Περιεχόμενο

• Προκαταρκτικές πληροφορίες
• Βήματα
• Μέρος 1 από 3: Τα βασικά
• Μέρος 2 από 3: Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace
• Μέρος 3 από 3: Finding the Laplace Transform by Series Expansion

Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας ολοκληρωμένος μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Αυτός ο μετασχηματισμός χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική και τη μηχανική.

Ενώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους κατάλληλους πίνακες, είναι χρήσιμο να κατανοήσετε τον μετασχηματισμό Laplace, ώστε να μπορείτε να το κάνετε μόνοι σας εάν είναι απαραίτητο.

Προκαταρκτικές πληροφορίες

• Δίνεται μια λειτουργία ${ displaystyle f (t)}$ορίζεται για ${ displaystyle t geq 0.}$ Τότε Μετασχηματισμός Laplace λειτουργία ${ displaystyle f (t)}$ είναι η επόμενη συνάρτηση κάθε τιμής ${ displaystyle s}$, στο οποίο το ολοκλήρωμα συγκλίνει:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Ο μετασχηματισμός Laplace μεταφέρει μια συνάρτηση από την περιοχή t (χρονική κλίμακα) στην περιοχή s (περιοχή μετασχηματισμού), όπου ${ displaystyle F (s)}$ είναι μια σύνθετη συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής. Σας επιτρέπει να μετακινήσετε τη συνάρτηση σε μια περιοχή όπου μια λύση μπορεί να βρεθεί πιο εύκολα.
• Προφανώς, ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας γραμμικός τελεστής, οπότε αν έχουμε να κάνουμε με ένα άθροισμα όρων, κάθε ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί ξεχωριστά.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Θυμηθείτε ότι ο μετασχηματισμός Laplace λειτουργεί μόνο εάν το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Αν η συνάρτηση ${ displaystyle f (t)}$ έχει ασυνέχειες, είναι απαραίτητο να είστε προσεκτικοί και να ορίσετε σωστά τα όρια ολοκλήρωσης, προκειμένου να αποφευχθεί η αβεβαιότητα.

Βήματα

Μέρος 1 από 3: Τα βασικά

1. 1 Αντικαταστήστε τη συνάρτηση στον τύπο μετασχηματισμού Laplace. Θεωρητικά, ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί. Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη τη συνάρτηση ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, όπου ${ displaystyle a}$ είναι μια σύνθετη σταθερά με ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Εκτιμήστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τις διαθέσιμες μεθόδους. Στο παράδειγμά μας, η εκτίμηση είναι πολύ απλή και μπορείτε να τα καταφέρετε με απλούς υπολογισμούς. Σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις, μπορεί να χρειαστούν πιο πολύπλοκες μέθοδοι, για παράδειγμα, ενσωμάτωση ανά μέρη ή διαφοροποίηση κάτω από το ενσωματωμένο πρόσημο. Περιοριστική συνθήκη ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλαδή η τιμή του τείνει στο 0 ως ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { αρχή {στοίχιση} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {ευθυγραμμισμένος}}}$
   • Σημειώστε ότι αυτό μας δίνει δύο τύπους μετασχηματισμού Laplace, με ημίτονο και συνημίτονο, αφού σύμφωνα με τον τύπο του Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Σε αυτή την περίπτωση, στον παρονομαστή παίρνουμε ${ displaystyle s-ia,}$ και μένει μόνο να προσδιοριστούν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη. Μπορείτε επίσης να αξιολογήσετε το αποτέλεσμα απευθείας, αλλά αυτό θα διαρκέσει λίγο περισσότερο.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Εξετάστε τον μετασχηματισμό Laplace μιας συνάρτησης ισχύος. Πρώτον, πρέπει να ορίσετε τον μετασχηματισμό της συνάρτησης ισχύος, καθώς η ιδιότητα γραμμικότητας σάς επιτρέπει να βρείτε τον μετασχηματισμό για από όλους πολυώνυμα. Μια συνάρτηση της φόρμας ${ displaystyle t ^ {n},}$ όπου ${ displaystyle n}$ - οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός. Μπορεί να ενσωματωθεί κομμάτι προς κομμάτι για να καθορίσει έναν αναδρομικό κανόνα.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Αυτό το αποτέλεσμα εκφράζεται σιωπηρά, αλλά αν αντικαταστήσετε πολλές τιμές ${ displaystyle n,}$ μπορείτε να δημιουργήσετε ένα συγκεκριμένο μοτίβο (προσπαθήστε να το κάνετε μόνοι σας), το οποίο σας επιτρέπει να έχετε το ακόλουθο αποτέλεσμα:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Μπορείτε επίσης να ορίσετε τον μετασχηματισμό κλασματικών δυνάμεων Laplace χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση γάμμα. Για παράδειγμα, με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να βρείτε τον μετασχηματισμό μιας συνάρτησης όπως π.χ. ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Αν και οι συναρτήσεις με κλασματικές δυνάμεις πρέπει να έχουν περικοπές (θυμηθείτε, τυχόν μιγαδικούς αριθμούς ${ displaystyle z}$ και ${ displaystyle alpha}$ μπορεί να γραφτεί ως ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, επειδή η ${ displaystyle e ^ { alpha opeernorname {Log} z}}$), μπορούν πάντα να οριστούν με τέτοιο τρόπο ώστε οι περικοπές να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο και έτσι να αποφεύγονται προβλήματα αναλυτικότητας.

Μέρος 2 από 3: Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace

1. 1 Ας βρούμε τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης πολλαπλασιασμένο με μιένατ{ displaystyle e ^ {at}}. Τα αποτελέσματα που ελήφθησαν στην προηγούμενη ενότητα μας επέτρεψαν να βρούμε μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Ο μετασχηματισμός Laplace συναρτήσεων όπως συνημίτονο, ημίτονο και εκθετική συνάρτηση φαίνεται να είναι απλούστερος από τον μετασχηματισμό της συνάρτησης ισχύος. Πολλαπλασιασμός κατά ${ displaystyle e ^ {at}}$ στην περιοχή t αντιστοιχεί σε μετατόπιση στην περιοχή s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Αυτή η ιδιότητα σάς επιτρέπει αμέσως να βρείτε τον μετασχηματισμό συναρτήσεων όπως π.χ. ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Ας βρούμε τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης πολλαπλασιασμένο με τν{ displaystyle t ^ {n}}. Πρώτον, εξετάστε τον πολλαπλασιασμό κατά ${ displaystyle t}$... Εξ ορισμού, μπορεί κανείς να διαφοροποιήσει μια συνάρτηση κάτω από ένα ολοκλήρωμα και να έχει ένα εκπληκτικά απλό αποτέλεσμα:
   • ${ displaystyle { αρχή {ευθυγράμμιση} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {στοιχισμένο}}}$
   • Επαναλαμβάνοντας αυτήν τη λειτουργία, έχουμε το τελικό αποτέλεσμα:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Αν και η αναδιάταξη των τελεστών ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης απαιτεί κάποια πρόσθετη αιτιολόγηση, δεν θα την παρουσιάσουμε εδώ, αλλά θα σημειώσουμε μόνο ότι αυτή η λειτουργία είναι σωστή εάν το τελικό αποτέλεσμα έχει νόημα. Μπορείτε επίσης να λάβετε υπόψη το γεγονός ότι οι μεταβλητές ${ displaystyle s}$ και ${ displaystyle t}$ δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο.
   • Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, είναι εύκολο να βρεθεί ο μετασχηματισμός συναρτήσεων όπως π.χ. ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, χωρίς επανένταξη κατά μέρη:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης φά(ένατ){ displaystyle f (at)}. Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα αντικαθιστώντας τη μεταβλητή με u χρησιμοποιώντας τον ορισμό του μετασχηματισμού:
   • ${ displaystyle { αρχή {ευθυγράμμιση} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F αριστερά ({ frac {s} {a}} δεξιά) τέλος {στοιχισμένο}}}$
   • Πάνω, βρήκαμε τον μετασχηματισμό συναρτήσεων Laplace ${ displaystyle sin at}$ και ${ displaystyle cos at}$ απευθείας από την εκθετική συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορείτε να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα εάν βρείτε τα πραγματικά και φανταστικά μέρη ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace της παραγώγου φά′(τ){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα, σε αυτή την περίπτωση πρέπει ενσωματώστε κομμάτι προς κομμάτι:
   • ${ displaystyle { begin {ευθυγραμμισμένο} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {ευθυγραμμισμένο}}}$
   • Δεδομένου ότι το δεύτερο παράγωγο συμβαίνει σε πολλά φυσικά προβλήματα, βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace και για αυτό:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Στη γενική περίπτωση, ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου της ένατης τάξης ορίζεται ως εξής (αυτό επιτρέπει την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Μέρος 3 από 3: Finding the Laplace Transform by Series Expansion

1. 1 Ας βρούμε τον μετασχηματισμό Laplace για μια περιοδική συνάρτηση. Η περιοδική συνάρτηση ικανοποιεί την προϋπόθεση ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ όπου ${ displaystyle T}$ είναι η περίοδος της συνάρτησης, και ${ displaystyle n}$ είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Οι περιοδικές λειτουργίες χρησιμοποιούνται ευρέως σε πολλές εφαρμογές, συμπεριλαμβανομένης της επεξεργασίας σήματος και της ηλεκτρολογίας. Χρησιμοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς, έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:
   • ${ displaystyle { αρχή {ευθυγράμμιση} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ευθυγραμμισμένος}}}$
   • Όπως μπορείτε να δείτε, στην περίπτωση περιοδικής συνάρτησης, αρκεί να εκτελέσετε τον μετασχηματισμό Laplace για μία περίοδο.
2. 2 Εκτελέστε τον μετασχηματισμό Laplace για τον φυσικό λογάριθμο. Σε αυτή την περίπτωση, το ολοκλήρωμα δεν μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή στοιχειωδών συναρτήσεων. Η χρήση της συνάρτησης γάμμα και της επέκτασης της σειράς σάς επιτρέπει να εκτιμήσετε τον φυσικό λογάριθμο και τους βαθμούς του. Η παρουσία της σταθεράς Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ δείχνει ότι για να εκτιμηθεί αυτό το ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί μια επέκταση σειράς.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Εξετάστε τον μετασχηματισμό Laplace της μη κανονικοποιημένης συνάρτησης sinc. Λειτουργία ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ χρησιμοποιείται ευρέως για επεξεργασία σήματος, σε διαφορικές εξισώσεις είναι ισοδύναμη με τη σφαιρική συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και μηδενικής τάξης ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης επίσης δεν μπορεί να υπολογιστεί με τυπικές μεθόδους. Σε αυτή την περίπτωση, πραγματοποιείται ο μετασχηματισμός μεμονωμένων μελών της σειράς, οι οποίες είναι συναρτήσεις ισχύος, οπότε οι μετασχηματισμοί τους συγκλίνουν απαραίτητα σε ένα δεδομένο διάστημα.
   • Αρχικά, γράφουμε την επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Τώρα χρησιμοποιούμε τον ήδη γνωστό μετασχηματισμό της συνάρτησης ισχύος Laplace. Τα factorials ακυρώνονται και ως αποτέλεσμα παίρνουμε την επέκταση Taylor για το arctangent, δηλαδή μια εναλλασσόμενη σειρά που μοιάζει με τη σειρά Taylor για το ημίτονο, αλλά χωρίς factorials:
     • ${ displaystyle { αρχή {στοίχιση} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {ευθυγραμμισμένο}}}$