Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέρος 1 από 2: Τα βασικά
• Μέρος 2 από 2: Διευρυμένος μετασχηματισμός μήτρας για επίλυση SLAE
• Συμβουλές

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο δύο ή περισσότερων εξισώσεων που έχουν ένα κοινό σύνολο αγνώστων και, ως εκ τούτου, μια κοινή λύση. Το γράφημα του συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι δύο ευθείες, και η λύση στο σύστημα είναι το σημείο τομής αυτών των ευθειών. Για την επίλυση τέτοιων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, είναι χρήσιμο και βολικό να χρησιμοποιείτε πίνακες.

Βήματα

Μέρος 1 από 2: Τα βασικά

1. 1 Ορολογία. Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων αποτελούνται από διάφορα συστατικά. Μια μεταβλητή συμβολίζεται με αλφαβητικό χαρακτήρα (συνήθως x ή y) και σημαίνει έναν αριθμό που δεν γνωρίζετε ακόμα και πρέπει να βρείτε. Μια σταθερά είναι ένας ορισμένος αριθμός που δεν αλλάζει την τιμή του.Ο συντελεστής είναι ο αριθμός μπροστά από τη μεταβλητή, δηλαδή ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η μεταβλητή.
   • Για παράδειγμα, για μια γραμμική εξίσωση, 2x + 4y = 8, x και y είναι μεταβλητές, 8 είναι σταθερές και οι αριθμοί 2 και 4 είναι συντελεστές.
2. 2 Μορφή για σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE) με δύο μεταβλητές μπορεί να γραφτεί ως εξής: ax + by = p, cx + dy = q. Οποιεσδήποτε σταθερές (p, q) μπορεί να είναι μηδέν, αλλά κάθε μία από τις εξισώσεις πρέπει να περιέχει τουλάχιστον μία μεταβλητή (x, y).
3. 3 Εκφράσεις μήτρας. Κάθε SLAE μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις αλγεβρικές ιδιότητες των πινάκων, να το λύσει. Όταν γράφετε ένα σύστημα εξισώσεων σε μορφή μήτρας, το Α αντιπροσωπεύει τους συντελεστές του πίνακα, το C αντιπροσωπεύει σταθερούς πίνακες και το Χ συμβολίζει έναν άγνωστο πίνακα.
   • Για παράδειγμα, η παραπάνω SLAE μπορεί να ξαναγραφεί στην ακόλουθη μορφή μήτρας: A x X = C.
4. 4 Διευρυμένη μήτρα. Η εκτεταμένη μήτρα λαμβάνεται μεταφέροντας τη μήτρα των ελεύθερων όρων (σταθερών) στην αριστερή πλευρά. Εάν έχετε δύο πίνακες, τον Α και τον Γ, τότε ο διευρυμένος πίνακας θα έχει την εξής μορφή:
   • Για παράδειγμα, για το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Η διευρυμένη μήτρα θα είναι 2x3 και θα μοιάζει με αυτό:

Μέρος 2 από 2: Διευρυμένος μετασχηματισμός μήτρας για επίλυση SLAE

1. 1 Στοιχειώδεις επιχειρήσεις. Μπορείτε να εκτελέσετε ορισμένες πράξεις σε μια μήτρα, αποκτώντας έτσι μια μήτρα ισοδύναμη με την αρχική. Τέτοιες λειτουργίες ονομάζονται στοιχειώδεις. Για παράδειγμα, για να λύσετε έναν πίνακα 2x3, πρέπει να εκτελέσετε πράξεις γραμμών για να φέρετε τον πίνακα σε τριγωνική μορφή. Τέτοιες λειτουργίες μπορεί να είναι:
   • μετάθεση δύο γραμμών.
   • πολλαπλασιάζοντας μια συμβολοσειρά με μη μηδενικό αριθμό.
   • πολλαπλασιάζοντας μια συμβολοσειρά και προσθέτοντάς την σε μια άλλη.
2. 2 Πολλαπλασιασμός της δεύτερης γραμμής με μη μηδενικό αριθμό. Εάν θέλετε μηδέν στη δεύτερη γραμμή, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη γραμμή για να το καταφέρετε.
   • Για παράδειγμα, εάν έχετε έναν πίνακα σαν αυτόν:
     
     
     Μπορείτε να διατηρήσετε την πρώτη γραμμή και να τη χρησιμοποιήσετε για να πάρετε μηδέν στη δεύτερη γραμμή. Για να γίνει αυτό, πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με 2:
3. 3 Πολλαπλασιάστε ξανά. Για να λάβετε μηδέν για την πρώτη σειρά, ίσως χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε ξανά χρησιμοποιώντας παρόμοιους χειρισμούς.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με -1:
     
     
     Μετά τον πολλαπλασιασμό, η μήτρα θα έχει την εξής μορφή:
4. 4 Προσθέστε την πρώτη γραμμή στη δεύτερη. Προσθέστε τις γραμμές για να λάβετε ένα μηδέν στη θέση της πρώτης στήλης και της δεύτερης σειράς.
   • Στο παράδειγμά μας, προσθέστε και τις δύο γραμμές για να λάβετε τα ακόλουθα:
5. 5 Γράψτε ένα νέο σύστημα γραμμικών εξισώσεων για έναν τριγωνικό πίνακα. Μόλις αποκτήσετε τον τριγωνικό πίνακα, μπορείτε να επιστρέψετε στο SLAE. Η πρώτη στήλη του πίνακα αντιστοιχεί στην άγνωστη μεταβλητή x και η δεύτερη αντιστοιχεί στην άγνωστη μεταβλητή y. Η τρίτη στήλη αντιστοιχεί στην τομή της εξίσωσης.
   • Για το παράδειγμά μας, το νέο σύστημα γραμμικών εξισώσεων θα έχει τη μορφή:
6. 6 Λύστε την εξίσωση για μία από τις μεταβλητές. Στο νέο SLAE, καθορίστε ποια μεταβλητή είναι πιο εύκολο να βρείτε και λύστε την εξίσωση.
   • Στο παράδειγμά μας, είναι πιο βολικό να λυθεί από το τέλος, δηλαδή από την τελευταία εξίσωση στην πρώτη, μετακινώντας από κάτω προς τα πάνω. Από τη δεύτερη εξίσωση, μπορούμε εύκολα να βρούμε μια λύση για το y, αφού απαλλαγούμε από το x, οπότε y = 2.
7. 7 Βρείτε το δεύτερο άγνωστο με μέθοδο υποκατάστασης. Αφού βρείτε μια από τις μεταβλητές, μπορείτε να την συνδέσετε στη δεύτερη εξίσωση για να βρείτε τη δεύτερη μεταβλητή.
   • Στο παράδειγμά μας, απλώς αντικαταστήστε το y με 2 στην πρώτη εξίσωση για να βρείτε το άγνωστο x:

Συμβουλές

• Τα στοιχεία μήτρας αναφέρονται συνήθως ως κλιμάκωση.
• Για να λύσετε έναν πίνακα 2x3, πρέπει να εκτελέσετε βασικές λειτουργίες γραμμής. Δεν μπορείτε να εκτελέσετε αυτές τις λειτουργίες σε στήλες.