μαθηματικά, είναι ισοδύναμα.
διαφήμιση

Μέθοδος 2 από 3: Μειώστε τη γραμμική σειρά για να βρείτε την αντίστροφη μήτρα

Προσθέστε τον πίνακα μονάδων στον αρχικό πίνακα. Γράψτε τη βασική μήτρα M, σχεδιάστε μια κατακόρυφη γραμμή στα δεξιά αυτής της μήτρας και, στη συνέχεια, γράψτε τη μονάδα πίνακα στα δεξιά αυτής της γραμμής. Σε αυτό το σημείο, έχουμε έναν πίνακα με τρεις σειρές και έξι στήλες.
- Να θυμάστε ότι ο πίνακας ταυτότητας είναι ένας ειδικός πίνακας με όλα τα στοιχεία στην κύρια διαγώνια, από την επάνω αριστερή γωνία έως την κάτω δεξιά γωνία, ίσο με 1 και όλα τα στοιχεία στις υπόλοιπες θέσεις είναι μηδέν.
Εκτελέστε μείωση γραμμικής σειράς. Ο στόχος εδώ είναι να δημιουργήσετε τον πίνακα μονάδων στο αριστερό μέρος του πρόσφατα διευρυμένου πίνακα. Όταν εκτελείτε τα βήματα μείωσης της σειράς στα αριστερά, πρέπει να κάνετε το αντίστοιχο μέρος στα δεξιά - το τμήμα που είναι ο πίνακας μονάδας σας.
- Θυμηθείτε ότι η μείωση σειράς πραγματοποιείται ως συνδυασμός κλιματικού πολλαπλασιασμού και προσθήκης ή αφαίρεσης σειράς, προκειμένου να απομονωθούν μεμονωμένα στοιχεία της μήτρας.
Συνεχίστε μέχρι να σχηματιστεί η μήτρα μονάδας. Συνεχίστε τη γραμμική μείωση έως ότου εμφανιστεί ο πίνακας ταυτότητας (τα στοιχεία στη διαγώνια είναι ίση με 1, άλλα στοιχεία είναι ίσο με 0) στο αριστερό μέρος του διευρυμένου πίνακα Μόλις επιτευχθεί αυτό το βήμα, το δεξί μέρος του κατακόρυφου διαχωριστή είναι ο αντίστροφος πίνακας του αρχικού πίνακα.
Ξαναγράψτε τον αντίστροφο πίνακα. Αντιγράψτε τα στοιχεία που βρίσκονται στο δεξί μέρος του κατακόρυφου διαχωριστή και αυτό είναι το αντίστροφο πλέγμα σας. διαφήμιση

Μέθοδος 3 από 3: Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα με τον υπολογιστή τσέπης

Επιλέξτε μια αριθμομηχανή που μπορεί να λύσει πίνακες. Ένας απλός υπολογιστής τεσσάρων λειτουργιών δεν θα μπορεί να βρει την αντίστροφη μήτρα απευθείας για εσάς. Ωστόσο, λόγω της μαθηματικής επανάληψης, ένας προηγμένος υπολογιστής γραφημάτων, όπως το Texas Instruments TI-83 ή TI-86, μπορεί να μειώσει σημαντικά τη δουλειά σας.
Εισαγάγετε τη μήτρα στον υπολογιστή. Αρχικά, εισαγάγετε τη λειτουργία Matrix του υπολογιστή σας πατώντας το πλήκτρο Matrix, εάν είναι διαθέσιμο στη συσκευή σας. Με τη μηχανή Texas Instruments, θα πρέπει να πατήσετε 2 Matrix.
Επιλέξτε το υπομενού Επεξεργασία. Για να αποκτήσετε πρόσβαση σε αυτό το υπομενού, ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τα κουμπιά βέλους ή να επιλέξετε τα κατάλληλα πλήκτρα λειτουργίας που βρίσκονται στην επάνω σειρά του πληκτρολογίου του υπολογιστή, ανάλογα με το σχεδιασμό του.
Επιλέξτε ένα όνομα για τη μήτρα σας. Οι περισσότεροι υπολογιστές είναι εξοπλισμένοι για να λειτουργούν με 3 έως 10 πίνακες, γράμματα ονομάτων, Α έως J. Κανονικά, ας ξεκινήσουμε. Πατήστε το πλήκτρο Enter για να επιβεβαιώσετε την επιλογή ονόματος.
Εισαγάγετε το μέγεθος της μήτρας. Αυτό το άρθρο επικεντρώνεται σε πίνακες 3x3. Ωστόσο, οι αριθμομηχανές τσέπης μπορούν να χειριστούν μεγαλύτερους πίνακες. Εισαγάγετε τον αριθμό των σειρών, πατήστε Enter και μετά εισαγάγετε τον αριθμό της στήλης και πατήστε Enter.
Εισαγάγετε κάθε στοιχείο του πίνακα. Θα εμφανιστεί ένας πίνακας στην οθόνη του υπολογιστή. Εάν έχετε εργαστεί με τη συνάρτηση matrix στο παρελθόν, η μήτρα με την οποία εργαζόταν προηγουμένως θα εμφανιστεί στην οθόνη. Ο δρομέας θα σηματοδοτήσει το πρώτο στοιχείο της μήτρας. Εισαγάγετε την τιμή του πίνακα που θέλετε να λύσετε και πατήστε Enter. Ο δρομέας θα μετακινηθεί αυτόματα στο επόμενο στοιχείο, αντικαθιστώντας τυχόν προηγούμενες τιμές.
- Εάν θέλετε να εισαγάγετε αρνητικούς αριθμούς, χρησιμοποιήστε το αρνητικό κουμπί της αριθμομηχανής (-) και όχι το πλήκτρο μείον. Η συνάρτηση matrix δεν θα διαβαστεί σωστά.
- Εάν χρειαστεί, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα πλήκτρα βέλους στην αριθμομηχανή σας για να μετακινηθείτε στη μήτρα.
Κλείστε τη συνάρτηση matrix. Αφού εισαγάγετε ολόκληρη την τιμή μήτρας, πατήστε το πλήκτρο Quit - Exit (ή 2 Quit, εάν είναι απαραίτητο). Χάρη σε αυτό, βγείτε από τη λειτουργία Matrix και επιστρέφετε στην κύρια οθόνη του υπολογιστή.
Χρησιμοποιήστε το αντίστροφο κλειδί για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα. Αρχικά, ανοίξτε ξανά τη συνάρτηση Matrix και χρησιμοποιήστε το κουμπί Names για να επιλέξετε το όνομα της μήτρας που χρησιμοποιήσατε για να δώσετε στον πίνακα σας (μπορεί να είναι). Στη συνέχεια, πατήστε το αντίστροφο πλήκτρο της αριθμομηχανής,. Ανάλογα με τη συσκευή σας, ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε το κουμπί 2. Εμφανίζεται η οθόνη. Πατήστε Enter και η αντίστροφη μήτρα θα εμφανιστεί στην οθόνη σας.
- Μην χρησιμοποιείτε το κουμπί ^ στον υπολογιστή σας όταν προσπαθείτε να εισάγετε A ^ -1 με μεμονωμένα κλικ. Οι υπολογιστές δεν θα καταλάβουν αυτά τα μαθηματικά.
- Εάν λάβετε ένα μήνυμα σφάλματος όταν πατάτε το αντίστροφο πλήκτρο, είναι πιο πιθανό η μητρική σας μήτρα να μην είναι αναστρέψιμη. Ίσως πρέπει να επιστρέψετε και να είστε ποιοτικοί για να προσδιορίσετε εάν αυτή είναι η αιτία του σφάλματος.
Μετατρέψτε τον αντίστροφο πίνακα στη σωστή απάντηση. Το πρώτο αποτέλεσμα που επιστρέφεται από τον υπολογιστή εμφανίζεται με δεκαδικό. Αυτή δεν είναι απαραίτητα η «σωστή» απάντηση για τους περισσότερους σκοπούς. Θα πρέπει να μετατρέψετε αυτήν την δεκαδική απάντηση σε κλάσμα εάν χρειάζεται (αν είναι αρκετά τυχερός, όλα τα αποτελέσματά σας είναι ακέραιοι. Ωστόσο, είναι πολύ σπάνιο).
- Ίσως η αριθμομηχανή σας να έχει μια λειτουργία που μετατρέπει αυτόματα τα δεκαδικά σε κλάσματα. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιείτε το TI-86, μπορείτε να μεταβείτε στη λειτουργία Math, επιλέξτε Misc και στη συνέχεια Frac και πατήστε Enter. Τα δεκαδικά ψηφία θα εμφανίζονται αυτόματα ως κλάσματα.
Οι περισσότεροι υπολογιστές γραφικών έχουν αγκύλες (για TI-84, δηλαδή 2ος + x και 2ος + -) που σας επιτρέπουν να εισάγετε μια μήτρα χωρίς να χρησιμοποιήσετε μια συνάρτηση μήτρας. Σημείωση: Ένας υπολογιστής ενδέχεται να μην μορφοποιήσει έναν πίνακα έως ότου χρησιμοποιηθεί το πλήκτρο enter / ίσο (που σημαίνει ότι όλα θα είναι στην ίδια σειρά και όχι πολύ ωραία). διαφήμιση

Συμβουλή

Μπορείτε να ακολουθήσετε αυτά τα βήματα για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα που δεν περιέχει μόνο αριθμούς, αλλά και μεταβλητές, άγνωστες ή ακόμη και αλγεβρικές εκφράσεις.
Καταγράψτε όλα τα βήματα, επειδή η εύρεση του αντίστροφου ενός πίνακα 3x3 με το να κάνετε μαθηματικά είναι εξαιρετικά δύσκολη.
Υπάρχουν προγράμματα αριθμομηχανής που σας βοηθούν να βρείτε αντίστροφους πίνακες, έως και 30x30 πίνακες.
Ανεξάρτητα από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται, ελέγξτε την ακρίβεια του αποτελέσματος πολλαπλασιάζοντας το M με το M. Θα επιβεβαιώσετε ότι M * M = M * M = I. , αποτελείται από στοιχεία 1 που βρίσκονται κατά μήκος της κύριας διαγώνιας και μηδενικά αλλού. Εάν δεν λάβετε τέτοια αποτελέσματα, πρέπει να έχετε κάνει λάθος κάπου.