Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέρος 1 από 2: Γωνίες σε ακτίνια
• Μέρος 2 από 2: Συντεταγμένες x-y (συνημίτονο, ημίτονο)
• Συμβουλές

Ο κύκλος μονάδων χρησιμοποιείται όχι μόνο στην τριγωνομετρία και τη γεωμετρία, αλλά και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών. Με την πρώτη ματιά, το να θυμάστε όλα τα μοναδικά σημεία σε αυτό είναι μάλλον δύσκολο, αλλά αν κατανοήσετε τη βασική αρχή, μπορείτε εύκολα να χρησιμοποιήσετε τον κύκλο μονάδας.

Βήματα

Μέρος 1 από 2: Γωνίες σε ακτίνια

1. 1 Σχεδιάστε δύο κάθετες γραμμές. Πάρτε ένα μεγάλο κομμάτι χαρτί και έναν χάρακα και σχεδιάστε κάθετες και οριζόντιες γραμμές. Το σημείο τομής αυτών των γραμμών πρέπει να βρίσκεται περίπου στο κέντρο του φύλλου. Αυτοί θα είναι οι άξονες Χ και y.
2. 2 Σχεδιάστε έναν κύκλο. Πάρτε μια πυξίδα, βάλτε τη βελόνα της στη διασταύρωση των γραμμών και σχεδιάστε έναν μεγάλο κύκλο.
3. 3 Γνωρίστε την έννοια του ακτινικού. Το ακτίνιο είναι η μονάδα μέτρησης των γωνιών. Εξ ορισμού, μια γωνία ενός ακτινωτού κόβεται στην περιφέρεια της μονάδας ακτίνα κύκλου τόξο μονάδας μήκους. Σε όλο αυτό το τμήμα, τα σημεία θα συμβολίζονται με τις αντίστοιχες τιμές τους σε ακτίνια. Εάν θυμάστε τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας ενός κύκλου και της ακτίνας του, μπορείτε εύκολα να καθορίσετε αυτές τις τιμές κατά μήκος του μοναδιαίου κύκλου, ακόμα κι αν τις ξεχάσατε.
   • Κατά τη μέτρηση γωνιών κατά μήκος της μονάδας κύκλου, το σημείο με τις συντεταγμένες (0; 1) λαμβάνεται πάντα ως σημείο εκκίνησης. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φανταστείτε τον ενιαίο κύκλο με τη μορφή ενός ανέμου, τότε το σημείο αναφοράς θα αντιστοιχεί στην ανατολική κατεύθυνση.
4. 4 Θυμηθείτε ότι το συνολικό μήκος του κύκλου μονάδας είναι 2π. Η περιφέρεια είναι 2πρ, όπου ρ - την ακτίνα του. Δεδομένου ότι η ακτίνα του κύκλου μονάδας είναι 1, το μήκος του είναι 2π. Από εδώ, μπορείτε να βρείτε την τιμή σε ακτίνια για κάθε σημείο του κύκλου: απλά πάρτε 2π και διαιρέστε με το κλάσμα του κύκλου που αντιστοιχεί σε αυτό το σημείο. Αυτό είναι πολύ πιο εύκολο από το να μάθετε τις τιμές σε κάθε σημείο του κύκλου μονάδων.
5. 5 Σημειώστε τέσσερα σημεία στους άξονες Χ και y. Αυτά τα σημεία θα χωρίσουν τον κύκλο σε τέσσερα τεταρτημόρια (τέταρτα):
   • "ανατολικά" είναι το σημείο αναφοράς, άρα αντιστοιχεί σε 0 ακτίνια?
   • "βορράς" = ¼ κύκλος = /₄ = /₂ ακτίνια?
   • "δυτικά" = μισός κύκλος = /₂ = π ακτίνια?
   • "νότια" = τρία τέταρτα ενός κύκλου = 2π * ¾ = /₂ ακτίνια?
   • αφού διανύσουμε ολόκληρο τον κύκλο, επιστρέφουμε στο σημείο εκκίνησης, οπότε μαζί με το 0 μπορεί να εκχωρηθεί η τιμή 2π.
6. 6 Χωρίστε τον κύκλο σε οκτώ μέρη. Σχεδιάστε ευθείες γραμμές στη μέση κάθε τεταρτημορίου έτσι ώστε να τις μειώσετε στο μισό. Για τα σημεία τομής των ευθειών με έναν κύκλο, λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές σε ακτίνια:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (τα σημεία π / 2, π, 3π / 2 και 2π έχουν ήδη επισημανθεί).
7. 7 Χωρίστε τον κύκλο σε έξι μέρη. Σχεδιάστε επιπλέον γραμμές που χωρίζουν τον κύκλο σε έξι μέρη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο για αυτό: ξεκινήστε από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ και αφήστε στην άκρη γωνίες 60 μοιρών. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι το έκτο μέρος του κύκλου είναι /₆ = /₃ ακτίνια. Τώρα μπορούμε να σημειώσουμε τα σημεία τομής των νέων γραμμών με τον κύκλο (ένα σε κάθε τεταρτημόριο):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (οι τιμές των π και 2π έχουν ήδη σημειωθεί).
8. 8 Σχεδιάστε γραμμές που χωρίζουν τον κύκλο σε 12 μέρη. Απομένει να διαιρέσουμε τον κύκλο μονάδας σε 12 ίσα μέρη. Από αυτά τα σημεία, μόνο τέσσερα δεν είχαν σημειωθεί προηγουμένως:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Μέρος 2 από 2: Συντεταγμένες x-y (συνημίτονο, ημίτονο)

1. 1 Εξοικειωθείτε με τις έννοιες του ημιτόνου και του συνημίτονου. Ο κύκλος μονάδας είναι ιδανικός για εργασία με ορθογώνια τρίγωνα. Συντεταγμένες Χ τα σημεία που βρίσκονται στον κύκλο είναι ίσα με το cos (θ) και τις συντεταγμένες y αντιστοιχούν στο sin (θ), όπου θ είναι η γωνία.
   • Εάν δυσκολεύεστε να θυμηθείτε αυτόν τον κανόνα, απλώς θυμηθείτε ότι στο ζεύγος (cos; sin) "το ημίτονο είναι στην τελευταία θέση".
   • Αυτός ο κανόνας μπορεί να συναχθεί αν λάβουμε υπόψη τα ορθογώνια τρίγωνα και τον ορισμό αυτών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με το λόγο του μήκους του αντίθετου, και το συνημίτονο είναι το παρακείμενο πόδι προς την υποτείνουσα).
2. 2 Γράψτε τις συντεταγμένες των τεσσάρων σημείων του κύκλου. Ένας "κύκλος μονάδας" είναι ένας κύκλος του οποίου η ακτίνα είναι ίση με ένα. Χρησιμοποιήστε αυτό για να καθορίσετε συντεταγμένες Χ και y σε τέσσερα σημεία τομής των αξόνων συντεταγμένων με τον κύκλο. Πάνω, έχουμε ορίσει αυτά τα σημεία για λόγους σαφήνειας ως "ανατολικά", "βόρεια", "δυτικά" και "νότια", αν και δεν έχουν καθιερωμένο όνομα.
   • Το "East" αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1; 0).
   • Το "North" αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (0; 1).
   • Το "West" αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (-1; 0).
   • Το "South" αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (0; -1).
   • Αυτό είναι το ίδιο με ένα κανονικό γράφημα, οπότε δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτές τις τιμές, απλώς θυμηθείτε τη βασική αρχή.
3. 3 Θυμηθείτε τις συντεταγμένες των σημείων στο πρώτο τεταρτημόριο. Το πρώτο τεταρτημόριο βρίσκεται στην επάνω δεξιά γωνία του κύκλου, όπου βρίσκονται οι συντεταγμένες Χ και y λάβετε θετικές τιμές. Αυτές είναι οι μόνες συντεταγμένες που πρέπει να θυμάστε:
   • τελεία /₆ έχει συντεταγμένες (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • τελεία /₄ έχει συντεταγμένες (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • τελεία /₃ έχει συντεταγμένες (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • Σημειώστε ότι ο αριθμητής δέχεται μόνο τρεις τιμές. Εάν κινείστε προς τη θετική κατεύθυνση (από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα Χ και από κάτω προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα y), ο αριθμητής παίρνει τις τιμές 1 √2 → √3.
4. 4 Σχεδιάστε ευθείες γραμμές και καθορίστε τις συντεταγμένες των σημείων της τομής τους με τον κύκλο. Εάν σχεδιάσετε ευθείες οριζόντιες και κάθετες γραμμές από τα σημεία ενός τεταρτημορίου, το δεύτερο σημείο τομής αυτών των γραμμών με τον κύκλο θα έχει συντεταγμένες Χ και y με τις ίδιες απόλυτες τιμές, αλλά διαφορετικά σημάδια. Με άλλα λόγια, μπορείτε να σχεδιάσετε οριζόντιες και κάθετες γραμμές από τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου και να υπογράψετε τα σημεία τομής με τον κύκλο με τις ίδιες συντεταγμένες, αλλά ταυτόχρονα να αφήσετε χώρο για το σωστό πρόσημο ("+" ή "- ") στα αριστερά.
   • Για παράδειγμα, μπορείτε να σχεδιάσετε μια οριζόντια γραμμή μεταξύ των σημείων /₃ και /₃... Δεδομένου ότι το πρώτο σημείο έχει συντεταγμένες (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), οι συντεταγμένες του δεύτερου σημείου θα είναι (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), όπου τοποθετείται ένα ερωτηματικό αντί για το σύμβολο "+" ή "-".
   • Χρησιμοποιήστε την απλούστερη μέθοδο: σημειώστε τους παρονομαστές των συντεταγμένων σημείων σε ακτίνια. Όλα τα σημεία με παρονομαστή 3 έχουν τις ίδιες απόλυτες τιμές συντεταγμένων. Το ίδιο ισχύει για τα σημεία με παρονομαστές 4 και 6.
5. 5 Χρησιμοποιήστε τους κανόνες συμμετρίας για να προσδιορίσετε το πρόσημο των συντεταγμένων. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να καθορίσετε πού να τοποθετήσετε το σύμβολο "-":
   • θυμηθείτε τους βασικούς κανόνες για τακτικά γραφήματα. Αξονας Χ αρνητικό στα αριστερά και θετικό στα δεξιά. Αξονας y αρνητικό κάτω και θετικό παραπάνω?
   • ξεκινήστε στο πρώτο τεταρτημόριο και τραβήξτε γραμμές σε άλλα σημεία. Εάν η γραμμή διασχίζει τον άξονα y, συντεταγμένος Χ θα αλλάξει πρόσημο. Εάν η γραμμή διασχίζει τον άξονα Χ, το πρόσημο της συντεταγμένης θα αλλάξει y;
   • θυμηθείτε ότι στο πρώτο τεταρτημόριο όλες οι συναρτήσεις είναι θετικές, στο δεύτερο τεταρτημόριο μόνο το ημίτονο είναι θετικό, στο τρίτο τεταρτημόριο μόνο η εφαπτομένη είναι θετική και στο τέταρτο τεταρτημόριο μόνο το συνημίτονο είναι θετικό.
   • όποια μέθοδο και αν χρησιμοποιήσετε, το πρώτο τεταρτημόριο πρέπει να είναι ( +, +), το δεύτερο ( -, +), το τρίτο ( -, -) και το τέταρτο ( +, -).
6. 6 Ελέγξτε αν κάνετε λάθος. Παρακάτω είναι μια πλήρης λίστα συντεταγμένων "ειδικών" σημείων (εκτός από τέσσερα σημεία στους άξονες συντεταγμένων), αν κινείστε κατά μήκος της μονάδας κύκλου αριστερόστροφα. Θυμηθείτε ότι για να καθορίσετε όλες αυτές τις τιμές, αρκεί να θυμάστε τις συντεταγμένες των σημείων μόνο στο πρώτο τεταρτημόριο:
   • πρώτο τεταρτημόριο: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • δεύτερο τεταρτημόριο: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • τρίτο τεταρτημόριο: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • τέταρτο τεταρτημόριο: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Συμβουλές

• Εάν πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κύκλο μονάδας για μια δοκιμή ή εξέταση, σχεδιάστε τον σε ένα σχέδιο.
• Με λίγη εξάσκηση, θα πρέπει να μπορείτε να σχεδιάσετε γρήγορα έναν ενιαίο κύκλο. Με την πάροδο του χρόνου, θα μπορείτε να σχεδιάζετε μόνο άξονες Χ και y ή ακόμα και χωρίς διάγραμμα.