Περιεχόμενο

• Βήματα
• Συμβουλή

Η ταχύτητα ορίζεται ως η ταχύτητα ενός αντικειμένου σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Σε πολλές περιπτώσεις, για να βρούμε την ταχύτητα θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση v = s / t, όπου v είναι η ταχύτητα, s είναι η συνολική απόσταση της μετατόπισης του αντικειμένου από την αρχική του θέση και t είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να ταξιδέψει το αντικείμενο. πηγαίνετε εντελώς. Ωστόσο, θεωρητικά αυτός ο τύπος είναι μόνο για ταχύτητα Μεσαίο πραγμάτων στο δρόμο. Υπολογίζοντας την ταχύτητα του αντικειμένου σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή κατά μήκος της απόστασης. Αυτό είναι Χρόνος μεταφοράς και ορίζεται από την εξίσωση v = (ds) / (dt), ή με άλλα λόγια, το παράγωγο της εξίσωσης για τη μέση ταχύτητα.

Βήματα

Μέρος 1 από 3: Υπολογίστε τη στιγμιαία ταχύτητα

1. 

   
   
   Ξεκινήστε με μια εξίσωση για τον υπολογισμό της ταχύτητας κατά την απόσταση μετατόπισης. Για να βρούμε τη στιγμιαία ταχύτητα, πρέπει πρώτα να έχουμε μια εξίσωση που δείχνει τη θέση του αντικειμένου (σε όρους μετατόπισης) σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να έχει μόνο μία μεταβλητή μικρό από τη μία πλευρά και στρίψτε τ Από την άλλη πλευρά (όχι απαραίτητα μόνο μία μεταβλητή), όπως αυτή:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Σε αυτήν την εξίσωση, οι μεταβλητές είναι:

     s = μετατόπιση. Η απόσταση που μετακινήθηκε το αντικείμενο από την αρχική του θέση. Για παράδειγμα, εάν ένα αντικείμενο μπορεί να περπατήσει 10 μέτρα προς τα εμπρός και 7 μέτρα προς τα πίσω, η συνολική απόσταση διαδρομής του είναι 10-7 = 3 μέτρα (όχι 10 + 7 = 17m).

     t = ώρα. Αυτή η μεταβλητή είναι απλή χωρίς εξήγηση, συνήθως μετριέται σε δευτερόλεπτα.

2. 

   
   
   Πάρτε το παράγωγο της εξίσωσης. Το παράγωγο της εξίσωσης είναι μια άλλη εξίσωση που δείχνει την κλίση της απόστασης σε μια συγκεκριμένη ώρα. Για να βρείτε το παράγωγο της εξίσωσης με απόσταση μετατόπισης, πάρτε τη διαφορά της συνάρτησης σύμφωνα με τον ακόλουθο γενικό κανόνα για να υπολογίσετε το παράγωγο: Εάν y = a * x, Παράγωγο = a * n * x. Αυτό ισχύει για όλους τους όρους στην πλευρά "t" της εξίσωσης.
   • Με άλλα λόγια, αρχίστε να παίρνετε τη διαφορά αριστερά προς τα δεξιά στην πλευρά "t" της εξίσωσης. Κάθε φορά που συναντάτε τη μεταβλητή "t", αφαιρείτε τον εκθέτη με 1 και πολλαπλασιάζετε τον όρο με τον αρχικό εκθέτη. Τυχόν σταθεροί όροι (όροι χωρίς "t") θα εξαφανιστούν επειδή πολλαπλασιάζονται με το 0. Η διαδικασία δεν είναι τόσο δύσκολη όσο νομίζετε - ας πάρουμε την εξίσωση στο παραπάνω βήμα ως παράδειγμα:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Αντικαταστήστε το "s" με το "ds / dt". Για να δείξουμε ότι η νέα εξίσωση είναι το παράγωγο του αρχικού τετραγώνου, αντικαθιστούμε το "s" με το σύμβολο "ds / dt". Θεωρητικά, αυτός ο συμβολισμός είναι «το παράγωγο του s σε σχέση με το t». Ένας απλούστερος τρόπος κατανόησης αυτής της σημειογραφίας, ds / dt είναι η κλίση οποιουδήποτε σημείου στην αρχική εξίσωση. Για παράδειγμα, για να βρούμε την κλίση της απόστασης που περιγράφεται από την εξίσωση s = -1,5t + 10t + 4 στο χρόνο t = 5, αντικαθιστούμε το "5" με το t στο παράγωγο της εξίσωσης.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, το παράγωγο της εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Αντικαταστήστε μια τιμή για το t στη νέα εξίσωση για να βρείτε την στιγμιαία ταχύτητα. Τώρα που έχουμε την εξίσωση παραγώγων, η εύρεση της στιγμιαίας ταχύτητας ανά πάσα στιγμή είναι πολύ εύκολη. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να επιλέξετε μια τιμή t και να την αντικαταστήσετε με την εξίσωση παραγώγων. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε τη στιγμιαία ταχύτητα στο t = 5, απλά πρέπει να αντικαταστήσουμε το "5" με το t στην εξίσωση παραγώγου ds / dt = -3t + 10. Θα λύσουμε την εξίσωση ως εξής:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 μέτρα / δευτερόλεπτο

   • Σημειώστε ότι χρησιμοποιούμε τη μονάδα "μέτρα / δευτερόλεπτο" παραπάνω.Δεδομένου ότι επιλύουμε το πρόβλημα με την μετατόπιση σε μέτρα και το χρόνο σε δευτερόλεπτα, όπου η ταχύτητα είναι ακριβώς η μετατόπιση στο χρόνο, αυτή η μονάδα είναι κατάλληλη.
   διαφήμιση

Μέρος 2 από 3: Εκτίμηση στιγμιαίας ταχύτητας γραφικά

1. 

   Γράφετε την απόσταση κίνησης του αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου. Στην παραπάνω ενότητα, είπαμε ότι το παράγωγο είναι επίσης ένας τύπος που μας επιτρέπει να βρούμε την κλίση σε οποιοδήποτε σημείο της εξίσωσης που λαμβάνεται από το παράγωγο. Στην πραγματικότητα, εάν εμφανίσετε την απόσταση κίνησης του αντικειμένου σε ένα γράφημα, Η κλίση του γραφήματος σε οποιοδήποτε σημείο είναι η στιγμιαία ταχύτητα του αντικειμένου σε αυτό το σημείο.
   • Για να γράφετε αποστάσεις κίνησης, χρησιμοποιήστε τον άξονα x για το χρόνο και τον άξονα y για μετατόπιση. Στη συνέχεια, καθορίζετε έναν αριθμό σημείων συνδέοντας τις τιμές του t στην εξίσωση κίνησης, το αποτέλεσμα είναι τιμές s και τελειώνετε τα σημεία t, s (x, y) στο γράφημα.
   • Σημειώστε ότι το γράφημα μπορεί να εκτείνεται κάτω από τον άξονα x. Εάν η γραμμή που δείχνει την κίνηση του αντικειμένου πέφτει κάτω από τον άξονα x, αυτό σημαίνει ότι το αντικείμενο κινείται προς τα πίσω από την αρχική του θέση. Γενικά, το γράφημα δεν επεκτείνεται πίσω από τον άξονα y - συνήθως δεν μετράμε την ταχύτητα των αντικειμένων που κινούνται πίσω στο χρόνο!

2. 

   Επιλέξτε ένα σημείο P και ένα σημείο Q που βρίσκεται κοντά στο σημείο P στο γράφημα. Για να βρούμε την κλίση του γραφήματος στο σημείο P, χρησιμοποιούμε την τεχνική της «εύρεσης ορίου». Η εύρεση του ορίου σημαίνει τη λήψη δύο σημείων (P και Q (ένα σημείο κοντά στο P)) στην καμπύλη και εύρεση της κλίσης της γραμμής που συνδέει αυτά τα δύο σημεία, επαναλαμβάνοντας αυτήν τη διαδικασία καθώς η απόσταση μεταξύ P και Q μειώνεται. σταδιακά.
   • Ας υποθέσουμε ότι η απόσταση μετατόπισης έχει σημεία (1, 3) και (4, 7). Σε αυτήν την περίπτωση, αν θέλουμε να βρούμε την κλίση στο (1, 3) τότε μπορούμε να ρυθμίσουμε (1; 3) = Ρ και (4; 7) = Q.

3. 

   Βρείτε την κλίση μεταξύ P και Q. Η κλίση μεταξύ P και Q είναι η διαφορά των τιμών y για P και Q έναντι της διαφοράς των τιμών x για P και Q. Με άλλα λόγια, Η = (ε_Ερ - ε_Π) / (Χ_Ερ - Χ_Π), όπου H είναι η κλίση μεταξύ δύο σημείων. Σε αυτό το παράδειγμα, η κλίση μεταξύ P και Q είναι:
   

   Η = (ε_Ερ - ε_Π) / (Χ_Ερ - Χ_Π)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   Η = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Επαναλάβετε αρκετές φορές μετακινώντας το Q πιο κοντά στο P. Ο στόχος είναι να περιορίσετε την απόσταση μεταξύ P και Q μέχρι να φτάσουν σε ένα μόνο σημείο. Όσο μικρότερη είναι η απόσταση μεταξύ P και Q, τόσο πιο κοντά θα είναι η κλίση αυτού του απείρως μικρού τμήματος στην κλίση στο σημείο P. Επαναλάβετε μερικές φορές για την εξίσωση παραδείγματος, χρησιμοποιώντας σημεία (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) και (1.25; 3.49) δίνουν Q και οι αρχικές συντεταγμένες του P είναι (1; 3):
   

   Ε = (2, 4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   Η = (1.8) / (1) = 1,8
   
   Ε = (1,5, 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   Η = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Ε = (1,25, 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   Η = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Υπολογίζει την κλίση του εξαιρετικά μικρού τμήματος στην καμπύλη γραφήματος. Καθώς το Q πλησιάζει και πλησιάζει στο P, το H βαθμιαία θα πλησιάζει στην πλαγιά στο P. Τέλος, σε μια πολύ μικρή γραμμή, το H θα είναι η κλίση στο P. Επειδή δεν μπορούμε να μετρήσουμε ή να υπολογίσουμε Το μήκος μιας γραμμής είναι εξαιρετικά μικρό, οπότε υπολογίστε μόνο την κλίση στο P όταν είναι σαφώς ορατό από τα σημεία που υπολογίζουμε.
   • Στο παραπάνω παράδειγμα, καθώς κινούμαστε H πιο κοντά στο P, έχουμε τις τιμές για H 1,8. 1.9 και 1.96. Δεδομένου ότι αυτοί οι αριθμοί πλησιάζουν τα 2 μπορούμε να πούμε 2 είναι η κατά προσέγγιση τιμή της κλίσης στο P.
   • Να θυμάστε ότι η κλίση σε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος είναι το παράγωγο της εξίσωσης γραφήματος σε αυτό το σημείο. Δεδομένου ότι το γράφημα αντιπροσωπεύει την μετατόπιση ενός αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου, όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, η στιγμιαία ταχύτητά του σε οποιοδήποτε σημείο είναι το παράγωγο της απόστασης μετατόπισης του αντικειμένου στο σημείο προβλήματος. Πρόσβαση, μπορούμε να πούμε 2 μέτρα ανά δευτερόλεπτο είναι μια κατά προσέγγιση εκτίμηση της στιγμιαίας ταχύτητας όταν t = 1.
   διαφήμιση

Μέρος 3 από 3: Πρόβλημα δείγματος

1. 

   Βρείτε την στιγμιαία ταχύτητα όταν t = 1 με την εξίσωση μετατόπισης s = 5t - 3t + 2t + 9. Όπως το παράδειγμα στην πρώτη ενότητα, αλλά αυτό είναι ένα κυβικό αντί για τετραγωνικό, έτσι μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με τον ίδιο τρόπο.
   • Αρχικά, πάρτε το παράγωγο της εξίσωσης:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του t (4) σε:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 μέτρα ανά δευτερόλεπτο

2. 

   Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο εκτίμησης γραφήματος για να βρείτε την στιγμιαία ταχύτητα στο (1, 3) για την εξίσωση μετατόπισης s = 4t - t. Για αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε συντεταγμένες (1; 3) ως σημείο P, αλλά πρέπει να βρούμε άλλα σημεία Q που βρίσκονται κοντά του. Στη συνέχεια, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε τις τιμές H και να συμπεράνουμε την εκτιμώμενη τιμή.
   • Πρώτα, βρίσκουμε τα σημεία Q όταν t = 2; 1.5; 1.1 και 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, έτσι Ε = (2, 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, έτσι Ε = (1,5, 7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, έτσι Ε = (1.1, 3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, οπότε αυτό είναι Ε = (1,01, 3,0704)

   • Στη συνέχεια θα πάρουμε τιμές H:
     

     Ε = (2, 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     Η = (11) / (1) = 11
     
     Ε = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     Η = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Ε = (1.1; 3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     Η = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Ε = (1,01, 3,0704): Η = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     Η = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Δεδομένου ότι οι τιμές H φαίνεται να είναι πιο κοντά στο 7, μπορούμε να το πούμε αυτό 7 μέτρα ανά δευτερόλεπτο είναι η κατά προσέγγιση εκτίμηση της στιγμιαίας ταχύτητας στη συντεταγμένη (1, 3).
   διαφήμιση

Συμβουλή

• Για να βρείτε επιτάχυνση (αλλαγή ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου), χρησιμοποιήστε τη μέθοδο στο πρώτο μέρος για να λάβετε το παράγωγο της εξίσωσης μετατόπισης. Στη συνέχεια, πάρτε ξανά το παράγωγο για την εξίσωση παραγώγων που μόλις βρήκατε. Το αποτέλεσμα είναι ότι έχετε μια εξίσωση για την επιτάχυνση σε μια δεδομένη χρονική στιγμή - το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να συνδέσετε το χρόνο.
• Η εξίσωση που δείχνει τη σχέση μεταξύ Υ (απόσταση μετατόπισης) και Χ (χρόνος) μπορεί να είναι πολύ απλή, όπως Y = 6x + 3. Σε αυτήν την περίπτωση, η κλίση είναι σταθερή και δεν είναι απαραίτητο το παράγωγο για τον υπολογισμό της κλίσης, δηλαδή, ακολουθεί τη βασική μορφή εξίσωσης Y = mx + b για ένα γραμμικό γράφημα, δηλαδή η κλίση ισούται με 6.
• Η απόσταση μετατόπισης είναι σαν απόσταση αλλά έχει κατεύθυνση, οπότε είναι μια ποσότητα φορέα και η ταχύτητα είναι μια βαθμίδα. Οι αποστάσεις ταξιδιού μπορεί να είναι αρνητικές, ενώ οι αποστάσεις μπορεί να είναι μόνο θετικές.