Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέρος 1 από 2: Εύρεση πρωταρχικών παραγόντων
• Μέρος 2 από 2: Χρήση πρωταρχικών παραγόντων
• Παραδείγματα εργασιών
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Εάν δεν σας αρέσει να ασχολείστε με μεγάλους αριθμούς όπως το 5733, μάθετε πώς να τους συντελείτε (σε αυτήν την περίπτωση, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Ένα παρόμοιο έργο συναντάται συχνά στην κρυπτογραφία, η οποία ασχολείται με προβλήματα ασφάλειας πληροφοριών. Εάν δεν είστε ακόμη έτοιμοι να δημιουργήσετε το δικό σας ασφαλές σύστημα ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, μάθετε πρώτα πώς να συνυπολογίσετε αριθμούς.

Βήματα

Μέρος 1 από 2: Εύρεση πρωταρχικών παραγόντων

1. 1 Μάθετε τι είναι το Factoring. Η αποσύνθεση ενός αριθμού στο γινόμενο των παραγόντων είναι η διαδικασία του "διαχωρισμού" του σε μικρότερα μέρη.Όταν πολλαπλασιαστούν, αυτά τα μέρη ή οι παράγοντες δίνουν τον αρχικό αριθμό.
   • Για παράδειγμα, ο αριθμός 18 μπορεί να αποσυντεθεί στα ακόλουθα προϊόντα: 1 x 18, 2 x 9 ή 3 x 6.
2. 2 Θυμηθείτε τι είναι οι πρώτοι αριθμοί. Ένας πρώτος αριθμός διαιρείται με δύο μόνο αριθμούς χωρίς υπόλοιπο: από μόνο του και με 1. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο του 5 και του 1. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε άλλους παράγοντες. Ο σκοπός της παραμέτρησης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι να τον αναπαραστήσουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν αντιμετωπίζετε κλάσματα, καθώς σας επιτρέπει να τα συγκρίνετε και να τα απλοποιήσετε.
3. 3 Ξεκινήστε με τον αρχικό αριθμό. Επιλέξτε έναν σύνθετο αριθμό μεγαλύτερο από 3. Δεν έχει νόημα να πάρετε έναν πρώτο αριθμό, αφού διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και με ένα.
   • Παράδειγμα: Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμό 24 σε γινόμενο πρώτων αριθμών.
4. 4 Ας χωρίσουμε αυτόν τον αριθμό σε γινόμενο δύο παραγόντων. Βρείτε δύο μικρότερους αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον αρχικό αριθμό. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε παράγοντας, αλλά είναι ευκολότερο να ληφθούν πρώτοι αριθμοί. Ένας καλός τρόπος είναι να δοκιμάσετε να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό πρώτα με 2, στη συνέχεια με 3, στη συνέχεια με 5, και να ελέγξετε ποιον από αυτούς τους πρώτους διαιρεί χωρίς υπόλοιπο.
   • Παράδειγμα: Εάν δεν γνωρίζετε τους συντελεστές για 24, δοκιμάστε να τον διαιρέσετε με μικρά αρχικά. Έτσι θα διαπιστώσετε ότι ο δεδομένος αριθμός διαιρείται με 2: 24 = 2 x 12... Αυτή είναι μια καλή αρχή.
   • Δεδομένου ότι το 2 είναι ένας πρώτος αριθμός, καλό είναι να το χρησιμοποιούμε όταν υπολογίζουμε ζυγούς αριθμούς.
5. 5 Ξεκινήστε να χτίζετε το δέντρο πολλαπλασιαστή. Αυτή η απλή διαδικασία θα σας βοηθήσει να υπολογίσετε έναν αριθμό. Αρχικά, σχεδιάστε δύο "κλαδιά" προς τα κάτω από τον αρχικό αριθμό. Στο τέλος κάθε κλάδου, γράψτε τους παράγοντες που βρέθηκαν.
   • Παράδειγμα:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Παράγοντας την επόμενη σειρά αριθμών. Ρίξτε μια ματιά στους δύο νέους αριθμούς (δεύτερη σειρά του δέντρου πολλαπλασιαστή). Είναι και οι δύο πρώτοι αριθμοί; Εάν ένα από αυτά δεν είναι απλό, συνυπολογίστε το επίσης με δύο παράγοντες. Κάντε δύο ακόμη κλάδους και γράψτε δύο νέους παράγοντες στην τρίτη γραμμή του δέντρου.
   • Παράδειγμα: Το 12 δεν είναι πρώτος αριθμός, επομένως θα πρέπει να παραγοντοποιηθεί. Χρησιμοποιήστε την αποσύνθεση 12 = 2 x 6 και γράψτε την στην τρίτη γραμμή του δέντρου:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Συνεχίστε κάτω από το δέντρο. Εάν ένας από τους νέους παράγοντες αποδειχθεί πρώτος αριθμός, τραβήξτε ένα "κλαδί" από αυτόν και γράψτε τον ίδιο αριθμό στο τέλος του. Οι πρώτοι αριθμοί δεν μπορούν να επεκταθούν σε μικρότερους παράγοντες, οπότε απλώς μετακινήστε τους προς τα κάτω.
   • Παράδειγμα: Το 2 είναι πρώτο. Απλώς μετακινήστε 2 από τη δεύτερη στην τρίτη γραμμή:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Συνεχίστε να λαμβάνετε υπόψη τους αριθμούς μέχρι να μείνετε μόνο με πρώτους αριθμούς. Ελέγξτε κάθε νέα γραμμή του δέντρου. Εάν τουλάχιστον ένας από τους νέους συντελεστές δεν είναι πρώτος αριθμός, πληκτρολογήστε τον και γράψτε μια νέα γραμμή. Στο τέλος, θα σας μείνουν μόνο πρώτοι αριθμοί.
   • Παράδειγμα: Το 6 δεν είναι πρώτος αριθμός, επομένως θα πρέπει επίσης να παραγοντοποιηθεί. Ταυτόχρονα, το 2 είναι ένας πρώτος αριθμός και μεταφέρουμε τα δύο δύο στο επόμενο επίπεδο:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Γράψτε την τελευταία γραμμή ως προϊόν πρωταρχικών παραγόντων. Στο τέλος, θα σας μείνουν μόνο πρώτοι αριθμοί. Όταν συμβεί αυτό, η πρωταρχική παραγοντοποίηση είναι πλήρης. Η τελευταία γραμμή είναι ένα σύνολο πρώτων αριθμών, το γινόμενο των οποίων δίνει τον αρχικό αριθμό.
   • Ελέγξτε την απάντησή σας: πολλαπλασιάστε τους αριθμούς στην τελευταία γραμμή. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ο αρχικός αριθμός.
   • Παράδειγμα: Η τελευταία σειρά του δέντρου συντελεστών περιέχει τους αριθμούς 2 και 3. Και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι πρώτοι, οπότε η αποσύνθεση είναι πλήρης. Έτσι, η πρωταρχική παραγοντοποίηση του 24 έχει την ακόλουθη μορφή: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Η σειρά των παραγόντων δεν έχει σημασία. Η αποσύνθεση μπορεί επίσης να γραφτεί ως 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 Απλοποιήστε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας εκθετική σημείωση, εάν θέλετε. Εάν είστε εξοικειωμένοι με την εκτίμηση των αριθμών, μπορείτε να γράψετε την απάντηση σε μια απλούστερη μορφή.Θυμηθείτε ότι η βάση είναι γραμμένη στο κάτω μέρος και ο αριθμός υπεργραφής υποδεικνύει πόσες φορές αυτή η βάση πρέπει να πολλαπλασιαστεί από μόνη της.
    • Παράδειγμα: πόσες φορές εμφανίζεται ο αριθμός 2 στη διαπιστωμένη αποσύνθεση 2 x 2 x 2 x 3; Τρεις φορές, οπότε η έκφραση 2 x 2 x 2 μπορεί να γραφτεί ως 2. Σε απλοποιημένη σημειογραφία, παίρνουμε 2 x 3

Μέρος 2 από 2: Χρήση πρωταρχικών παραγόντων

1. 1 Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) δύο αριθμών είναι ο μέγιστος αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο αριθμοί χωρίς υπόλοιπο. Το παρακάτω παράδειγμα δείχνει πώς να χρησιμοποιήσουμε τον πρωταρχικό παράγοντα για να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη του 30 και του 36.
   • Ας μετατρέψουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Για 30, η παραγοντοποίηση είναι 2 x 3 x 5. Ο αριθμός 36 αποσυντίθεται σε πρώτους παράγοντες ως εξής: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Ας βρούμε τον αριθμό που εμφανίζεται και στις δύο επεκτάσεις. Ας διαγράψουμε αυτόν τον αριθμό και στις δύο λίστες και να τον γράψουμε σε μια νέα γραμμή. Για παράδειγμα, το 2 εμφανίζεται σε δύο επεκτάσεις, οπότε γράφουμε 2 σε νέα γραμμή. Μετά από αυτό, έχουμε 30 = 2 x 3 x 5 και 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Επαναλάβετε αυτό το βήμα έως ότου δεν απομείνουν κοινοί παράγοντες στις επεκτάσεις. Και οι δύο λίστες περιλαμβάνουν επίσης τον αριθμό 3, οπότε μπορείτε να γράψετε σε μια νέα γραμμή 2 και 3... Στη συνέχεια, συγκρίνετε ξανά τις επεκτάσεις: 30 = 2 x 3 x 5 και 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχουν απομείνει κοινοί παράγοντες σε αυτά.
   • Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα, βρείτε το προϊόν όλων των κοινών παραγόντων. Στο παράδειγμά μας, αυτά είναι 2 και 3, οπότε το gcd είναι 2 x 3 = 6... Αυτός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί ομοιόμορφα τους αριθμούς 30 και 36.
2. 2 Με τη βοήθεια του GCD, μπορείτε να απλοποιήσετε τα κλάσματα. Εάν υποψιάζεστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να ακυρωθεί, χρησιμοποιήστε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Βρείτε το GCD του αριθμητή και του παρονομαστή χρησιμοποιώντας την παραπάνω διαδικασία. Στη συνέχεια διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό. Ως αποτέλεσμα, παίρνετε το ίδιο κλάσμα σε απλούστερη μορφή.
   • Για παράδειγμα, ας απλοποιήσουμε το κλάσμα /₃₆... Όπως αναφέραμε παραπάνω, για το 30 και το 36, το GCD είναι 6, οπότε διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των δύο αριθμών. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) δύο αριθμών είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα και με τους δύο αριθμούς. Για παράδειγμα, το LCM των 2 και 3 είναι 6 επειδή είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί με 2 και 3. Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας την πρώτη παραγοντοποίηση:
   • Ας ξεκινήσουμε με δύο πρωταρχικούς παράγοντες. Για παράδειγμα, για το 126, η παραγοντοποίηση μπορεί να γραφτεί ως 2 x 3 x 3 x 7. Ο αριθμός 84 μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους συντελεστές ως 2 x 2 x 3 x 7.
   • Ας συγκρίνουμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε παράγοντας στις επεκτάσεις. Επιλέξτε τη λίστα όπου εμφανίζεται ο πολλαπλασιαστής το μέγιστο αριθμό φορών και κυκλώστε αυτό το μέρος. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 εμφανίζεται μία φορά στην επέκταση για 126 και δύο φορές στη λίστα για 84, οπότε πρέπει να κάνετε κύκλο 2 x 2 στη δεύτερη λίστα παραγόντων.
   • Επαναλάβετε αυτό το βήμα για κάθε πολλαπλασιαστή. Για παράδειγμα, το 3 είναι πιο συνηθισμένο στην πρώτη επέκταση, οπότε πρέπει να το κυκλώσετε 3 x 3... Ο αριθμός 7 εμφανίζεται μία φορά και στις δύο λίστες, οπότε κάνουμε κύκλο 7 (δεν έχει σημασία σε ποια λίστα, εάν ο δεδομένος συντελεστής εμφανίζεται και στις δύο λίστες τον ίδιο αριθμό φορών).
   • Για να βρείτε το LCM, πολλαπλασιάστε όλους τους αριθμούς που έχουν κυκλωθεί. Στο παράδειγμά μας, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των 126 και 84 είναι 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Αυτός είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με 126 και 84 χωρίς υπόλοιπο.
4. 4 Χρησιμοποιήστε το LCM για την προσθήκη κλασμάτων. Όταν προσθέτουμε δύο κλάσματα, είναι απαραίτητο να τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε το LCM των δύο παρονομαστών. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τέτοιο αριθμό ώστε οι παρονομαστές των κλασμάτων να είναι ίσοι με το LCM. Μετά από αυτό, μπορείτε να προσθέσετε τα κλάσματα.
   • Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το ποσό /₆ + /₂₁.
   • Χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο, μπορείτε να βρείτε το LCM για 6 και 21. Είναι 42.
   • Μετασχηματίζουμε το κλάσμα /₆ έτσι ώστε ο παρονομαστής του να είναι 42. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαιρέσετε το 42 με 6: 42 ÷ 6 = 7. Τώρα πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 7: /₆ Χ /₇ = /₄₂.
   • Για να φέρετε το δεύτερο κλάσμα στον παρονομαστή 42, διαιρέστε το 42 με 21: 42 ÷ 21 = 2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 2: /₂₁ Χ /₂ = /₄₂.
   • Αφού τα κλάσματα μειωθούν στον ίδιο παρονομαστή, μπορούν εύκολα να προστεθούν: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Παραδείγματα εργασιών

• Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα.Εάν πιστεύετε ότι έχετε λάβει τη σωστή απάντηση, επισημάνετε με το ποντίκι τη θέση μετά την άνω τελεία στη δήλωση προβλήματος. Τα τελευταία καθήκοντα είναι τα πιο δύσκολα.
• Βρείτε την πρωταρχική παραγοντοποίηση για 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Γράψτε την απάντησή σας σε εκθετική μορφή: 2
• Βρείτε την πρωταρχική παραγοντοποίηση 45: 3 x 3 x 5
• Γράψτε την απάντησή σας σε εκθετική μορφή: 3 x 5
• Βρείτε την πρωταρχική παραγοντοποίηση για 34: 2 x 17
• Βρείτε την πρωταρχική παραγοντοποίηση 154: 2 x 7 x 11
• Βρείτε την πρωταρχική παραγοντοποίηση για το 8 και το 40 και, στη συνέχεια, καθορίστε τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή τους: ο πρωταρχικός συντελεστής του 8 είναι 2 x 2 x 2 x 2. ο πρωταρχικός συντελεστής του 40 είναι 2 x 2 x 2 x 5. GCD δύο αριθμών 2 x 2 x 2 = 6.
• Βρείτε τον πρωταρχικό συντελεστή για τα 18 και 52 και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο: Ο πρωταρχικός συντελεστής του 18 είναι 2 x 3 x 3. ο πρωταρχικός συντελεστής του 52 είναι 2 x 2 x 13. Το LCM δύο αριθμών είναι 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Συμβουλές

• Κάθε αριθμός έχει ένα μοναδικό χαρακτηριστικό παραγοντοποίησης. Δεν έχει σημασία πώς βρίσκετε αυτήν την επέκταση, θα πρέπει να καταλήξετε στην ίδια απάντηση. Αυτό ονομάζεται βασικό θεώρημα της αριθμητικής.
• Αντί να ξαναγράφετε τους πρώτους αριθμούς σε μια νέα γραμμή του δέντρου συντελεστών κάθε φορά, μπορείτε να τους αφήσετε στη θέση τους και απλά να τους κυκλώσετε. Στο τέλος της επέκτασης, θα περιλαμβάνει όλους τους κύριους κύριους παράγοντες.
• Ελέγχετε πάντα την απάντηση που λαμβάνετε. Μπορείτε να κάνετε ένα λάθος και να μην το παρατηρήσετε.
• Ετοιμαστείτε για δύσκολες αποστολές. Εάν σας ζητηθεί να βρείτε έναν πρώτο παράγοντα παραγοντισμού ενός πρώτου αριθμού, δεν χρειάζεται να κάνετε υπολογισμούς. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 17, η κύρια παραγοντοποίηση είναι 17. αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να αναλυθεί σε άλλους πρώτους παράγοντες.
• Ο μεγαλύτερος κοινός συντελεστής και το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο μπορούν να βρεθούν για τρεις ή περισσότερους αριθμούς.

Προειδοποιήσεις

• Το δέντρο πολλαπλασιαστή σας επιτρέπει να προσδιορίσετε μόνο τους πρωταρχικούς παράγοντες, όχι όλους τους πιθανούς παράγοντες.