Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέρος 1 από 3: Παραγοντοποίηση διωνυμικών
• Μέρος 2 από 3: Παραγοντοποίηση διωνυμικών για επίλυση εξισώσεων
• Μέρος 3 από 3: Επίλυση σύνθετων προβλημάτων
• Συμβουλές
• Προειδοποιήσεις

Ένα διωνυμικό (διωνυμικό) είναι μια μαθηματική έκφραση με δύο όρους μεταξύ των οποίων υπάρχει ένα σύμβολο συν ή πλην, για παράδειγμα, ${ displaystyle ax + b}$... Το πρώτο μέλος περιλαμβάνει τη μεταβλητή και το δεύτερο την περιλαμβάνει ή δεν την περιλαμβάνει. Ο υπολογισμός ενός διωνύμου περιλαμβάνει την εύρεση όρων που, όταν πολλαπλασιαστούν, παράγουν το αρχικό διώνυμο για να το λύσουν ή να το απλοποιήσουν.

Βήματα

Μέρος 1 από 3: Παραγοντοποίηση διωνυμικών

1. 1 Κατανοήστε τα βασικά της διαδικασίας factoring. Όταν υπολογίζουμε ένα διωνυμικό, ο συντελεστής που διαιρείται σε κάθε όρο του αρχικού διωνύμου αφαιρείται από την παρένθεση. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 διαιρείται πλήρως με 1, 2, 3, 6. Έτσι, οι διαιρέτες του αριθμού 6 είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 6.
   • Διαιρέτες 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Οι διαιρέτες οποιουδήποτε αριθμού είναι 1 και ο ίδιος ο αριθμός. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 3 είναι 1 και 3.
   • Οι διαιρέτες ακέραιων μπορούν να είναι μόνο ακέραιοι. Ο αριθμός 32 μπορεί να διαιρεθεί με 3.564 ή 21.4952, αλλά δεν παίρνετε έναν ακέραιο, αλλά ένα δεκαδικό κλάσμα.
2. 2 Παραγγείλετε τους όρους του διωνύμου για να διευκολύνετε τη διαδικασία παραμετροποίησης. Ένα διωνυμικό είναι το άθροισμα ή η διαφορά δύο όρων, τουλάχιστον ένας από τους οποίους περιέχει μια μεταβλητή. Μερικές φορές οι μεταβλητές αυξάνονται σε μια ισχύ, για παράδειγμα, ${ displaystyle x ^ {2}}$ ή ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Είναι καλύτερα να παραγγείλετε τους όρους του διωνύμου σε αύξουσα σειρά εκθετών, δηλαδή ο όρος με τον μικρότερο εκθέτη γράφεται πρώτα και με τον μεγαλύτερο - τον τελευταίο. Για παράδειγμα:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Παρατηρήστε το σύμβολο μείον μπροστά από το 2. Εάν ένας όρος αφαιρεθεί, γράψτε ένα σύμβολο μείον μπροστά του.
3. 3 Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) και των δύο όρων. Το GCD είναι ο μεγαλύτερος αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και τα δύο μέλη του διωνύμου. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τους διαιρέτες κάθε όρου στο διωνυμικό και, στη συνέχεια, επιλέξτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη. Για παράδειγμα:
   • Μια εργασία:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Διαιρέτες 3: 1, 3
     • Διαιρέτες 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Διαιρέστε κάθε όρο στο διωνυμικό με τον Μεγαλύτερο Κοινό Διαιρέτη (GCD). Κάντε αυτό για να αποκλείσετε το GCD. Σημειώστε ότι κάθε μέλος του διωνύμου μειώνεται (επειδή είναι διαιρούμενο), αλλά εάν το GCD εξαιρείται από την παρένθεση, η τελική έκφραση θα είναι ίση με την αρχική.
   • Μια εργασία:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Βρείτε το GCD: 3
   • Διαιρέστε κάθε διωνυμικό όρο με gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Μετακινήστε τον διαιρέτη έξω από τις παρενθέσεις. Νωρίτερα, διαιρέσατε και τους δύο όρους του διωνύμου με τον διαιρέτη 3 και πήρατε ${ displaystyle t + 2}$... Αλλά δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από το 3 - για να είναι ίσες οι τιμές των αρχικών και τελικών εκφράσεων, πρέπει να βάλετε το 3 έξω από τις παρενθέσεις και να γράψετε την έκφραση που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της διαίρεσης σε παρένθεση. Για παράδειγμα:
   • Μια εργασία:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Βρείτε το GCD: 3
   • Διαιρέστε κάθε διωνυμικό όρο με gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Πολλαπλασιάστε τον διαιρέτη με την έκφραση που προκύπτει:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Απάντηση: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Ελεγξε την απάντησή σου. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον όρο πριν από τις αγκύλες με κάθε όρο μέσα στις αγκύλες. Εάν λάβετε το αρχικό διώνυμο, η λύση είναι σωστή. Λύστε τώρα το πρόβλημα ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Παραγγείλετε τα μέλη:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Βρείτε το GCD:${ displaystyle 6}$
   • Διαιρέστε κάθε διωνυμικό όρο με gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Πολλαπλασιάστε τον διαιρέτη με την έκφραση που προκύπτει:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Ελέγξτε την απάντηση:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Μέρος 2 από 3: Παραγοντοποίηση διωνυμικών για επίλυση εξισώσεων

1. 1 Παράγοντας το διωνυμικό για να το απλοποιήσουμε και να λύσουμε την εξίσωση. Με την πρώτη ματιά, φαίνεται αδύνατο να λυθούν κάποιες εξισώσεις (ειδικά με σύνθετα διώνυμα). Για παράδειγμα, λύστε την εξίσωση ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Υπάρχουν δυνάμεις σε αυτήν την εξίσωση, οπότε συντελέστε πρώτα την έκφραση.
   • Μια εργασία:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Θυμηθείτε ότι ένα διωνυμικό έχει δύο μέλη. Εάν η έκφραση περιλαμβάνει περισσότερους όρους, μάθετε πώς να λύνετε πολυώνυμα.
2. 2 Προσθέστε ή αφαιρέστε ένα μονοώνυμο και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, έτσι ώστε το μηδέν να παραμένει στη μία πλευρά της εξίσωσης. Στην περίπτωση της παραγοντοποίησης, η λύση των εξισώσεων βασίζεται στο αμετάβλητο γεγονός ότι οποιαδήποτε έκφραση πολλαπλασιασμένη με μηδέν είναι ίση με μηδέν. Επομένως, αν εξισώσουμε την εξίσωση στο μηδέν, τότε οποιοσδήποτε από τους παράγοντες της πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν. Ορίστε τη μία πλευρά της εξίσωσης στο 0.
   • Μια εργασία:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ορίστε στο μηδέν:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Παράγοντας τον κάδο που προκύπτει. Κάντε το όπως περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα. Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα (GCD), διαιρέστε και τους δύο όρους του διωνύμου με αυτό και, στη συνέχεια, μετακινήστε τον παράγοντα έξω από τις παρενθέσεις.
   • Μια εργασία:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ορίστε στο μηδέν:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Παράγοντας:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Ορίστε κάθε συντελεστή στο μηδέν. Στην έκφραση που προκύπτει, το 2y πολλαπλασιάζεται με 4 - y και αυτό το προϊόν είναι ίσο με το μηδέν. Δεδομένου ότι οποιαδήποτε έκφραση (ή όρος) πολλαπλασιασμένος με μηδέν είναι μηδέν, τότε 2y ή 4 - y είναι 0. Ορίστε το προκύπτον μονοωνικό και διωνυμικό στο μηδέν για να βρείτε το "y".
   • Μια εργασία:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ορίστε στο μηδέν:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Παράγοντας:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Ορίστε και τους δύο παράγοντες στο 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Λύστε τις εξισώσεις που προκύπτουν για να βρείτε την τελική απάντηση (ή απαντήσεις). Δεδομένου ότι κάθε παράγοντας ισούται με μηδέν, η εξίσωση μπορεί να έχει πολλαπλές λύσεις. Στο παράδειγμά μας:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Ελεγξε την απάντησή σου. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση. Εάν η ισότητα είναι αληθινή, τότε η απόφαση είναι σωστή. Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν αντί για "y". Στο παράδειγμά μας, y = 0 και y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Αυτή είναι η σωστή απόφαση
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Και αυτή είναι η σωστή απόφαση

Μέρος 3 από 3: Επίλυση σύνθετων προβλημάτων

1. 1 Θυμηθείτε ότι ένας όρος με μια μεταβλητή μπορεί επίσης να παραγοντοποιηθεί, ακόμη και αν η μεταβλητή αυξηθεί σε ισχύ. Κατά το factoring, πρέπει να βρείτε ένα μονοώνυμο που διαιρεί κάθε μέλος του διωνύμου ολοκληρωτικά. Για παράδειγμα, το μονοφωνικό ${ displaystyle x ^ {4}}$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί ${ displaystyle x * x * x * x}$... Δηλαδή, εάν ο δεύτερος όρος του διωνύμου περιέχει επίσης τη μεταβλητή "x", τότε το "x" μπορεί να αφαιρεθεί από τις αγκύλες. Έτσι, αντιμετωπίστε τις μεταβλητές ως ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα:
   • Και τα δύο μέλη του διωνύμου ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ περιέχουν "t", οπότε το "t" μπορεί να αφαιρεθεί από την παρένθεση: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Επίσης, μια μεταβλητή που αυξάνεται σε μια ισχύ μπορεί να αφαιρεθεί από το βραχίονα. Για παράδειγμα, και τα δύο μέλη του διωνύμου ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ περιέχω ${ displaystyle x ^ {2}}$, Έτσι ${ displaystyle x ^ {2}}$ μπορεί να αφαιρεθεί από την αγκύλη: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Προσθέστε ή αφαιρέστε παρόμοιους όρους για να πάρετε ένα διωνυμικό. Για παράδειγμα, με την έκφραση ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι ένα πολυώνυμο, αλλά στην πραγματικότητα, αυτή η έκφραση μπορεί να μετατραπεί σε διωνυμικό. Προσθέστε παρόμοιους όρους: 6 και 14 (δεν περιέχουν μεταβλητή) και 2x και 3x (περιέχουν την ίδια μεταβλητή "x"). Σε αυτή την περίπτωση, η διαδικασία του factoring θα απλοποιηθεί:
   • Αρχική έκφραση:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Παραγγείλετε τα μέλη:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Προσθέστε παρόμοιους όρους:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Βρείτε το GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Παράγοντας:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Συντελεστής της διαφοράς των τέλειων τετραγώνων. Ένα τέλειο τετράγωνο είναι ένας αριθμός του οποίου η τετραγωνική ρίζα είναι ακέραιος, για παράδειγμα ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ και ακόμα ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Εάν το διωνυμικό είναι η διαφορά τέλειων τετραγώνων, για παράδειγμα, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, τότε παραγοντοποιείται με τον τύπο:
   • Διαφορά του τύπου τετραγώνων:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Μια εργασία:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Εξαγάγετε τις τετραγωνικές ρίζες:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Συντελεστής της διαφοράς μεταξύ των πλήρων κύβων. Εάν το διωνυμικό είναι η διαφορά πλήρων κύβων, για παράδειγμα, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, τότε παραγοντοποιείται χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να εξαγάγετε τη ρίζα κύβου από κάθε μέλος του διωνύμου και να αντικαταστήσετε τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο.
   • Ο τύπος για τη διαφορά μεταξύ κύβων:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Μια εργασία:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Εξαγωγή κυβικών ριζών:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Παράγοντας το άθροισμα των πλήρων κύβων. Σε αντίθεση με το άθροισμα των τέλειων τετραγώνων, το άθροισμα των πλήρων κύβων, για παράδειγμα, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, μπορεί να παραγοντοποιηθεί χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Είναι παρόμοιο με τον τύπο για τη διαφορά μεταξύ κύβων, αλλά τα σημάδια αντιστρέφονται. Ο τύπος είναι αρκετά απλός - για να τον χρησιμοποιήσετε, βρείτε το άθροισμα των πλήρων κύβων στο πρόβλημα.
   • Ο τύπος για το άθροισμα των κύβων:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Μια εργασία:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Εξαγωγή κυβικών ριζών:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Συμβουλές

• Μερικές φορές τα διωνυμικά μέλη δεν έχουν κοινό διαιρέτη. Σε ορισμένες εργασίες, τα μέλη παρουσιάζονται σε απλοποιημένη μορφή.
• Εάν δεν μπορείτε να βρείτε το GCD αμέσως, ξεκινήστε διαιρώντας με μικρούς αριθμούς. Για παράδειγμα, εάν δεν βλέπετε ότι το GCD των αριθμών 32 και 16 είναι 16, διαιρέστε και τους δύο αριθμούς με 2. Παίρνετε 16 και 8. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν με 8. Τώρα παίρνετε 2 και 1. αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούν να μειωθούν. Έτσι, είναι προφανές ότι υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός (έναντι 8 και 2), ο οποίος είναι ο κοινός διαιρέτης των δύο δεδομένων αριθμών.
• Σημειώστε ότι οι όροι έκτης τάξης (με εκθέτη 6, για παράδειγμα x) είναι τόσο τέλεια τετράγωνα όσο και τέλειοι κύβοι. Έτσι, σε διώνυμα με όρους έκτης τάξης, για παράδειγμα, x - 64, μπορεί κανείς να εφαρμόσει (με οποιαδήποτε σειρά) τους τύπους για τη διαφορά των τετραγώνων και τη διαφορά των κύβων. Αλλά είναι καλύτερα να εφαρμόσετε πρώτα τον τύπο για τη διαφορά τετραγώνων για να αποσυντεθεί πιο σωστά με ένα διωνυμικό.

Προειδοποιήσεις

• Ένα διωνυμικό, το οποίο είναι το άθροισμα τέλειων τετραγώνων, δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί.