Περιεχόμενο

• Βήματα
• Μέθοδος 1 από 2: Εύρεση των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου
• Μέθοδος 2 από 2: Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο συντεταγμένων
• Συμβουλές

Το Πυθαγόρειο θεώρημα συνδέει τις τρεις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου με έναν τύπο, ο οποίος χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα. Το θεώρημα λέει ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας: a + b = c, όπου τα a και b είναι τα πόδια του τριγώνου (πλευρές που τέμνονται σε ορθή γωνία), c είναι η υποτείνουσα του τριγώνου. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι εφαρμόσιμο σε πολλές περιπτώσεις, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, είναι εύκολο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων.

Βήματα

Μέθοδος 1 από 2: Εύρεση των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου

1. 1 Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνο που σας δίνεται είναι ορθογώνιο, καθώς το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει μόνο για τρίγωνα ορθογώνιας γωνίας. Στα ορθογώνια τρίγωνα, μία από τις τρεις γωνίες είναι πάντα 90 μοίρες.
   • Μια ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο υποδεικνύεται από ένα τετράγωνο εικονίδιο και όχι μια καμπύλη, η οποία είναι μια λοξή γωνία.
2. 2 Προσθέστε οδηγίες για τις πλευρές του τριγώνου. Επισημάνετε τα πόδια ως "α" και "β" (πόδια - πλευρές που τέμνονται σε ορθή γωνία) και την υποτείνουσα ως "γ" (υποτείνουσα - η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογώνιου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από ορθή γωνία).
3. 3 Καθορίστε ποια πλευρά του τριγώνου θέλετε να βρείτε. Το Πυθαγόρειο θεώρημα σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε πλευρά ενός ορθογώνιου τριγώνου (εάν οι άλλες δύο πλευρές είναι γνωστές). Καθορίστε ποια πλευρά (α, β, γ) πρέπει να βρείτε.
   • Για παράδειγμα, με μια υποτείνουσα ίση με 5, και με ένα πόδι ίσο με 3. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να βρείτε το δεύτερο πόδι. Θα επανέλθουμε σε αυτό το παράδειγμα αργότερα.
   • Εάν οι άλλες δύο πλευρές είναι άγνωστες, είναι απαραίτητο να βρεθεί το μήκος μιας από τις άγνωστες πλευρές για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (αν σας δοθεί η τιμή μιας από τις πλάγιες γωνίες).
4. 4 Αντικαταστήστε τις δεδομένες τιμές (ή τις τιμές που βρήκατε) στον τύπο a + b = c. Θυμηθείτε ότι το α και το β είναι πόδια και το γ είναι υποτείνουσα.
   • Στο παράδειγμά μας, γράψτε: 3² + b² = 5².
5. 5 Τετράγωνο κάθε πλευρά που γνωρίζετε. Or αφήστε τα πτυχία - μπορείτε να τετραγωνίσετε τους αριθμούς αργότερα.
   • Στο παράδειγμά μας, γράψτε: 9 + b² = 25.
6. 6 Απομονώστε την άγνωστη πλευρά στη μία πλευρά της εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, μεταφέρετε τις γνωστές τιμές στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Εάν βρείτε την υποτείνουσα, τότε στο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ήδη απομονωμένο στη μία πλευρά της εξίσωσης (οπότε δεν χρειάζεται να γίνει τίποτα).
   • Στο παράδειγμά μας, μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης για να απομονώσετε το άγνωστο b². Θα πάρετε b² = 16.
7. 7 Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Σε αυτό το στάδιο, υπάρχει ένας άγνωστος (τετραγωνισμένος) στη μία πλευρά της εξίσωσης και ένας ελεύθερος όρος (αριθμός) στην άλλη πλευρά.
   • Στο παράδειγμά μας, b² = 16. Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης και πάρτε b = 4. Άρα το δεύτερο σκέλος είναι 4.
8. 8 Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή σας ζωή, καθώς μπορεί να εφαρμοστεί σε μια μεγάλη ποικιλία πρακτικών καταστάσεων. Για να το κάνετε αυτό, μάθετε να αναγνωρίζετε ορθογώνια τρίγωνα στην καθημερινή ζωή - σε κάθε κατάσταση στην οποία δύο αντικείμενα (ή γραμμές) τέμνονται σε ορθή γωνία και ένα τρίτο αντικείμενο (ή γραμμή) συνδέει (διαγώνια) τις κορυφές των δύο πρώτων αντικειμένων (ή γραμμές), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την άγνωστη πλευρά (εάν οι άλλες δύο πλευρές είναι γνωστές).
   • Παράδειγμα: δίνεται μια σκάλα που στηρίζεται σε ένα κτίριο. Το κάτω μέρος της σκάλας απέχει 5 μέτρα από τη βάση του τοίχου. Η κορυφή της σκάλας απέχει 20 μέτρα από το έδαφος (μέχρι τον τοίχο). Πόσο καιρό έχουν οι σκάλες;
     • "5 μέτρα από τη βάση του τοίχου" σημαίνει ότι a = 5. "Βρίσκεται 20 μέτρα από το έδαφος" σημαίνει ότι b = 20 (δηλαδή, σας δίνονται δύο πόδια ορθογώνιου τριγώνου, αφού ο τοίχος του κτιρίου και η επιφάνεια της Γης τέμνονται σε ορθή γωνία). Το μήκος της σκάλας είναι το μήκος της υποτείνουσας, το οποίο είναι άγνωστο.
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • c = √425
       • s = 20,6. Άρα το κατά προσέγγιση μήκος της σκάλας είναι 20,6 μέτρα.

Μέθοδος 2 από 2: Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο συντεταγμένων

1. 1 Επιλέξτε δύο σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος που συνδέει δύο σημεία στη γραμμή συντεταγμένων.Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες (x, y) κάθε σημείου.
   • Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, θα θεωρήσετε τα σημεία ως κορυφές ενός τριγώνου, όχι δίπλα στη σωστή γωνία ενός ορθογώνιου τριγώνου. Έτσι, μπορείτε εύκολα να βρείτε τα πόδια του τριγώνου και στη συνέχεια να υπολογίσετε την υποτείνουσα, η οποία είναι ίση με την απόσταση μεταξύ δύο σημείων.
2. 2 Σχεδιάστε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Αφήστε στην άκρη τις συντεταγμένες (x, y), όπου η συντεταγμένη x βρίσκεται κατά μήκος του οριζόντιου άξονα και η συντεταγμένη y κατά μήκος της κατακόρυφης. Μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων χωρίς να σχεδιάσετε ένα γράφημα, αλλά ένα γράφημα σας επιτρέπει να απεικονίσετε οπτικά τη διαδικασία των υπολογισμών σας.
3. 3 Βρείτε τα πόδια του τριγώνου. Μπορείτε να το κάνετε αυτό μετρώντας το μήκος των ποδιών απευθείας στο γράφημα ή χρησιμοποιώντας τους τύπους: | x₁ - Χ₂| για τον υπολογισμό του μήκους του οριζόντιου σκέλους και | y₁ - y₂| για να υπολογίσετε το μήκος του κάθετου σκέλους, όπου (x₁, y₁) Είναι οι συντεταγμένες του πρώτου σημείου και (x₂, y₂) - συντεταγμένες του δεύτερου σημείου.
   • Παράδειγμα: δεδομένα σημεία: Α (6.1) και Β (3.5). Οριζόντιο μήκος ποδιού:
     • | x₁ - Χ₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Μήκος κάθετου ποδιού:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Έτσι, σε ορθογώνιο τρίγωνο, a = 3 και b = 4.
4. 4 Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την υποτείνουσα. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι ίση με την υποτείνουσα του τριγώνου, τις δύο πλευρές της οποίας μόλις βρήκατε. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την υποτείνουσα αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στα πόδια (α και β) στον τύπο.
   • Στο παράδειγμά μας, a = 3 και b = 4. Η υποτείνουσα υπολογίζεται ως εξής:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = √ (9 + 16)

       c = √ (25)

       c = 5. Η απόσταση μεταξύ των σημείων Α (6.1) και Β (3.5) είναι 5.

Συμβουλές

• Η υποτείνουσα είναι πάντα:
  • βρίσκεται απέναντι από ορθή γωνία.
  • είναι η μεγαλύτερη πλευρά ορθογώνιου τριγώνου.
  • συμβολίζεται ως "γ" στο Πυθαγόρειο θεώρημα.
• √ (x) σημαίνει "τετραγωνική ρίζα του x".
• Μην ξεχάσετε να ελέγξετε την απάντηση. Εάν η απάντηση φαίνεται λανθασμένη, κάντε ξανά τους υπολογισμούς.
• Ένα άλλο σημείο είναι ότι η μακρύτερη πλευρά είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία και η συντομότερη πλευρά απέναντι από τη μικρότερη γωνία.
• Μάθετε τους αριθμούς της τρίδυμης Πυθαγόρειας που σχηματίζουν τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Η πιο πρωτόγονη τρίδυμη Πυθαγόρειο είναι 3, 4, 5. Έτσι, γνωρίζοντας το μήκος των δύο πλευρών, δεν χρειάζεται να ψάξετε για μια τρίτη.
  • Θυμηθείτε, η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά.
• Εάν σας δοθεί ένα κανονικό τρίγωνο (και όχι ένα ορθογώνιο), τότε απαιτούνται περισσότερες πληροφορίες από το μήκος των δύο πλευρών.
• Τα γραφήματα είναι ένας οπτικός τρόπος σχεδίασης των ονομασιών a, b και c. Εάν επιλύετε ένα πρόβλημα, δημιουργήστε πρώτα ένα γράφημα.
• Εάν δίνεται το μήκος μόνο μιας πλευράς, τότε το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρία (sin, cos, tan).
• Αν μιλάμε για πρόβλημα από ένα συγκεκριμένο οικόπεδο, μπορούμε με ασφάλεια να υποθέσουμε ότι τα δέντρα, οι στύλοι, οι τοίχοι και ούτω καθεξής σχηματίζουν ορθή γωνία με το έδαφος, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.