Περιεχόμενο

• Βήματα

Μια τριγωνομετρική εξίσωση περιέχει μία ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις της μεταβλητής "x" (ή οποιασδήποτε άλλης μεταβλητής). Η επίλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης είναι η εύρεση μιας τέτοιας τιμής "x" που ικανοποιεί τη (τις) συνάρτηση (-ες) και την εξίσωση στο σύνολό της.

• Οι λύσεις σε τριγωνομετρικές εξισώσεις εκφράζονται σε μοίρες ή ακτίνια. Παραδείγματα:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 μοίρες. x = 37,12 μοίρες x = 178,37 μοίρες.

• Σημείωση: οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων από γωνίες, εκφρασμένες σε ακτίνια και από γωνίες, εκφρασμένες σε μοίρες, είναι ίσες. Ένας τριγωνομετρικός κύκλος με ακτίνα ίση με μία χρησιμοποιείται για την περιγραφή τριγωνομετρικών συναρτήσεων, καθώς και για τον έλεγχο της ορθότητας της λύσης των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισοτήτων.
• Παραδείγματα τριγωνομετρικών εξισώσεων:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Τριγωνομετρικός κύκλος με ακτίνα ένα (μονάδα κύκλου).
   • Είναι ένας κύκλος με ακτίνα ίση με ένα και κέντρο στο σημείο Ο. Ο κύκλος μονάδας περιγράφει 4 βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις της μεταβλητής "x", όπου "x" είναι η γωνία που μετράται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ αριστερόστροφα.
   • Εάν το "x" είναι κάποια γωνία στον κύκλο μονάδας, τότε:
   • Ο οριζόντιος άξονας OAx ορίζει τη συνάρτηση F (x) = cos x.
   • Ο κάθετος άξονας OBy ορίζει τη συνάρτηση F (x) = sin x.
   • Ο κάθετος άξονας ΑΤ ορίζει τη συνάρτηση F (x) = tan x.
   • Ο οριζόντιος άξονας BU ορίζει τη συνάρτηση F (x) = ctg x.

• Ο κύκλος μονάδων χρησιμοποιείται επίσης για την επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισοτήτων (διάφορες θέσεις του "x" λαμβάνονται υπόψη σε αυτό).

Βήματα

1. 1 Η έννοια της επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
   • Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, μετατρέψτε την σε μία ή περισσότερες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η επίλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης καταλήγει τελικά στην επίλυση τεσσάρων βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
2. 2 Επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
   • Υπάρχουν 4 τύποι βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων:
   • αμαρτία x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Η επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων περιλαμβάνει την εξέταση των διαφορετικών θέσεων x στον κύκλο μονάδων και τη χρήση πίνακα μετατροπής (ή αριθμομηχανής).
   • Παράδειγμα 1. sinin x = 0,866. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπής (ή αριθμομηχανή), παίρνετε την απάντηση: x = π / 3. Ο κύκλος μονάδων δίνει μια άλλη απάντηση: 2π / 3. Θυμηθείτε: όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, δηλαδή οι τιμές τους επαναλαμβάνονται. Για παράδειγμα, η περιοδικότητα του sin x και cos x είναι 2πn, και η περιοδικότητα των tg x και ctg x είναι πn. Επομένως, η απάντηση γράφεται ως εξής:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Παράδειγμα 2.cos x = -1/2. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπής (ή αριθμομηχανή), παίρνετε την απάντηση: x = 2π / 3. Ο κύκλος μονάδων δίνει άλλη απάντηση: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Παράδειγμα 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Απάντηση: x = π / 4 + πn.
   • Παράδειγμα 4. ctg 2x = 1,732.
   • Απάντηση: x = π / 12 + πn.
3. 3 Μετασχηματισμοί που χρησιμοποιούνται για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.
   • Για τον μετασχηματισμό τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιούνται αλγεβρικές μετατροπές (παραγοντοποίηση, μείωση ομοιογενών όρων κ.λπ.) και τριγωνομετρικές ταυτότητες.
   • Παράδειγμα 5. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, η εξίσωση sin x + sin 2x + sin 3x = 0 μετατρέπεται στην εξίσωση 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Έτσι, πρέπει να λύστε τις ακόλουθες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos x = 0; αμαρτία (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Εύρεση γωνιών από γνωστές τιμές συναρτήσεων.
   • Πριν μάθετε μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, πρέπει να μάθετε πώς να βρίσκετε γωνίες από γνωστές τιμές συναρτήσεων. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας πίνακα μετατροπής ή αριθμομηχανή.
   • Παράδειγμα: cos x = 0,732. Ο υπολογιστής θα δώσει την απάντηση x = 42,95 μοίρες. Ο κύκλος μονάδας θα δώσει επιπλέον γωνίες, το συνημίτονο των οποίων είναι επίσης 0,732.
5. 5 Αφήστε το διάλυμα στην άκρη στον κύκλο μονάδας.
   • Μπορείτε να αναβάλλετε τις λύσεις στην τριγωνομετρική εξίσωση στον κύκλο μονάδων. Οι λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης στον κύκλο μονάδων είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.
   • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π / 3 + πn / 2 στον μοναδιαίο κύκλο είναι οι κορυφές ενός τετραγώνου.
   • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π / 4 + πn / 3 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές ενός κανονικού εξαγώνου.
6. 6 Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
   • Εάν μια δεδομένη εξίσωση trig περιέχει μόνο μία συνάρτηση trig, λύστε αυτήν την εξίσωση ως βασική εξίσωση trig.Εάν μια δεδομένη εξίσωση περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τότε υπάρχουν 2 μέθοδοι για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης (ανάλογα με τη δυνατότητα μετασχηματισμού της).
     • Μέθοδος 1.
   • Μετατρέψτε αυτήν την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: f (x) * g (x) * h (x) = 0, όπου f (x), g (x), h (x) είναι οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
     
     
   • Παράδειγμα 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο διπλής γωνίας sin 2x = 2 * sin x * cos x, αντικαταστήστε το sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos x = 0 και (sin x + 1) = 0.
   • Παράδειγμα 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτήν την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2cos x + 1) = 0.
   • Παράδειγμα 8. sin x - sin 3x = cos 2 x. (0 x 2π)
   • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτήν την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2sin x + 1) = 0
     • Μέθοδος 2.
   • Μετατρέψτε τη δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση σε εξίσωση που περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτήν την τριγωνομετρική συνάρτηση με κάποια άγνωστη, για παράδειγμα, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, κ.λπ.).
   • Παράδειγμα 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Λύση. Σε αυτήν την εξίσωση, αντικαταστήστε (cos ^ 2 x) με (1 - sin ^ 2 x) (κατά ταυτότητα). Η μετασχηματισμένη εξίσωση είναι:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Αντικαταστήστε το sin x με t. Η εξίσωση τώρα μοιάζει με αυτήν: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση με δύο ρίζες: t1 = -1 και t2 = 9/5. Η δεύτερη ρίζα t2 δεν ικανοποιεί το εύρος τιμών της συνάρτησης (-1 sin x 1). Τώρα αποφασίστε: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Παράδειγμα 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Λύση. Αντικαταστήστε το tg x με το t. Ξαναγράψτε την αρχική εξίσωση ως εξής: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Τώρα βρείτε t και μετά βρείτε x για t = tg x.
7. 7 Ειδικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
   • Υπάρχουν αρκετές ειδικές τριγωνομετρικές εξισώσεις που απαιτούν συγκεκριμένους μετασχηματισμούς. Παραδείγματα:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Περιοδικότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
   • Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, δηλαδή οι τιμές τους επαναλαμβάνονται μετά από μια ορισμένη περίοδο. Παραδείγματα:
     • Η περίοδος της συνάρτησης f (x) = sin x είναι 2π.
     • Η περίοδος της συνάρτησης f (x) = tan x είναι ίση με π.
     • Η περίοδος της συνάρτησης f (x) = sin 2x είναι π.
     • Η περίοδος της συνάρτησης f (x) = cos (x / 2) είναι 4π.
   • Εάν η περίοδος καθορίζεται στο πρόβλημα, υπολογίστε την τιμή "x" εντός αυτής της περιόδου.
   • Σημείωση: Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν είναι εύκολη υπόθεση και συχνά οδηγεί σε λάθη. Ελέγξτε λοιπόν τις απαντήσεις σας προσεκτικά. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή γραφικών για να σχεδιάσετε τη δεδομένη εξίσωση R (x) = 0. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι λύσεις θα εμφανίζονται ως δεκαδικά κλάσματα (δηλαδή, το π αντικαθίσταται με 3.14).