Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέρος 1 από 3: Εύρεση του τομέα μιας συνάρτησης
• Μέρος 2 από 3: Εύρεση του εύρους μιας τετραγωνικής συνάρτησης
• Μέρος 3 από 3: Εύρεση του εύρους μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας το γράφημα της

Κάθε συνάρτηση έχει δύο μεταβλητές - την ανεξάρτητη μεταβλητή και την εξαρτημένη μεταβλητή, των οποίων οι τιμές εξαρτώνται από τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Για παράδειγμα, στη συνάρτηση y = φά(Χ) = 2Χ + y η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι x και η εξαρτημένη μεταβλητή είναι y (με άλλα λόγια, το y είναι συνάρτηση του x). Οι έγκυρες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής "x" ονομάζονται τομέα της συνάρτησης και οι έγκυρες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής "y" ονομάζονται πεδίο της συνάρτησης.

Βήματα

Μέρος 1 από 3: Εύρεση του τομέα μιας συνάρτησης

1. 1 Καθορίστε τον τύπο της συνάρτησης που σας δίνεται. Το εύρος τιμών της συνάρτησης είναι όλες οι αποδεκτές τιμές του "x" (που απεικονίζονται στον οριζόντιο άξονα), οι οποίες αντιστοιχούν στις αποδεκτές τιμές του "y". Η συνάρτηση μπορεί να είναι τετραγωνική ή να περιέχει κλάσματα ή ρίζες. Για να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης, πρέπει πρώτα να καθορίσετε τον τύπο της συνάρτησης.
   • Η τετραγωνική συνάρτηση είναι: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • Μια συνάρτηση που περιέχει κλάσμα: f (x) = (/_Χ), f (x) = /_{(x - 1)} (και τα λοιπά).
   • Συνάρτηση που περιέχει ρίζα: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (και ούτω καθεξής).
2. 2 Επιλέξτε την κατάλληλη καταχώριση για το εύρος της συνάρτησης. Το πεδίο είναι γραμμένο σε τετράγωνο ή / και παρένθεση. Μια τετράγωνη αγκύλη χρησιμοποιείται όταν μια τιμή βρίσκεται εντός του πεδίου εφαρμογής μιας συνάρτησης. εάν η τιμή δεν είναι στο πεδίο εφαρμογής, χρησιμοποιείται μια παρένθεση. Εάν η συνάρτηση έχει αρκετούς μη συνεχόμενους τομείς ορισμού, το σύμβολο "U" τοποθετείται μεταξύ τους.
   • Για παράδειγμα, ο τομέας [-2,10) U (10,2] περιλαμβάνει τις τιμές -2 και 2, αλλά δεν περιλαμβάνει την τιμή 10.
   • Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται πάντα με το σύμβολο του άπειρου.
3. 3 Σχεδιάστε μια τετραγωνική συνάρτηση. Το γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω. Δεδομένου ότι η παραβολή αυξάνεται ή μειώνεται σε ολόκληρο τον άξονα Χ, το πεδίο της τετραγωνικής συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Με άλλα λόγια, ο τομέας μιας τέτοιας συνάρτησης είναι το σύνολο R (το R δηλώνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς).
   • Για καλύτερη κατανόηση της έννοιας μιας συνάρτησης, επιλέξτε οποιαδήποτε τιμή του "x", αντικαταστήστε τη στη συνάρτηση και βρείτε την τιμή "y". Το ζεύγος τιμών "x" και "y" αντιπροσωπεύει ένα σημείο με συντεταγμένες (x, y), το οποίο βρίσκεται στο γράφημα της συνάρτησης.
   • Σχεδιάστε αυτό το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων και ακολουθήστε την περιγραφόμενη διαδικασία με διαφορετική τιμή "x".
   • Σχεδιάζοντας πολλά σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων, θα έχετε μια γενική ιδέα για το σχήμα του γραφήματος συνάρτησης.
4. 4 Εάν η συνάρτηση περιέχει κλάσμα, ορίστε τον παρονομαστή της στο μηδέν. Θυμηθείτε ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Επομένως, εξισώνοντας τον παρονομαστή με το μηδέν, θα βρείτε τιμές για το "x" που δεν βρίσκονται στο εύρος της συνάρτησης.
   • Για παράδειγμα, βρείτε τον τομέα της συνάρτησης f (x) = /_{(x - 1)}.
   • Εδώ ο παρονομαστής είναι (x - 1).
   • Εξισώστε τον παρονομαστή στο μηδέν και βρείτε "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • Γράψτε το εύρος της συνάρτησης. Ο τομέας δεν περιλαμβάνει 1, δηλαδή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από 1. Έτσι, ο τομέας της συνάρτησης είναι: (-∞, 1) U (1,).
   • Ο συμβολισμός (-∞, 1) U (1,) έχει ως εξής: το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 1. Το σύμβολο του άπειρου ∞ σημαίνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Στο παράδειγμά μας, όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 1 και μικρότεροι από 1 περιλαμβάνονται στο πεδίο εφαρμογής.
5. 5 Εάν η συνάρτηση περιέχει τετραγωνική ρίζα, τότε η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Θυμηθείτε ότι η τετραγωνική ρίζα των αρνητικών αριθμών δεν εξάγεται. Επομένως, κάθε τιμή του "x" στην οποία η ριζική έκφραση γίνεται αρνητική πρέπει να αποκλειστεί από το πεδίο της συνάρτησης.
   • Για παράδειγμα, βρείτε τον τομέα της συνάρτησης f (x) = √ (x + 3).
   • Η ριζική έκφραση: (x + 3).
   • Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από ή ίση με μηδέν: (x + 3) 0.
   • Βρείτε "x": x ≥ -3.
   • Το εύρος αυτής της συνάρτησης περιλαμβάνει το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι με -3. Έτσι, ο τομέας είναι [-3, ∞).

Μέρος 2 από 3: Εύρεση του εύρους μιας τετραγωνικής συνάρτησης

1. 1 Βεβαιωθείτε ότι έχετε μια τετραγωνική συνάρτηση. Η τετραγωνική συνάρτηση έχει τη μορφή: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Το γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εύρεση των τιμών μιας τετραγωνικής συνάρτησης.
   • Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης ρίζας ή κλάσματος είναι να γράψετε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων.
2. 2 Βρείτε τη συντεταγμένη x της κορυφής του γραφήματος συνάρτησης. Σε περίπτωση τετραγωνικής συνάρτησης, βρείτε τη συντεταγμένη x της κορυφής της παραβολής. Θυμηθείτε ότι η τετραγωνική συνάρτηση είναι: ax + bx + c. Για να υπολογίσετε τη συντεταγμένη x, χρησιμοποιήστε την ακόλουθη εξίσωση: x = -b / 2a. Αυτή η εξίσωση είναι ένα παράγωγο της θεμελιώδους τετραγωνικής συνάρτησης και περιγράφει μια εφαπτομένη, η κλίση της οποίας είναι μηδενική (η εφαπτομένη στην κορυφή της παραβολής είναι παράλληλη με τον άξονα Χ).
   • Για παράδειγμα, βρείτε το εύρος της συνάρτησης 3x + 6x -2.
   • Υπολογίστε τη συντεταγμένη x της κορυφής της παραβολής: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Βρείτε την συντεταγμένη y της κορυφής του γραφήματος συνάρτησης. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τη συντεταγμένη που βρέθηκε "x" στη συνάρτηση. Η αναζητούμενη συντεταγμένη "y" είναι η περιοριστική τιμή του εύρους τιμών της συνάρτησης.
   • Υπολογίστε την συντεταγμένη y: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής αυτής της συνάρτησης είναι (-1, -5).
4. 4 Καθορίστε την κατεύθυνση της παραβολής αντικαθιστώντας τουλάχιστον μία τιμή x στη συνάρτηση. Επιλέξτε οποιαδήποτε άλλη τιμή x και συνδέστε τη στη συνάρτηση για να υπολογίσετε την αντίστοιχη τιμή y. Εάν η τιμή που βρέθηκε "y" είναι μεγαλύτερη από τη συντεταγμένη "y" της κορυφής της παραβολής, τότε η παραβολή κατευθύνεται προς τα πάνω. Εάν η τιμή που βρέθηκε "y" είναι μικρότερη από τη συντεταγμένη "y" της κορυφής της παραβολής, τότε η παραβολή κατευθύνεται προς τα κάτω.
   • Αντικαταστήστε x = -2 στη συνάρτηση: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Οι συντεταγμένες του σημείου στην παραβολή είναι (-2, -2).
   • Οι συντεταγμένες που βρέθηκαν υποδεικνύουν ότι οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω. Έτσι, το εύρος συνάρτησης περιλαμβάνει όλες τις τιμές y που είναι μεγαλύτερες ή ίσες με -5.
   • Εύρος τιμών αυτής της συνάρτησης: [-5, ∞]
5. 5 Το εύρος τιμών μιας συνάρτησης γράφεται με τον ίδιο τρόπο όπως το εύρος ορισμού μιας συνάρτησης. Η τετράγωνη αγκύλη χρησιμοποιείται όταν η τιμή βρίσκεται στο εύρος της συνάρτησης. εάν η τιμή δεν είναι στο εύρος, χρησιμοποιείται μια παρένθεση. Εάν η συνάρτηση έχει πολλά μη συνεχόμενα εύρη τιμών, το σύμβολο "U" τοποθετείται μεταξύ τους.
   • Για παράδειγμα, το εύρος [-2,10) U (10,2] περιλαμβάνει τις τιμές -2 και 2, αλλά δεν περιλαμβάνει την τιμή 10.
   • Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται πάντα με το σύμβολο του άπειρου.

Μέρος 3 από 3: Εύρεση του εύρους μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας το γράφημα της

1. 1 Σχεδιάστε τη συνάρτηση. Σε πολλές περιπτώσεις, είναι ευκολότερο να βρείτε το εύρος τιμών μιας συνάρτησης σχεδιάζοντας το γράφημα της. Το εύρος τιμών πολλών συναρτήσεων με ρίζες είναι (-∞, 0] ή [0, + ∞), αφού η κορυφή της παραβολής που κατευθύνεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά βρίσκεται στον άξονα Χ. Σε αυτή την περίπτωση , το εύρος περιλαμβάνει όλες τις θετικές τιμές του "y" εάν η παραβολή αυξάνεται ή όλες τις αρνητικές τιμές y εάν ​​η παραβολή μειώνεται. Οι κλασματικές συναρτήσεις έχουν ασύμπτωτα που καθορίζουν το εύρος τους.
   • Οι κορυφές των γραφημάτων ορισμένων συναρτήσεων με ρίζες βρίσκονται πάνω ή κάτω από τον άξονα Χ. Σε αυτή την περίπτωση, το εύρος των τιμών καθορίζεται από τη συντεταγμένη "y" της κορυφής της παραβολής. Εάν, για παράδειγμα, η συντεταγμένη "y" της κορυφής μιας παραβολής είναι -4 (y = -4) και η παραβολή αυξάνεται, τότε το εύρος των τιμών είναι [-4, + ∞].
   • Ο ευκολότερος τρόπος για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή γραφικών ή ένα ειδικό λογισμικό.
   • Εάν δεν διαθέτετε αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων, δημιουργήστε ένα τραχύ γράφημα συνδέοντας πολλαπλές τιμές x στη συνάρτηση και υπολογίζοντας τις αντίστοιχες τιμές y. Σχεδιάστε τα σημεία που βρέθηκαν στο επίπεδο συντεταγμένων για να πάρετε μια γενική ιδέα για το σχήμα του γραφήματος.
2. 2 Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης. Όταν σχεδιάζετε μια συνάρτηση, θα δείτε το σημείο στο οποίο η συνάρτηση έχει μια ελάχιστη τιμή.Εάν δεν υπάρχει προφανές ελάχιστο, τότε δεν υπάρχει και το γράφημα της συνάρτησης πηγαίνει στο -∞.
   • Το εύρος τιμών της συνάρτησης περιλαμβάνει όλες τις τιμές του "y" εκτός από τις τιμές των ασύμπτωτων. Συχνά, το εύρος τιμών τέτοιων συναρτήσεων γράφεται ως εξής: (-∞, 6) U (6,).
3. 3 Προσδιορίστε το μέγιστο της συνάρτησης. Μόλις σχεδιάσετε μια συνάρτηση, θα δείτε το σημείο στο οποίο η συνάρτηση έχει τη μέγιστη τιμή της. Εάν δεν υπάρχει προφανές μέγιστο, τότε δεν υπάρχει και το γράφημα της συνάρτησης πηγαίνει στο +.
4. 4 Το εύρος τιμών μιας συνάρτησης γράφεται με τον ίδιο τρόπο όπως το εύρος ορισμού μιας συνάρτησης. Η τετράγωνη αγκύλη χρησιμοποιείται όταν η τιμή βρίσκεται στο εύρος της συνάρτησης. εάν η τιμή δεν είναι στο εύρος, χρησιμοποιείται μια παρένθεση. Εάν η συνάρτηση έχει πολλά μη συνεχόμενα εύρη τιμών, το σύμβολο "U" τοποθετείται μεταξύ τους.
   • Για παράδειγμα, το εύρος [-2,10) U (10,2] περιλαμβάνει τις τιμές -2 και 2, αλλά δεν περιλαμβάνει την τιμή 10.
   • Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται πάντα με το σύμβολο του άπειρου.