Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή

Εάν είστε μαθηματικός ή προγραμματιστής γραφικών, πιθανότατα θα πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο δεδομένων διανυσμάτων. Σε αυτό το άρθρο, το wikiHow σας δείχνει πώς να το κάνετε ακριβώς αυτό.

Βήματα

Μέρος 1 από 2: Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

1. 

   Διάνυσμα ορισμός. Γράψτε όλες τις πληροφορίες σχετικά με τα δύο διανύσματα που έχετε. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μόνο τις καθορισμένες παραμέτρους των διαστάσεων συντεταγμένων τους (ονομάζονται επίσης συστατικά). Εάν γνωρίζετε ήδη το μήκος (μέγεθος) ενός διανύσματος, μπορείτε να παραλείψετε μερικά από τα παρακάτω βήματα.
   • Παράδειγμα: Διδιάστατο διάνυσμα = (2,2) και δισδιάστατο διάνυσμα = (0,3). Μπορούν επίσης να γραφτούν ως = 2Εγώ + 2ι και = 0Εγώ + 3ι = 3ι.
   • Παρόλο που χρησιμοποιούνται δύο διαστατικά διανύσματα στο παράδειγμα σε αυτό το άρθρο, οι ακόλουθες οδηγίες μπορούν να εφαρμοστούν σε διανύσματα με οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων.

2. 

   
   
   Γράψτε τον τύπο συνημίτονο. Για να βρούμε τη γωνία θ μεταξύ δύο διανυσμάτων, ξεκινάμε με τον τύπο για να βρούμε το συνημίτονο για αυτήν τη γωνία. Μπορείτε να μάθετε για αυτόν τον τύπο παρακάτω ή απλά να το γράψετε ως εξής:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| σημαίνει "μήκος του διανύσματος".
   • • είναι το κλιμακωτό προϊόν των δύο διανυσμάτων - αυτό θα εξηγηθεί παρακάτω.

3. 

   
   
   Υπολογίστε το μήκος κάθε διανύσματος. Φανταστείτε ότι ένα σωστό τρίγωνο αποτελείται από τα στοιχεία x, y του διανύσματος και του ίδιου του διανύσματος. Ο φορέας σχηματίζει την υπόταση του τριγώνου, έτσι ώστε να βρούμε το μήκος του χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Στην πραγματικότητα, αυτός ο τύπος μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε ένα φορέα οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων.
   • || u || = εσύ₁ + εσύ₂. Εάν ένα διάνυσμα έχει περισσότερα από δύο στοιχεία, απλώς πρέπει να συνεχίσετε να προσθέτετε + u₃ + εσύ₄ +...
   • Ως εκ τούτου, για ένα δισδιάστατο διάνυσμα, || u || = √ (u₁ + εσύ₂).
   • Σε αυτό το παράδειγμα, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Υπολογίστε το κλιμακωτό προϊόν δύο διανυσμάτων. Ίσως έχετε μάθει τη μέθοδο του διανυσματικού πολλαπλασιασμού, επίσης γνωστή ως βαθμωτό μέγεθος Αυτό. Για να υπολογίσετε το βαθμωτό προϊόν σε σχέση με τη σύνθεσή τους, πολλαπλασιάστε τα συστατικά σε κάθε κατεύθυνση μαζί και, στη συνέχεια, προσθέστε ολόκληρο το αποτέλεσμα.
   • Για το πρόγραμμα γραφικών, ανατρέξτε στις Συμβουλές πριν διαβάσετε περαιτέρω.
   • Στα μαθηματικά • = u₁β₁ + εσύ₂β₂, πού, u = (u₁εσύ₂). Εάν ο φορέας έχει περισσότερα από δύο στοιχεία, απλώς προσθέστε το + u₃β₃ + εσύ₄β₄...
   • Σε αυτό το παράδειγμα, • = u₁β₁ + εσύ₂β₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Αυτό είναι το βαθμωτό προϊόν του διανύσματος και του διανύσματος.

5. 

   Βάλτε τα αποτελέσματα στον τύπο. Θυμηθείτε ότι cosθ = (•) / (|||| || ||). Τώρα γνωρίζουμε τόσο το κλιματικό προϊόν όσο και το μήκος κάθε διανύσματος. Εισαγάγετε αυτά στον τύπο για να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας.
   • Στο παράδειγμά μας, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Βρείτε τη γωνία με βάση το συνημίτονο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση arccos ή cos σε μια αριθμομηχανή για να βρείτε θ από μια γνωστή τιμή cos. Με μερικά αποτελέσματα, μπορείτε να βρείτε τη γωνία με βάση τον κύκλο της μονάδας.
   • Στο παράδειγμα, cosθ = √2 / 2. Πληκτρολογήστε "arccos (√2 ​​/ 2)" στον υπολογιστή σας για να βρείτε τη γωνία. Εναλλακτικά, μπορείτε να βρείτε τη γωνία θ στον κύκλο της μονάδας, στη θέση cosθ = √2 / 2. Είναι αλήθεια για θ = /₄ ή 45º.
   • Συνδυάζοντας τα πάντα, ο τελικός τύπος είναι: γωνία θ = αρκοσίνη ((•) / (|||| || ||))
   διαφήμιση

Μέρος 2 από 2: Προσδιορισμός του τύπου γωνίας

1. 

   Κατανοήστε τον σκοπό του τύπου. Αυτός ο τύπος δεν προήλθε από υπάρχοντες κανόνες. Αντ 'αυτού, διαμορφώνεται ως ο ορισμός του κλιματικού προϊόντος και της γωνίας μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Ωστόσο, δεν ήταν αυθαίρετη απόφαση. Επιστρέφοντας στη βασική γεωμετρία, μπορούμε να καταλάβουμε γιατί αυτός ο τύπος παρέχει διαισθητικούς και χρήσιμους ορισμούς.
   • Τα παρακάτω παραδείγματα χρησιμοποιούν δισδιάστατα διανύσματα επειδή είναι ευκολότερα κατανοητά και απλούστερα. Τα τρισδιάστατα ή περισσότερα διανύσματα έχουν ιδιότητες που ορίζονται από σχεδόν παρόμοιους γενικούς τύπους.

2. 

   Αναθεωρήστε το θεώρημα του Cosine. Εξετάστε ένα συνηθισμένο τρίγωνο με γωνία θ μεταξύ των πλευρών a και b, αντίθετης πλευράς c. Το θεώρημα Cosine δηλώνει ότι c = a + b -2abσυν(θ). Αυτό το αποτέλεσμα αντλείται απλώς από τη βασική γεωμετρία.

3. 

   Συνδέστε δύο διανύσματα, σχηματίζοντας ένα τρίγωνο. Σχεδιάστε ένα ζευγάρι δύο διαστάσεων διανυσμάτων σε χαρτί, διανύσματα και διανύσματα, με θ να είναι η γωνία μεταξύ τους. Σχεδιάστε ένα τρίτο διάνυσμα μεταξύ αυτών των δύο για να δημιουργήσετε ένα τρίγωνο. Με άλλα λόγια, σχεδιάστε ένα διάνυσμα έτσι ώστε + =. Διάνυσμα = -.

4. 

   Γράψτε το θεώρημα Cosine για αυτό το τρίγωνο. Αντικαταστήστε το πλευρικό μήκος του "διανυσματικού τριγώνου" στο θεώρημα Cosine:
   • || (α - β) || = || α || + || β || - 2 || α || || β ||συν(θ)

5. 

   Ξαναγράψτε με scalar προϊόν Θυμηθείτε, ένα κλιμακωτό προϊόν είναι η εικόνα του ενός φορέα στο άλλο. Το κλιμακωτό προϊόν ενός διανύσματος από μόνη της δεν απαιτεί προβολή, επειδή εδώ δεν υπάρχει διαφορά στην κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει • = || α ||. Χρησιμοποιώντας αυτό, ξαναγράφουμε την εξίσωση:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || α || || β ||συν(θ)

6. 

   Ξαναγράψαμε με επιτυχία τον ίδιο τύπο. Αναπτύξτε την αριστερή πλευρά του τύπου και, στη συνέχεια, απλοποιήστε για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε γωνίες.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || α || || β ||συν(θ)
   • - • - • = -2 || α || || β ||συν(θ)
   • -2 (•) = -2 || α || || β ||συν(θ)
   • • = || α || || β ||συν(θ)
   διαφήμιση

Συμβουλή

• Για να αλλάξετε τις τιμές και να επιλύσετε γρήγορα το πρόβλημα, χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο για οποιοδήποτε ζεύγος δισδιάστατων διανυσμάτων: cosθ = (u₁ • v₁ + εσύ₂ • v₂) / (√ (u₁ • εσύ₂) • √ (εδ₁ • v₂)).
• Εάν εργάζεστε με λογισμικό γραφικών υπολογιστών, πιθανότατα θα πρέπει να ανησυχείτε μόνο για τις διαστάσεις του διανύσματος χωρίς να ανησυχείτε για το μήκος τους. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω βήματα για να συντομεύσετε μια εξίσωση και να επιταχύνετε το πρόγραμμά σας:
  • Ομαλοποιήστε κάθε διάνυσμα έτσι ώστε να είναι ίσοι με 1. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε κάθε ένα από τα συστατικά του διανύσματος με το μήκος του.
  • Αποκτήστε το κανονικοποιημένο προϊόν της κλίμακας αντί του αρχικού διανύσματος.
  • Δεδομένου ότι το μήκος είναι 1, μπορούμε να αποκλείσουμε τα στοιχεία μήκους από την εξίσωση. Τέλος, η γωνιακή εξίσωση που λαμβάνεται είναι arccos (•).
• Με βάση τον τύπο συνημίτονο, μπορούμε γρήγορα να προσδιορίσουμε εάν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία. Ξεκινήστε με cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης πρέπει να έχουν το ίδιο σύμβολο (θετικό ή αρνητικό).
  • Δεδομένου ότι το μήκος είναι πάντα θετικό, το cosθ πρέπει να έχει το ίδιο σημάδι με το βαθμωτό προϊόν.
  • Επομένως, εάν το προϊόν είναι θετικό, το cosθ είναι επίσης θετικό. Βρισκόμαστε στο πρώτο τεταρτημόριο του κύκλου μονάδας, με θ <π / 2 ή 90º. Η γωνία που πρέπει να βρείτε είναι η αιχμηρή γωνία.
  • Εάν το βαθμωτό προϊόν είναι αρνητικό, το cosθ είναι αρνητικό. Βρισκόμαστε στο δεύτερο τεταρτημόριο του κύκλου μονάδας, με π / 2 <θ ≤ π ή 90º <θ ≤ 180º. Αυτή είναι η γωνιά της φυλακής.